物理人教版 (2019)单摆课后测评

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基础导学
要点一、单摆及单摆的回复力
1.单摆
(1)如果细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫做 单摆 .单摆是实际摆的理想化模型.
(2)单摆的平衡位置：摆球 静止 时所在的位置.
2.单摆的回复力
(1)回复力的来源：如图所示，摆球的重力沿圆弧 切线 方向的分力提供回复力.
(2)回复力的特点：在偏角很小时，sin θ≈ eq \f(x,l) ，所以单摆的回复力为F＝ －eq \f(mg,l)x ，即小球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成 正比 ，方向总是指向 平衡 位置，单摆的运动可看成是简谐运动.
要点二、单摆的周期
1.单摆振动的周期与摆球 质量 无关，在振幅较小时与 振幅 无关，但与 摆长 有关，摆长越长，周期越长.
2.单摆的周期公式T＝ 2πeq \r(\f(l,g)) .
要点突破
突破一：单摆及单摆的回复力
1．单摆的组成：由细线和小球组成．
2．理想化模型
(1)细线的质量与小球相比可以忽略．(2)小球的直径与线的长度相比可以忽略．
突破二：单摆的回复力
(1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力．
(2)回复力的特点：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－eq \f(mg,l)x.从回复力特点可以判断单摆做简谐运动．
突破三：单摆的周期
1．单摆振动的周期与摆球质量无关(填“有关”或“无关”)，在振幅较小时与振幅无关(填“有关”或“无关”)，但与摆长有关(填“有关”或“无关”)，摆长越长，周期越大(填“越大”“越小”或“不变”)．
2．周期公式
(1)提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的．
(2)公式：T＝2πeq \r(\f(l,g))，即周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关．
技巧归纳：单摆的回复力
(1)摆球受力：如图所示，摆球受细线拉力和重力作用．
(2)向心力来源：细线对摆球的拉力和摆球重力沿径向的分力的合力．
(3)回复力来源：摆球重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ提供了使摆球振动的回复力．
2．单摆做简谐运动的推证
在偏角很小时，sin θ≈eq \f(x,l)，又回复力F＝mgsin θ，所以单摆的回复力为F＝－eq \f(mg,l)x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动．
典例精析
题型一：单摆的回复力
例一．把单摆的振动看作是简谐运动，需要满足的条件是( )
A．摆球体积要大
B．摆线要粗而结实
C．最大摆角不超过5°
D．摆球的重心必须在球心上
【答案】C
【解析】摆球要选用体积较小密度大的金属球，减小空气阻力，故A错误．摆线应细一些并且结实些，以减小空气阻力，故B错误；重力沿弧线的分力提供回复力，最大摆角不超过5°，故C正确；摆球选用体积较小密度大的金属球，减小空气阻力，摆球的重心是否在球心没有定性要求，故D错误．
变式迁移1：关于单摆，下列说法正确的是（ ）
A．摆球受到的回复力是它所受的合力
B．摆球经过平衡位置时，所受的合力不为零
C．摆球的回复力等于重力和摆线拉力的合力
D．摆球在任意位置处，回复力都不等于重力和摆线拉力的合力
【答案】B
【详解】A．摆球所受的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，不是摆球所受的合力，故A错误；B．摆球经过平衡位置时，回复力为零，但由于摆球做圆周运动，有向心力，合力不为零，方向指向悬点，故B正确；CD．根据牛顿第二定律可知，摆球在最大位移处时，速度为零，向心加速度为零，重力沿摆线方向的分力等于摆线对摆球的拉力，回复力才等于重力和摆线拉力的合力；在其他位置时，速度不为零，向心加速度不为零，重力沿摆线方向的分力小于摆线对摆球的拉力，回复力不等于重力和摆线拉力的合力，故C、D错误。故选B。
题型二：分析单摆运动过程中速度、加速度和位移的变化
例二．关于单摆，下列说法中正确的是（ ）
A．单摆摆球的回复力指向平衡位置
B．摆球经过平衡位置时加速度为零
C．摆球运动到平衡位置时，所受合力等于零
D．摆角很小时，摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比
【答案】A
【详解】A．根据回复力的特点可知摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置，故A正确；B．摆球经过平衡位置时，由于做圆周运动，故存在向心加速度，故B错误；C．摆球运动到平衡位置时，回复力等于零，但合力不为零，故C错误；D．摆角很小时，摆球所受回复力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比，而不是合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比，故D错误。故选A。
变式迁移2：关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论中正确的是（ ）
A．摆球受重力、摆线的拉力、回复力、向心力的作用
