第3章 勾股定理 数学探究 探寻“勾股数”（课件）2025-2026学年苏科版八年级数学上册

苏科版八年级数学下册第3章 勾股定理 数学探究 探寻“勾股数”导入新课勾股数的定义是什么？如果三个正整数a，b，c满足关系a²＋b²＝c²，则称a，b，c为勾股数.勾股数有多少组呢？勾股数有无数组.导入新课常见的勾股数：3，4，5；5，12，13等.这些勾股数是如何得到的？有没有规律？高效课堂活动1：构造勾股数构造勾股数，就是要寻找三个正整数，使它们满足“两个数的平方和(或差)等于第三个数的平方”，即满足以下形式：( )²＋( )²＝( )²；①或( )²－( )²＝( )².②要满足上述①②的形式，不妨从乘法公式入手.我们已经知道：(x＋y)²－(x－y)²＝4xy.③高效课堂如果等式③的右边也能写成“( )2”的形式，那么它就符合②的形式.因此，只要设x＝m²，y＝n²，③式就可以化成：(m²＋n²)²－(m²－n²)²＝(2mn)².于是，当m，n为任意正整数，且m＞n时，m²＋n²，m²－n²和2mn就是勾股数.根据勾股数的这种表达式，就可以找出无数组勾股数.高效课堂对于上面的表达式，你知道当m，n分别取什么整数时，可以得到勾股数3，4，5吗？你能列举m，n的值，得到其他的一些勾股数吗？当m＝2，n＝1时，得到勾股数3，4，5；当m＝3，n＝2时，得到勾股数5，12，13.高效课堂活动2：填写勾股数高效课堂活动3：拓展探究一位数学家在他找到的勾股数的表达式中，用2n²＋2n＋1(n为任意正整数)表示勾股数中最大的一个数，你能找出另外两个数的表达式吗？设m²＋n²＝2n²＋2n＋1，则m²＝n²＋2n＋1＝(n＋1)²，所以m＝n＋1.那么m²－n²＝(n＋1)²－n²＝2n＋1，2mn＝2(n＋1)n＝2n²＋2n.1．一个直角三角形的两直角边长分别为 5 和 12 ，则斜边长是　 　． 2．如图所示的甲、乙两个图形中，能利用等面积法验证勾股定理a2＋b2＝c2的是( ) C 　13　A．甲行、乙不行　 B．甲不行、乙行C．甲、乙都行　 D．甲、乙都不行课堂评价3.勾股定理的逆定理(1)如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，其中边c所对的角是直角． (2)常见勾股数：3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25，以及这些数同比变化后的数．(注意：都是正整数)4．下列各组数中，是勾股数的为( )A．1，2，3 B．4，5，6C．8，15，17 D．5，8，12 C 5．(2024广州期中)如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9，AD＝5，DC＝13．求证：△ACD是直角三角形． 证明：∵AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°，∴AC2＝AB2－BC2，∴AC＝12，∵AD2＋AC2＝52＋122＝169，DC2＝132＝169．∴AD2＋AC2＝CD2，∴∠DAC＝90°，∴△ACD是直角三角形．勾股定理的应用(2)其他情境：如梯子滑动问题、方向角为 90°的运动、滑梯计算长度、树枝折断计算长度、图形折叠问题、网格中的直角三角形等．5．如图，一架长 2.5 m 的梯子 AB 斜靠在竖直的墙 AC 上，这时梯子的底部 B 到墙底端 C 的距离为 1.5 m，则梯子的顶端距地面为( )A．1.5 m　 B．1.8 m　 C．2 m　 D．2.5 m C 6．如图，由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，点 A，B，C 都在小正方形的格点上，则∠ABC 的度数为　 　．　90° 　7．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足(a－9)2＋(b－12)2＋|c－15|＝0，则△ABC是　 　三角形． 8． (2024深圳期末)下列条件中，可以判断△ABC是直角三角形的是( )A．AB＋BC＞AC　 B．AB∶BC∶AC＝3∶4∶5C．∠A＝75°，∠B＝30° D．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 B 　直角　9．如图，分别以直角三角形的三边为斜边向外作三个等腰直角三角形，面积分别是S1，S2，S3，则它们之间的关系是( ) A．S1－S2＝S3 B．S1＋S2＝S3C．S2＋S3＜S1 D．S2－S3＝S1 B 10.有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？ 解：设水深为x尺，则芦苇长为(x＋1)尺，根据勾股定理，得 52＋x2＝(x＋1)2，解得 x＝12．答：水的深度是 12 尺．课堂总结1.回顾勾股数的构造方法.2.总结从乘法公式推导勾股数表达式的思路.作业设计基础性作业：已知m＝8，n＝3，求对应的勾股数.拓展性作业：对于大于或等于3的任意一个奇数，是否都能找到一组对应的勾股数？如果能，请用含有字母n的式子表示这类勾股数；如果不能，请举一个反例说明.感 谢 观 看