2026年九年级中考数学真题分类训练考点24菱形的判定与性质练习含答案

这是一份2026年九年级中考数学真题分类训练考点24菱形的判定与性质练习含答案，共8页。
A.6B.8C.10D.12
(第1题) (第2题)
2.(2024通辽)如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,添加以下条件不能判定▱ABCD是菱形的是( )
A.∠BAC=∠BCAB.∠ABD=∠CBD
C.OA2+OB2=AD2D.AD2+OA2=OD2
3.(2024绥化)如图,四边形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,AE⊥BC于点E,则AE的长是( )
A.245B.6C.485D.12
(第3题) (第4题)
4.(2024长沙)如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠B=30°,点E是BC边上的动点,连接AE,DE,过点A作AF⊥DE于点F.设DE=x,AF=y,则y与x之间的函数关系式为(不考虑自变量x的取值范围)( )
A.y=9xB.y=12xC.y=18xD.y=36x
5.(2024黑龙江龙东地区)如图,菱形ABCD中,点O是BD的中点, AM⊥BC,垂足为M,AM交BD于点N,OM=2,BD=8,则MN的长为( )
A.5B.455C.355D.255
6.(2024达州)如图,由8个全等的菱形组成的网格中,每个小菱形的边长均为2,∠ABD=120°,其中点A,B,C都在格点上,则tan∠BCD的值为( )
A.2B.23C.32D.3
7.(2024山西)在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,EG,FH交于点O.若四边形ABCD的对角线相等,则线段EG与FH一定满足的关系为( )
A.互相垂直平分B.互相平分且相等
C.互相垂直且相等D.互相垂直平分且相等
8.(2023齐齐哈尔)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,AC⊥BD于点O.请添加一个条件: ,使四边形ABCD成为菱形.
(第8题) (第9题)
9.(2024广西)如图,两张宽度均为3 cm的纸条交叉叠放在一起,交叉形成的锐角为60°,则重合部分构成的四边形ABCD的周长为 cm.
10.(2024包头)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=6,AC是一条对角线,E是AC上一点,过点E作EF⊥AB,垂足为F,连接DE.若CE=AF,则DE的长为 .
(第10题) (第11题)
11.(2024贵州)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别是BC,CD的中点,连接AE,AF.若sin∠EAF=45,AE=5,则AB的长为 .
12.(2024广东)如图,菱形ABCD的面积为24,点E是AB的中点,点F是BC上的动点.若△BEF的面积为4,则图中阴影部分的面积为 .
(第12题) (第13题)
13.(2024眉山)如图,菱形ABCD的边长为6,∠BAD=120°,过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于点E,连接AE分别交BD,CD于点F,G,则FG的长为 .
14.(2024广安)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别是边AB和BC上的点,且BE=BF.求证:∠DEF=∠DFE.
15.(2024雅安)如图,点O是▱ABCD对角线的交点,过点O的直线分别交AD,BC于点E,F.
(1)求证:△ODE≌△OBF;
(2)当EF⊥BD时,DE=15 cm,连接BE,DF,求此时四边形BEDF的周长.
16.(2023云南)如图,平行四边形ABCD中,AE,CF分别是∠BAD,∠BCD的平分线,且点E,F分别在边BC,AD上,AE=AF.
(1)求证:四边形AECF是菱形;
(2)若∠ABC=60°,△ABE的面积等于43,求平行线AB与DC间的距离.
考点24菱形的判定与性质答案
1 A 2 D 3 A 4 C 5 C
6 B 如图,延长BC至格点E,则∠ACE=∠BCD.连接AE,易得∠AEC=90°,AE=2×4cs 30°=43,CE=2,∴tan∠BCD=tan∠ACE=AECE=432=23.故选B.
7 A 连接EF,FG,GH,EH,如图.∵点E,F分别是AB,BC的中点,∴EF是△ABC的中位线,∴EF?12AC.同理GH?12AC,FG?12BD,∴GH=EF,GH∥EF,∴四边形EFGH是平行四边形(依据:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).∵AC=BD,∴GH=FG,∴四边形EFGH是菱形(依据:一组邻边相等的平行四边形是菱形),∴线段EG和FH互相垂直平分.
中点四边形
顺次连接四边形各边中点所得的四边形,我们称之为中点四边形.中点四边形的形状由原四边形两对角线的关系(相等、垂直、相等且互相垂直)决定.判定中点四边形的形状时,一般要用到三角形的中位线定理.
常见的中点四边形的结论有:
(1)顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形;
(2)顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形;
(3)顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形;
(4)顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形;
(5)顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形;
(6)顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是矩形.
8 AD∥BC(答案不唯一)
9 83
【解析】如图,∵AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.过点A作AE⊥CD于点E,过点C作CF⊥AD于点F,则AE=CF=3 cm.又S▱ABCD=CD·AE=AD·CF,∴CD=AD,∴四边形ABCD是菱形.又AD=AEsin60°=332=23(cm),∴菱形ABCD的周长为83 cm.