B．摆球的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大
C．摆球的回复力最大时，摆线中的拉力大小比摆球的重力大
D．摆球的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向
【答案】B
【详解】A．单摆在运动过程中，摆球受重力和摆线的拉力，回复力、向心力都是效果力，A错误；BCD．重力垂直于摆线的分力提供回复力，当回复力最大时，摆球在最大位移处，速度为零，向心力为零，此时摆线的拉力等于重力沿摆线的分力，则摆线的拉力小于重力；在平衡位置处，回复力为零，速度最大，向心力最大，摆球的加速度方向沿摆线指向悬点，CD错误B正确。故选B。
题型三：影响单摆周期的因素、单摆周期公式
例三．如图所示，单摆的周期为T，则下列说法正确的是( )
A．把摆球质量增加一倍，其他条件不变，则单摆的周期变小
B．把摆角α变小，其他条件不变，则单摆的周期变小
C．将此摆从地球移到月球上，其他条件不变，则单摆的周期将变长
D．将单摆摆长增加为原来的2倍，其他条件不变，则单摆的周期将变为2T
【答案】C
【解析】根据单摆的周期公式T＝2π知，周期与摆球的质量和摆角无关，摆长增加为原来的2倍，周期变为原来的倍，故A、B、D错误；月球表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，由周期公式T＝2π知将此摆从地球移到月球上，单摆的周期将变长，C正确．
变式迁移3：如图所示，置于地面上的一单摆在小振幅条件下摆动的周期为T0，下列说法中正确的是（ ）
A．单摆摆动过程，绳子的拉力始终大于摆球的重力
B．单摆摆动过程，绳子的拉力始终小于摆球的重力
C．将该单摆置于高空中相对于地球静止的气球中，其摆动周期为T> T0
D．小球所受重力和绳的拉力的合力提供单摆做简谐运动的回复力
【答案】C
【详解】AB．在最高点时，绳的拉力等于重力的一个分力，此时绳子的拉力小于重力；在最低点的时候绳的拉力和重力共同提供向心力
F-mg=ma
可知F大于mg，故AB错误；C．将该单摆置于高空中相对于地球静止的气球中，由于高度越高，重力加速度越小，根据周期公式
可知，其摆动周期
T＞T0
故C正确；D．小球所受重力和绳的拉力的合力的切向分力提供单摆做简谐运动的回复力，径向分力提供向心力，故D错误。故选C。
题型四：单摆运动图像问题
例四．如图甲所示，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图象如图乙所示。不计空气阻力，取重力加速度g＝10m/s2。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（ ）
A．单摆的摆长约为2.0m
B．单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝8csπt(cm)
C．从t＝0.5s到t＝1.0s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大
D．从t＝1.0s到t＝1.5s的过程中，摆球所受回复力逐渐增大
【答案】．D
【详解】
A．由图乙可知，单摆周期为2s，由单摆周期公式
可解得单摆的摆长为
A错误；
B．单摆的位移x随时间t变化的关系式为
B错误；
C．从t＝0.5s到t＝1.0s的过程中，摆球从最高点回到平衡位置，摆球的重力势能逐渐减小，C错误；
D．从t＝1.0s到t＝1.5s的过程中，摆球从平衡位置回到最高点，位移逐渐增大，回复力与位移成正比，古摆球所受回复力逐渐增大，D正确。
故选D。
变式迁移4：如图甲所示，O是单摆的平衡位置，单摆在竖直平面内左右摆动，M、N是摆球所能到达的最远位置。设向右为正方向。图乙是单摆的振动图像。当地的重力加速度大小为，下列说法正确的是（ ）
A．单摆振动的周期为0.4sB．单摆振动的频率是2.5Hz
C．时摆球在M点D．单摆的摆长约为0.32m
【答案】．C
【详解】
A.由题图乙知周期，选项A错误；
B.则频率
选项B错误；
C.由题图乙知，时摆球在负向最大位移处，因向右为正方向，所以开始时摆球在M点，选项C正确；
D.由单摆的周期公式
得
选项D错误。
强化训练
选择题
1．关于单摆，下列说法中正确的是（ ）
A．摆球运动的回复力是它重力沿切线方向上的分力
B．摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置
C．摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点，加速度是改变的
D．摆球经过平衡位置时，加速度为零
【答案】A
【详解】A.根据回复力的定义单摆运动的回复力是重力沿切线方向上的分力,A正确；B.球在运动过程中，回复力产生的加速度的方向始终指向平衡位置，而向心加速度指向悬点，合成后，加速度方向不是始终指向平衡位置，B错误；C.摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点，受力情况相同，加速度是不变的，C错误；D.球经过平衡位置时，加速度不为零，有向心加速度，D错误。故选A。
2．了解物理规律的发现过程，学会像科学家那样去观察和思考，往往比掌握知识本身更重要。以下说法中符合历史事实的是（ ）
A．开普勒通过对行星观测记录的研究，得出了行星绕太阳运行的轨道为椭圆
B．伽利略首先引入了瞬时速度、加速度的概念，麦克斯韦第一次提出了电场的概念
C．富兰克林命名了正电荷和负电荷，同时还测定了元电荷的电量
D．牛顿发现了单摆做简谐运动的周期公式，并得出了周期与振幅、摆球质量无关
