人教A 版 2019 高中数学高一上学期（必修一）期末高频考点题型专题训练-20 同角三角函数的基本关系（教师版+学生版）

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc18964" 考点1 同角三角函数的基本关系 PAGEREF _Tc18964 \h 1
\l "_Tc1387" 【热考题型1】已知一个三角函数值求其他三角函数值 PAGEREF _Tc1387 \h 1
\l "_Tc7524" 【热考题型2】利用同角三角函数的基本关系化简、求值 PAGEREF _Tc7524 \h 3
\l "_Tc15208" 考点2 同角三角函数基本关系式的应用技巧 PAGEREF _Tc15208 \h 4
\l "_Tc9151" 【热考题型3】sinα±csα和sinα·csα的关系 PAGEREF _Tc9151 \h 5
\l "_Tc1795" 【热考题型4】正、余弦齐次式的求值 PAGEREF _Tc1795 \h 6
\l "_Tc7691" 【热考题型5】三角函数恒等式的证明 PAGEREF _Tc7691 \h 8
\l "_Tc5483" 易错题型(练易错) PAGEREF _Tc5483 \h 10
\l "_Tc15638" 高分必刷(刷高分) PAGEREF _Tc15638 \h 16
考点1 同角三角函数的基本关系
同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cs2α=1．
（2）商的关系：tan α=．
知识点诠释：
（1）这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（使得函数有意义的前提下）关系式都成立；
（2）是的简写；
（3）在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取．
2. 公式常见变形：
①sin2α=1–cs2α；②cs2α=1–sin2α；③sin α=±；
④cs α=±；⑤sin α=cs αtan α；⑥cs α=；
⑦sin2α==；⑧cs2α==．
\l "_Tc17993" 【热考题型1】已知一个三角函数值求其他三角函数值
【典型例题1】已知，且是第三象限角，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函数关系即可求得结果.
【详解】因为，且是第三象限角，所以.
故选：D.
【变式训练1】已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】应用平方关系求余弦值即可.
【详解】由平方关系有.
故选：A
【变式训练2】在中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据三角形的性质，结合充分条件、必要条件的概念可得答案.
【详解】∵在中，，∴.
∵，
∴由得或，由得，
∴“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
【变式训练3】已知角是第四象限角，且，则 ．
【答案】
【分析】由，利用平方关系求，再由商的关系求.
【详解】因为，角是第四象限角，
所以，又，
所以，
又，所以.
故答案为：.
\l "_Tc17993" 【热考题型2】利用同角三角函数的基本关系化简、求值
【典型例题1】已知，则
【答案】
【分析】根据条件，利用平方关系得到，从而得到，，即可求解.
【详解】由，得到，
整理得到，解得或（舍），
所以，则，
故答案为：.
【变式训练1】若 ，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用同角公式求解即可.
【详解】由，得.
故选：A
【变式训练2】已知，则 .
【答案】
【分析】平方后利用同角的基本关系化简求出，再求，即可得解.
【详解】两边平方得：，
所以
解得，代入，解得，
所以，
故答案为：
【变式训练3】已知，则 .
【答案】/0.5
【分析】利用同角三角函数的基本关系求解即可.
【详解】因为，所以，
则，故.
故答案为：
考点2 同角三角函数基本关系式的应用技巧
1. 同角三角函数基本关系式的应用技巧
sin θ±cs θ与sin θcs θ之间的关系
(1)(sin θ＋cs θ)2＝1＋2sin θcs θ；
(sin θ－cs θ)2＝1－2sin θcs θ，
利用该公式，已知其中一个，能求另外二个，即“知一求二”．
(2)求sin θ＋cs θ或sin θ－cs θ的值，要注意判断它们的符号．
正、余弦齐次式的计算
(1)已知tan α＝m，可以求eq \f(asin α＋bcs α,csin α＋dcs α)或eq \f(asin2α＋bsin αcs α＋ccs2α,dsin2α＋esin αcs α＋fcs2α)的值，将分子分母同除以cs α或cs2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的．
(2)对于asin2α＋bsin αcs α＋ccs2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cs2α进行代替后分子分母同时除以cs2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值．
(3)齐次式的化切求值问题，体现了数学运算的核心素养．
\l "_Tc17993" 【热考题型3】sinα±csα和sinα·csα的关系
【典型例题1】若，则 ．
【答案】/0.4
【分析】根据与的关系即可求解.
【详解】，
两边平方得，即，
所以.
故答案为：.
【变式训练1】已知，且，则的值为 ．
【答案】/
【分析】结合角的范围，三角函数性质证明，再由条件结合同角关系求结论.
【详解】，
且，
．
又，
．
故答案为：.
【变式训练2】已知 ， 则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在等式两边平方，求出的值，再利用切化弦可求得的值.
【详解】在等式两边平方可得，可得，
所以.
故选：B.
