初中苏科版（2024）3.1 勾股定理的探究课后作业题

这是一份初中苏科版（2024）3.1 勾股定理的探究课后作业题，共17页。试卷主要包含了若一个三角形的三边之比为5等内容，欢迎下载使用。
1．在①6，8，10；②5，12，13；③8，15，17；④4，5，6这四组数中，勾股数组有（ ）
A．4组B．3组C．2组D．1组
2．如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2＝S3图形的个数有（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1.5，2，3B．7，24，25C．6，8，10D．9，12，15
4．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
5．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．以上答案都不对
6．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2
7．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A．12≤a≤13B．12≤a≤15C．5≤a≤12D．5≤a≤13
8．国庆节期间，茂名市一广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为（ ）
A．米B．米C．米D．5米
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为 cm2．
10．一块等腰三角形钢板，腰长10m，底边长12m，则此钢板的面积是 m2．
11．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B300m，结果他在水中实际游了500m，求该河流的宽度为 m．
12．一根旗杆在离地面12米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部5米处．旗杆折断之前有 米．
13．如果△ABC三边长为a，b，c满足|a﹣5|++（13﹣c）2＝0，则该三角形是 三角形．
14．在如图所示的“勾股树”中，已知正方形内的数字或字母表示该正方形的边长，由此可以计算：m2+n2＝ ．
15．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么ab的值为 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是 ．
三．解答题（共8小题，满分56分）
17．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90°．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米30元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
18．一架云梯长25m，如图那样斜靠在一面墙上，云梯顶端离地面24m．
（1）这架云梯的底端距墙角有多远？
（2）如果云梯的顶端下滑了4m，那么它的底部在水平方向滑动了多少m？
19．如图，有两棵树，一棵高6m，另一棵高2m，两树相距5m．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？（结果精确到0.1m）
20．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿同定方向航行，“远航”号每小时航行16n mile，“海天”号每小时航行12n mile，它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30n mile
（1）求PQ，PR的长度；
（2）如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
21．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．
（1）请说明：DE＝DF；
（2）请说明：BE2+CF2＝EF2；
（3）若BE＝6，CF＝8，求△DEF的面积（直接写结果）．
22．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：
a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．
23．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2），也可以表示为4×ab+（a﹣b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
（3）在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝4，BC＝5，AB＝6，设AH＝x，求x的值．
24．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所知道的四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 ， ；
（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°后得到△DBE，连接AD、DC，若∠DCB＝30°，试证明；DC2+BC2＝AC2．（即四边形ABCD是勾股四边形）
