人教版（2024）数学八年级下册 21.3.2 菱形（课件）

菱形的判定四边形学习目标1. 理解并掌握菱形的判定方法，体会类比数学思想方法 的作用．2. 引导学生从边和对角线探究菱形的判定定理，养成 主动探索的学习习惯．3. 运用菱形的判定方法进行证明或计算，发展学生的 推理能力．知识回顾问题：菱形的定义是什么？性质有哪些？定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.性质：1.具有平行四边形的一切性质.2.菱形本身具有的特殊性质：①四条边都相等；②两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；③菱形是轴对称图形..3.菱形的面积=底×高或对角线乘积的一半.根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=AD，∴四边形ABCD是菱形.思考：你还有其他的判定方法吗？探索新知 前面我们用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字. 在四周围上一根橡皮筋，做成一个平行四边形. 那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形？对此你有什么猜想.猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.已知：如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且BD⊥AC. 求证：□ABCD是菱形.证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴OA = OC .∵AC ⊥ BD，∴BO垂直平分 AC，∴AB = CB，∴□ABCD 是菱形.尝试证明对角线互相垂直的平行四边形是菱形.菱形的判定定理1：归纳总结▶几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，且BD⊥AC， ∴□ABCD是菱形． 如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别相交于点 E，F. 求证：四边形 AFCE 是菱形.例 4 如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别相交于点 E，F. 求证：四边形 AFCE 是菱形.例 4证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AE∥CF .∴∠1 = ∠2 .又∠AOE = ∠COF，AO = CO，∴△AOE≌△COF .∴EO = FO .∴四边形 AFCE 是平行四边形.又 AC ⊥ EF，∴四边形 AFCE 是菱形.练 习1.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若添加一个条件，可推出□ABCD是菱形，则该条件可以是（ ）A. AB=AC B. AC=BDC. AC⊥BD D. AB⊥ACC2. 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O 且 互相垂直平分. 求证：四边形 ABCD 是菱形.证明：∵对角线 AC，BD 互相垂直平分，∴AC ⊥ BD，AO = CO，DO = BO .∴四边形 ABCD 是平行四边形.又AC ⊥ BD，∴□ABCD是菱形.【选自教材第75页 练习 第1题】 用四根长度一样的木条，首尾顺次相接. 得到的四边形是菱形吗？请说明理由.动手操作猜想：四条边相等的四边形是菱形.已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = DA .求证：四边形 ABCD 是菱形.证明：∵AB = CD，DA = BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形.又 AB = BC，∴ □ ABCD 是菱形.尝试证明菱形的判定定理2：归纳总结▶四条边相等的四边形是菱形.几何语言：∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形. 如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别相交于点 E，F. 求证：四边形 AFCE 是菱形.例 4证明：∵EF 垂直平分 AC，∴AE = EC，AF = FC . ∴∠1 =∠3.∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AE∥BC，∴∠1 = ∠2，∴∠2 = ∠3.又OC = OC，∠EOC = ∠FOC = 90°，∴△EOC ≌ △FOC（ASA）.∴EC = FC = AE = AF .∴四边形 AFCE 是菱形.练 习1.如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点. 求证：四边形EFGH是菱形.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC，AB=CD．∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，∴AH=DH=BF=CF，AE=BE=CG=DG．∴△AHE≌△BFE≌△CFG≌△DHG(SAS)，∴HE=FE=FG=HG，∴四边形EFGH是菱形．2. 如图，两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形 ABCD 是一个菱形吗？为什么？解：四边形 ABCD 是一个菱形. 理由：如图，过点 A 分别作 AE ⊥ BC 于点 E，AF ⊥ CD 于点 F . 由题意，得 AE = AF.∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠B =∠D.又∠AEB = ∠AFD = 90°，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AB = AD，∴ □ ABCD 是菱形.【选自教材第75页 练习 第2题】3. 一张三角形纸片如图所示，请你用纸片折出一个菱形， 使∠A 是菱形的一个内角，和点 A 相对的顶点在边 BC 上，并说明所折图形是菱形的理由.解：如图，将△ABC 折叠，使 AB，AC 重合，得折痕 AD . 展开后再次折叠使点 A，D 重合，得折痕 EF，连接 DE，DF，则四边形 AEDF 为菱形.【选自教材第75页 练习 第3题】理由：设 AD，EF 相交于点 O .由折叠可知，∠EAO = ∠FAO，EF 垂直平分AD .∴∠AOE = ∠AOF = 90°，AE = DE，AF = DF .∴△AEO≌△AFO（ASA）.∴AE = AF . ∴AE = AF = DE = DF .∴四边形 AEDF 为菱形.4.如图，在□ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF 于点O，交BC于点E，连接EF.（1）求证：四边形ABEF是菱形；ABECDFO证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EBF=∠AFB．∵BF 平分∠ABC，∴∠ABF=∠EBF，∴∠ABF=∠AFB，∴AB=AF．∵AE⊥BF，∴∠AOB=∠EOB=90°．又BO=BO，∴△ABO≌△EBO(ASA)，∴AB=BE．∴BE=AF．又BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形．又AB=AF，∴四边形ABEF是菱形．（2）若AE=6，BF=8，CE=3，求□ABCD的面积．ABECDFO解:如图，过点F作FG⊥BC于点G．G课堂小结菱形的判定定义法有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 判定定理四条边相等的四边形是菱形.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.运用定理进行计算和证明