高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.2 三角函数的概念5.2.2 同角三角函数的基本关系学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.2 三角函数的概念5.2.2 同角三角函数的基本关系学案设计，共4页。学案主要包含了学习目标0，概念学习 1，概念延伸2，概念巩固3，举例讲解4，学习总结4，自我总结5等内容，欢迎下载使用。

1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.
2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.
【概念学习 1】同角三角函数的基本关系
【概念延伸2】同角三角函数基本关系式的常用变形
1.sin2α+cs2α=1的变形公式:sin2α= ;cs2α= .
2. sin2α=___________________=tan2αtan2α+1; cs2α=____________________=1tan2α+1.
3. (sin α±cs α)2= = ___________ .
【概念巩固3】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)sin23α+cs23α=1.( )
(2)对任意角α,sinα2csα2=tanα2都成立.( )
(3)若sin α=12,则cs α=32.( )
(4)已知sin αcs α=13(0<α<π),则sin α+cs α=153.( )
【举例讲解4】
例1 (1)已知α∈π,3π2,tan α=2,求cs α,sin α的值.
(2)已知sin α=-35,求cs α,tan α的值. (3)已知tan α=-512,求sin α,cs α的值.
例2 已知sin θ+cs θ=12(0<θ<π),求sin θcs θ和sin θ-cs θ的值.
变式 已知α∈π4,π2,且sin α·cs α=18,求cs α-sin α,sin α+cs α的值.
例3 已知tan α=3,求下列各式的值.
(1)4sinα-csα3sinα+5csα; (2)sin2α-2sinα·csα-cs2α4cs2α-3sin2α;
(3)sin2α-2sin αcs α. (4)sin4α+sin2 αcs2 α + cs2 α.
变式 已知sinα+csα3sinα-csα=3.
(1)求tan(2π+α)的值; (2)求sin αcs α的值.
例4 化简下列各式.
(1)sinα1-csα·tanα-sinαtanα+sinα; (2)1-cs2αsinα-csα-sinα+csαtan2α-1;
(3)1-2sin40°cs40°cs40°-1-cs240°. (4)1+sinα1-sinα−1-sinα1+sinα (其中α为第二象限角).
例5 求证: (1)1+2sinαcsαsin2α-cs2α=tanα+1tanα-1. (2) )tan2α-sin2 α=tan2αsin2 α
变式 已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1.
例6已知sin α,cs α是关于x的方程x2+ax-a=0(a∈R)的两个实根,则a的值是( )
A.-1±2 B.1±2 C.2-1 D.1-2
【学习总结4】
(1)sin α+cs α,sin α-cs α,sin αcs α三个式子中,已知其中一个,可以求其他两个,即“知一求二”,它们之间的关系是(sin α±cs α)2=1±2sin αcs α.
(2)求sin θ+cs θ或sin θ-cs θ的值时,要注意判断它们的符号.
(3)已知tan α=m,可以求asinα+bcsαcsinα+dcsα或asin2α+bsinαcsα+ccs2αdsin2α+esinαcsα+fcs2α的值,将分子分母同时除以cs α或cs2α,得到关于tan α的式子,从而达到求值的目的.
(4)对于asin2α+bsin αcs α+ccs2α的求值,可看成分母是1,利用1=sin2α+cs2α进行代替后分子分母同时除以cs2α,得到关于tan α的式子,从而可以求值.
(5)常用方法:①从左向右证;②从右向左证;③左、右归一;④变更命题法,如要证明ab=cd,可证ad=bc,或证db=ca等;
⑤比较法,即设法证明“左边-右边=0”或“左边右边=1”.
(6)常用技巧:“切”化“弦”、整体代换、“1”的代换、方程思想.
(7)求三角函数值的方法
❶已知sin θ(或cs θ)求tan θ常用以下方法求解:
❷已知tan θ求 sin θ(或cs θ)常用以下方法求解:
注:当角θ的范围不确定且涉及开方时,常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论.
【自我总结5】
通过本节课的学习，你觉得高中三角函数求值和证明变难了吗？变难的地方在哪？高中问题是不是要多注意分析和讨论，不能像初中那样、简单明了、直接上手、运算求值。请你归纳出自己的学习总结和课堂理解。
关系式
文字表述
平方
关系
sin2α+cs2α=
同一个角α的正弦、余弦的 等于
商数
关系
sinαcsα= α≠π2+kπ,k∈Z
同一个角α的正弦与余弦的商等于角α的
不等
关系
若角α是第一象限角，则sinα+csα _____1
若角α是锐角，则sinα<α