人教版（2024）数学八年级下册 第二十一章 四边形数学活动 黄金矩形和剪拼正方形（课件含音视频）

数学活动 黄金矩形和剪拼正方形四边形活动1 黄金矩形 宽与长的比是 (约为 0.618) 的矩形叫作黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界上有些著名的建筑、它们中有的建筑立面的矩形轮廓就非常接近黄金矩形。 下面我们折纸做一个黄金矩形：第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图 1 的方法折出一个正方形 MNAB，然后把纸片展平.图 1第二步，如图 2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平。ABNMDC图 2第三步，折出矩形 CDAB 的对角线 BD，并把 BD 折到图 3 中所示的 ED 处.ABNMDCE图 3BMANEF第四步，展平纸片，如图 4，按照所得的点 E 折出 EF，矩形 BAEF 就是黄金矩形。图 4 你能说明为什么矩形 BAEF 是黄金矩形吗？（提示：设 MN 的长为 2. ）BMANEF2DC21  　　矩形MNEF是黄金矩形吗？请说明理由．　　1 1 2 是黄金矩形BMANEFDC活动2 剪拼正方形 如图 5，有两个大小不等的正方形纸片，你能通过剪拼，把它们拼接成一个大正方形吗？试试看！图 5 图 6 给出了一种方法，请你说出这种方法剪拼的过程，你还有其他方法吗？图 6 事实上，图 6 就是刘徽证明勾股定理的“青朱出入图”（图 7），利用了将图形分割后再拼接，面积不变的性质，这也是我国古代“出入相补法”的基本思想.请你查阅相关资料，了解出入相补法及其在我国古代数学研究中的作用.图 7由于正方形的边、角、对角线的性质非常特殊，所以在正方形中存在很多典型的几何模型，如“一线三垂直”模型、“十字架”模型、“半角”模型等等，利用常见模型中的结论建立常见模型解决问题是解决与正方形有关探究问题的关键.类型勾股弦图变形图11. 一线三垂直模型(1)一线三垂直——“L”字模型(如图1)(2)一线三垂直——“K”字模型(如图2)例 1如图3，在正方形ABCD中，点E是边AB 上的一动点 (不与点A，B 重合) . 连接DE，点A 关于直线DE的对称点为F，连接EF 并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH.(1)求证： GF＝GC；证明：如图3，连接DF.∵四边形ABCD 为正方形，∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°.∵点A 关于直线DE 的对称点为F，∴易知△ADE ≌△FDE.∴ DA＝DF，∠DFE＝∠A＝90°. (2)用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明.   2. 十字架模型在正方形内，分别连接两组对边上任意两点，得到的两条线段(如图4 ①中的线段AF与BE，图4 ②中的线段AF 与EG，图4 ③中的线段HF 与EG )满足：若垂直，则相等.如图5，在正方形ABCD 中，E 是BC 上的一点，连接AE，过B点作BG⊥AE，垂足为点G，延长BG 交CD 于点F，连接AF.例 2(1)求证： BE＝CF.证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴ AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°.∴∠BAE＋∠AEB＝90°.∵ BG⊥AE，∴∠BGE＝90°.∴∠EBG＋ ∠AEB＝90°.∴∠BAE＝∠EBG.∴△ABE ≌△BCF(ASA).∴ BE＝CF.(2)若正方形ABCD 的边长是5，BE＝2，求AF 的长. 类型绕顶点旋转——半角模型2(1)如图6，在正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，则：①EF＝BE＋DF；②△CEF的周长是正方形ABCD边长的2 倍；③ FA 平分∠DFE，EA 平分∠BEF.(2)如图7，在正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，FA 平分∠DFE，则EF＝DF－ BE.如图8，在正方形ABCD 中，点E是AB上一点，点F 是AD 延长线上一点，且DF＝BE.例 3(1)求证： CE ＝CF. (2)旋转图中哪个三角形可以得到△CBE ？怎样进行旋转？解：△CDF.将△CDF 绕点C 逆时针旋转90°可以得到△CBE.(3)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD 成立吗？为什么？解：GE＝BE＋GD 成立. 理由如下：由(1)知△CBE ≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF.∴∠DCF＋ ∠ECD＝∠BCE＋∠ECD，即∠ECF＝∠BCD＝90°.又∵∠GCE＝45°，∴∠GCF＝45°＝∠GCE. 类型正方形中过对角线交点的直角问题3 如图10，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，点O 又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点 E，OC1交BC 于点F.例 4(1)求证：△AOE ≌△BOF. (2)如果两个正方形的边长都为a，那么这两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？