参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．解：①62+82＝102，是勾股数；
②52+122＝132，是勾股数；
③82+152＝172，是勾股数；
④42+52≠62，不是勾股数；
其中是勾股数的组数为3．
故选：B．
2．解：（1）S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，
∵a2+b2＝c2，
∴a2+b2＝c2，
∴S1+S2＝S3．
（2）S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，
∵a2+b2＝c2，
∴a2+b2＝c2，
∴S1+S2＝S3．
（3）S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，
∵a2+b2＝c2，
∴a2+b2＝c2，
∴S1+S2＝S3．
（4）S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，
∵a2+b2＝c2，
∴S1+S2＝S3．
综上，可得
面积关系满足S1+S2＝S3的图形有4个．
故选：D．
3．解：A、1.52+22≠32，不符合勾股定理的逆定理，故正确；
B、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，故错误；
C、62+82＝102，符合勾股定理的逆定理，故错误；
D、92+122＝152，符合勾股定理的逆定理，故错误．
故选：A．
4．解：∵（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，
∴a﹣b＝0，或a2+b2﹣c2＝0，
即a＝b或a2+b2＝c2，
∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
5．解：∵正方形小方格边长为1，
∴BC＝＝2，
AC＝＝，
AB＝＝，
在△ABC中，
∵BC2+AC2＝52+13＝65，AB2＝65，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
故选：A．
6．解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．
∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．
∴BE＝9﹣AE，
根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．
解得AE＝4．
∴△ABE的面积为3×4÷2＝6．故选：C．
7．解：a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得：＝13．
即a的取值范围是12≤a≤13．
故选：A．
8．解：将圆柱表面切开展开呈长方形，
则彩灯带长为2个长方形的对角线长，
∵圆柱高3米，底面周长2米，
∴AC2＝22+1.52＝6.25，
∴AC＝2.5，
∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m．
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．解：设三边分别为5x，12x，13x，
则5x+12x+13x＝60，
∴x＝2，
∴三边分别为10cm，24cm，26cm，
∵102+242＝262，
∴三角形为直角三角形，
∴S＝10×24÷2＝120cm2．
故答案为：120．
10．解：作等腰三角形底边的高，在直角三角形中，斜边长＝10m，
一直角边长＝12×＝6m，则高长＝＝8，
故钢板面积＝×12×8＝48m2．
11．解：由题意得：AB＝＝＝400（米）．
故答案为：400．
12．解：∵52+122＝169，
∴＝13（m），
∴13+12＝25（米）．
∴旗杆折断之前有25米．
故答案为：25．
13．解：因为|a﹣5|++（13﹣c）2＝0，
而|a﹣5|≥0，≥0，（13﹣c）2≥0，
所以a﹣5＝0，b﹣12＝0，13﹣c＝0，
所以a＝5，b＝12，c＝13，
因为52+122＝132，
所以该三角形是直角三角形．
故答案为：直角．
14．解：如图，m2＝a2﹣42，n2＝b2﹣32，a2+b2＝62
则m2+n2＝a2﹣42+b2﹣32＝62﹣42﹣32＝11．
故答案是：11．
15．解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，
∴直角三角形的面积是（25﹣1）÷4＝6，
又∵直角三角形的面积是 ab＝6，
∴ab＝12．
故答案为：12．
16．解：过点D作DM⊥CI，交CI的延长线于点M，过点F作FN⊥CI于点N，
∵△ABC为直角三角形，四边形ACDE，BCFG为正方形，过点C作AB的垂线CJ，CJ＝4，
∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∠AJC＝∠CMD＝90°，∠CAJ+∠ACJ＝90°，BC＝CF，∠BCF＝90°，∠CNF＝∠BJC＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°，
∴∠ACJ+∠DCM＝90°，∠FCN+∠BCJ＝90°，
∴∠CAJ＝∠DCM，∠BCJ＝∠CFN，
∴△ACJ≌△CDM（AAS），△BCJ≌△CFN（AAS），