10 27
11 2653
【解析】易证△ABE≌△ADF,∴AF=AE=5.如图,过点E作EG⊥AF,垂足为G,则sin∠EAF=EGAE=45,∴EG=4,∴AG=3,∴GF=2.延长AF交BC的延长线于点M,则由点F是CD的中点易证△ADF≌△MCF,∴MC=AD=AB,MF=AF=5,∴GM=7.在Rt△EGM中,EM2=EG2+MG2=42+72=65,∴EM=65.设CE=x,则MC=AB=2x,∴3x=65,∴x=653,∴AB=2653.
模型分析 ◀ ◀ ◀
常见的中点模型
12 10
【解析】如图,连接AF.∵E为AB的中点,∴BE=AE,∴S△ABF=2S△BEF=8(提示:高相等的两个三角形,面积比等于底之比).易得S△AFD=12S菱形ABCD=12,∴S△CFD=S菱形ABCD-S△ABF-S△AFD=4.易得S△AED=14S菱形ABCD=6,∴S阴影=S菱形ABCD-S△AED-S△BEF-S△CFD=24-6-4-4=10.
13 475
【解析】∵菱形ABCD的边长为6,∠BAD=120°,∴AD=BC=CD=6,AD∥BC,∠BCD=120°,∴∠DCE=60°.在Rt△DCE中,CE=CDcs 60°=3,DE=CDsin 60°=33,∴BE=BC+CE=9.∵AD∥BE,∴∠ADE=180°-∠DEC=90°.在Rt△ADE中,AE=DE2+AD2=(33)2+62=37.∵AD∥BE,∴△AFD∽△EFB,∴AFFE=ADBE=69=23,∴AF=25AE=675.∵AD∥CE,∴△AGD∽△EGC,∴AGEG=ADCE=63=2,∴AG=23AE=27,∴FG=AG-AF=27-675=475.
14 证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,∠A=∠C.
又∵BE=BF,
∴AB-BE=BC-BF,即AE=CF.
在△ADE和△CDF中,
DA=DC,∠A=∠C,AE=CF,
∴△ADE≌△CDF(SAS),
∴DE=DF,
∴∠DEF=∠DFE(依据:等边对等角).
15 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥CB,
∴∠OED=∠OFB.
∵点O是▱ABCD对角线的交点,∴OD=OB.
在△ODE和△OBF中,
∠OED=∠OFB,∠DOE=∠BOF,OD=OB,
∴△ODE≌△OBF(AAS).
(2)由(1)得△ODE≌△OBF,∴DE=BF.
又∵DE∥BF,
∴四边形BEDF是平行四边形.
又∵EF⊥BD,∴四边形BEDF是菱形,
∴DF+BF+BE+DE=4DE=4×15=60(cm),
∴四边形BEDF的周长为60 cm.
16 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∠BAD=∠BCD,
∴∠BEA=∠DAE.
∵AE,CF分别是∠BAD,∠BCD的平分线,
∴∠DAE=12∠BAD,∠BCF=12∠BCD,
∴∠BCF=∠DAE=∠BEA,
∴AE∥FC.
又AF∥EC,
∴四边形AECF是平行四边形(依据:两组对边分别平行的四边形是平行四边形).
又∵AE=AF,
∴四边形AECF是菱形(依据:一组邻边相等的平行四边形是菱形).
(2)∵AD∥BC,∠ABC=60°,
∴∠BAD=120°,
∴∠EAD=∠BAE=12∠BAD=60°,
∴△ABE是等边三角形,
∴BE=AB.
如图,过点A作AG⊥BE于点G,
则AG=ABsin 60°=32AB,
∴S△ABE=12BE·AG=12AB×32AB=43,
∴AB=4(负值已舍去).
连接AC,
∵四边形AECF是菱形,
∴∠EAC=12∠EAD=30°,
∴∠BAC=60°+30°=90°,
∴AC的长即为平行线AB与DC间的距离,AC=ABtan 60°=43.
作法说明
图示
见中线,可倍长
倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形或平行四边形.
见等腰三角形,
想“三线合一”
已知等腰三角形底边的中点,可以考虑与顶角顶点相连,用“三线合一”解题.
见斜边,想中线
已知直角三角形斜边的中点,可以考虑构造斜边上的中线,目的是得到三条相等的线段和两对等角.
见一个或多个中点,想中位线
已知三角形两边的中点,可以连接这两个中点,构造中位线.
已知一边中点,可以在其他边上取中点,连接两个中点构造中位线.
已知三角形的一条中线,通过倍长三角形的一边,构造一个大三角形,使原三角形的中线变为大三角形的中位线.