【答案】A
【详解】A．开普勒通过对行星观测记录的研究，得出了行星绕太阳运行的轨道为椭圆，故A正确；B．伽利略首先引入了瞬时速度、加速度的概念，法拉第第一次提出了电场的概念，故B错误；C．富兰克林命名了正电荷和负电荷，密立根测定了元电荷的电量，故C错误；D．惠更斯发现了单摆做简谐运动的周期公式，并得出了周期与振幅、摆球质量无关，故D错误。故选A。
3．如图所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图像，下列说法不正确的是（ ）
A．甲摆的振幅比乙摆大，甲的摆长大于乙的摆长
B．甲摆的周期等于乙摆的周期
C．在时甲摆正经过平衡位置向x轴负方向运动
D．在时乙的速率大于甲的速率
【答案】A
【详解】AB.由图可知甲的振幅为10cm，乙的振幅为7cm，所以甲摆的振幅比乙摆大，再根据单摆周期公式
由振动图像知甲和乙的周期相等均为2s，所以甲的摆长等于乙的摆长，故A错误，B正确；C．由振动图像知在时甲摆正经过平衡位置向x轴负方向运动，故C正确；D．由振动图像知在时甲离平衡位置最远，振动速度为零，而乙在平衡位置，速度最大，所以乙的速率大于甲的速率，故D错误。本题选错误的，故选A。
4．图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球（可视为质点）拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中（ ）
A．摆球受到重力、拉力、向心力、回复力四个力的作用
B．摆球在A点和C点处，速度为零，合力与回复力也为零
C．摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大
D．摆球在B点处，速度最大，回复力也最大
【答案】．C
【解析】A．摆球在运动过程中只受到重力和拉力作用，向心力、回复力为效果力，实际上不存在的，所以A错误；
BCD．摆球在摆动过程中，在最高点A、C处速度为零，回复力最大，合力不为零，在最低点B处，速度最大，回复力为零，细线的拉力最大，C正确；BD错误；
故选C。
5．如图所示,摆长为L的单摆,周期为T．如果在悬点O的正下方的B点固定一个光滑的钉子,OB的距离为OA长度的5/9，使摆球A通过最低点向左摆动,悬线被钉子挡住成为一个新的单摆,则下列说法中正确的是 ( )
A．单摆在整个振动过程中的周期不变
B．单摆在整个振动过程中的周期将变大为原来的6/5倍
C．单摆在整个振动过程中的周期将变小为原来的5/6倍
D．单摆在整个振动过程中的周期无法确定
【答案】．C
【解析】根据单摆周期公式：，未加钉子时，周期：，悬线长变为被挡后，周期变为，所以加了钉子的周期为：，所以周期变为原来的，ABD错误C正确
6．如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，g取10 m/s2对于这个单摆的振动过程，下列说法中正确的是（ ）
A．单摆的位移x随时间t变化的关系式为x=10 sin（πt） m
B．单摆的摆长约为1.0 m
C．从t=2.5 s到t=3.0 s的过程中，摆球的动能逐渐减小
D．从t=2.5 s到t=3.0 s的过程中，摆球所受回复力逐渐增大
【答案】．B
【详解】
A．根据振动图象读出周期
T=2s
振幅
A=10cm
由
可得到角频率
ω=πrad/s
则单摆的位移x随时间t变化的关系式为
x=Asinωt=10sin（πt）cm
故A错误；
B．根据单摆周期公式
代入数据可得
L=1m
故B正确；
C．从t=2.5s到t=3.0s的过程中，摆球从最高点运动到最低点，速度增大，所以动能逐渐增大，故C错误；
D．从t=2.5s到t=3.0s的过程中，摆球的位移减小，回复力减小，故D错误。
故选B。
7.如图所示，两单摆摆长相同，平衡时两摆球刚好接触．现将摆球A在两摆线所在平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后，两摆球分开各自做简谐运动．以mA、mB分别表示摆球A、B的质量，则( )
A．如果mA＞mB，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧
B．如果mA＜mB，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧
C．无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧
D．无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都在平衡位置右侧
【答案】C
【解析】根据周期公式T＝2π知，两单摆的周期相同，与质量无关，所以相撞后两球分别经过T后回到各自的平衡位置．这样必然是在平衡位置相遇；所以不管A、B的质量如何，下一次碰撞都在平衡位置，故A、B、D错误，C正确．
8.如图5所示，两段光滑圆弧轨道半径分别为R1和R2，圆心分别为O1和O2，所对应的圆心角均小于5°，在最低点O平滑连接．M点和N点分别位于O点左右两侧，MO的距离小于NO的距离．现分别将位于M点和N点的两个小球A和B(均可视为质点)同时由静止释放．关于两小球第一次相遇点的位置，下列判断正确的是( )
图5
A．恰好在O点
B．一定在O点的左侧
C．一定在O点的右侧
D．条件不足，无法确定
【答案】C
【解析】据题意，两段光滑圆弧所对应的圆心角均小于5°，把两球在圆弧上的运动看做等效单摆，等效摆长等于圆弧的半径，则A、B两球的运动周期分别为TA＝2π，TB＝2π，两球第一次到达O点的时间分别为tA＝TA＝，tB＝TB＝，由于R1