∴AJ＝CM，DM＝CJ＝4，BJ＝CN，NF＝CJ＝4，
∴DM＝NF，
∴△DMI≌△FNI（AAS），
∴DI＝FI，MI＝NI，
∵∠DCF＝90°，
∴DI＝FI＝CI＝5，
在Rt△DMI中，由勾股定理可得：
MI＝＝＝3，
∴NI＝MI＝3，
∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8，BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2，
∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10，
∵四边形ABHL为正方形，
∴AL＝AB＝10，
∵四边形AJKL为矩形，
∴四边形AJKL的面积为：AL•AJ＝10×8＝80，
故答案为：80．
三．解答题（共8小题，满分56分）
17．解：如图，连接AC，
在Rt△ABC中，∵AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，AB2+CB2＝AC2
∴AC＝5m，
在△ACD中，AC＝5m，CD＝12m，DA＝13m，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∵S△ABC＝×3×4＝6，S△ACD＝×5×12＝30，
∴S四边形ABCD＝6+30＝36，
费用＝36×30＝1080（元）．
答：铺满这块空地共需花费1080元．
18．解：（1）在Rt△ADE中，由勾股定理得AE2+DE2＝AD2，
即DE2+242＝252，
∴DE＝＝7（m），
答：这架云梯的底端距墙角有7 m远；
（2）∵云梯的顶端A下滑了4m至点A′，
∴A′E＝AE﹣AA′＝24﹣4＝20（m），
在Rt△A′ED′中，由勾股定理得A′E2+D′E2＝A′D′2，
即202+D′E2＝252，
∴D′E＝＝15（m），
∴DD′＝ED′﹣ED＝15﹣7＝8（m），
答：梯子的底端在水平方向也滑动了8m．
19．解：如图，设大树高为AC＝6m，小树高为BD＝2m，
过B点作BE⊥AC于E，则EBDC是矩形，
连接AB，
∴EC＝2m，EB＝5m，AE＝AC﹣EC＝6﹣2＝4m，
在Rt△AEB中，AB＝＝＝≈6.4（m），
答：小鸟至少飞行6.4m．
20．解：（1）PQ的长度16×1.5＝24 n mile，
PR的长度12×1.5＝18 n mile；
（2）∵RQ2＝PR2+PQ2，
∴∠RPQ＝90°，
∵“远航”号沿东北方向航行，
∴“海天”号沿西北方向（或北偏西45°）航行．
21．（1）证明：连接AD，
∵等腰直角三角形ABC，
∴∠C＝∠B＝45°，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAD＝45°＝∠B，∠ADC＝90°，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF＝90°，
∴∠ADF+∠FDC＝90°，∠FDC+∠BDE＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE和△ADF中
，
∴△BDE≌△ADF，
∴DE＝DF．
（2）证明：∵△BDE≌△ADF，
∴BE＝AF，
∵∠EDF＝∠ADC＝90°，
∴∠EDA+∠ADF＝∠ADF+∠FDC＝90°，
∴∠EDA＝∠FDC，
在△ADE和△CDF中
，
∴△ADE≌△CDF，
∴CF＝AE，
∴EF2＝AE2+AF2＝BE2+CF2，
即BE2+CF2＝EF2．
（3）解：EF2＝BE2+CF2＝100，
∴EF＝10，
根据勾股定理DE＝DF＝5，
△DEF的面积是DE×DF＝×5×5＝25．
答：△DEF的面积是25．
22．解：（1）由题意有：n2﹣1，2n，n2+1；
（2）猜想为：以a，b，c为边的三角形是直角三角形．
证明：∵a＝n2﹣1，b＝2n；c＝n2+1
∴a2+b2＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2
而c2＝（n2+1）2
∴根据勾股定理的逆定理可知以a，b，c为边的三角形是直角三角形．
23．解：（1）梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）＝a2+ab+b2，
也可以表示为ab+ab+c2，
∴ab+ab+c2＝a2+ab+b2，
即a2+b2＝c2；
（2）∵CA＝x，
∴AH＝x﹣0.9，
在Rt△ACH中，CA2＝CH2+AH2，
即x2＝1.22+（x﹣0.9）2，
解得x＝1.25，
即CA＝1.25，
CA﹣CH＝1.25﹣1.2＝0.05（千米），
答：新路CH比原路CA少0.05千米；
（3）设AH＝x，则BH＝6﹣x，
在Rt△ACH中，CH2＝CA2﹣AH2，
在Rt△BCH中，CH2＝CB2﹣BH2，
∴CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2，
即42﹣x2＝52﹣（6﹣x）2，
解得：x＝．
24．（1）解：∵直角梯形和矩形的角都为直角，所以它们一定为勾股四边形．
（2）证明：连接CE，∵BC＝BE，∠CBE＝60°
∴△CBE为等边三角形，
∴∠BCE＝60°
又∵∠DCB＝30°∴∠DCE＝90°
∴△DCE为直角三角形
∴DE2＝DC2+CE2
∵AC＝DE，CE＝BC
∴DC2+BC2＝AC2
n
2
3
4
5
…
a
22﹣1
32﹣1
42﹣1
52﹣1
…
b
4
6
8
10
…
c
22+1
32+1
42+1
52+1
…