【变式训练3】已知，则（ ）
A．B．1C．0D．
【答案】C
【分析】将 两边平方，可得，计算进而可求解.
【详解】将 两边平方，得，
即，所以，
所以
故选：.
\l "_Tc17993" 【热考题型4】正、余弦齐次式的求值
【典型例题1】若，则（ ）
A．B．6C．11D．13
【答案】D
【分析】由同角三角商的关系，弦化切即可求解；
【详解】.
故选：D
【变式训练1】设，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】将分子上的1用，然后分子分母同除以，化为只含的式子，再代值计算即可.
【详解】因为，
所以
.
故选：A
【变式训练2】设，则的值（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】借助同角三角函数基本关系将弦化为切后计算即可得.
【详解】
.
故选：B.
【变式训练3】已知，且.
(1)求的值；
(2)的值.
【答案】(1)； (2)
【分析】（1）根据题意，得到，结合三角函数的基本关系式，求得，进而求得的值；
（2）由（1）知，化简，代入计算，即可求解.
【详解】（1）解：因为，可得，
又因为，可得，所以，
则
（2）解：由（1）知，
则.
\l "_Tc17993" 【热考题型5】三角函数恒等式的证明
【典型例题1】（1）求证：；
（2）已知，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）在右边分式的分子和分母同时乘以，结合同角三角函数的基本关系化简可证得所求不等式成立；
（2）设，，则，，由已知等式化简得出，然后代入所证不等式证明即可.
【详解】（1）右边
左边，
故原等式成立；
（2）设，，则，，
由，得，即．
所以，，故．
【变式训练1】证明下列恒等式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
【分析】（1）由左边，利用同角间正弦、余弦的关系，化简变形即可的证；
（2）由右边，展开，利用同角间正弦、余弦的关系，化简后分解因式，即可得到左边，恒等式的证.
【详解】（1）左边
右边.
则恒等式成立.
（2）右边
左边.
则恒等式成立.
【变式训练2】证明：
(1)；
(2).
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用平方关系和商关系可证结论；
（2）利用平方关系可证结论.
【详解】（1）证明：左边=
=右边.
（2）证明：左边= =右边.
易错题型
1．已知是第四象限角，，则 .
【答案】/
【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得.
【详解】因为是第四象限角，，
所以，则.
故答案为：
2．已知，，则 ．
【答案】
【分析】可先对两边平方，求出的值，再将展开并代入的值，最后结合的取值范围确定的值.
【详解】将两边平方可得.
则， .
将
因为，在这个区间内，，所以.
可得.
故答案为：
3．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三角函数值的符号可确定为第一象限角，根据同角三角函数关系可求得，代入即可求得结果.
【详解】，，为第一象限角，，
由得：，，.
故选：D.
4．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据已知条件求出的值，再结合的取值范围判断与的正负及大小关系，进而求出的值.
【详解】因为，
所以，又，所以，
则，.
故选：D.
5．已知，则 .
【答案】
【分析】将已知等式平方后结合同角的三角函数关系可得.
【详解】，
即.
故答案为：.
6．已知，则 ，若，则 .
【答案】 /
【解析】由题意：，得：，
所以：，
所以：，
因为：，所以：，
又因为：，得：，
所以：，得：
又因为：，所以：，，
所以：.
故答案为：；.
7．已知，，则的值为 ．
【答案】
【解析】由题意，两边同时平方可得，
即，
所以，
又因为，所以，，
所以，
可得．
故答案为：
8．已知，若，则的值为
【答案】
【解析】因为，，则有，
有，即，，
因此，
所以.
故答案为：
9．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】因为，所以，解得，故A正确；
又因为，，所以，，，
所以，故B错误；
，故C正确；
，故D正确.
故选：ACD.
10．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函数的基本关系求出、，即可得解.
【详解】因为，
所以，
即，即，
显然，所以，则，
又，所以，
所以.
故选：D
11．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据同角三角函数平方关系和角的范围可构造方程求得，进而得到，由同角三角函数商数关系可求得结果.
【详解】由得：，
，
解得：或，
又，，即，，
.
故选：C.
12．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题设有，结合平方关系可得，再求出目标式的值.
【详解】由题设，又，
所以，
则.
故选：C
13．（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）（2）0或．
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；
（2）由平方关系求出，从而求出，即可得到
【详解】（1）由，所以；
（2）由，，可得，
即，则或，
当时，，则；
当时，，则；
所以或．
14．已知，
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）根据角的范围确定，即可由一元二次方程求解，
（2）（3）根据弦切齐次式即可求解.
【详解】（1）由于，所以，
又得，
解得或（舍去），
故
（2）
（3）
15．求证：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【详解】（1）左边==右边，故得证，
（2）左边==右边，故得证，
（3）左边==右边，故得证，
（4）左边==右边，故得证
高分必刷
1．设，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】通过商的关系，由弦化切即可求解；
【详解】，
故选：A
2．设，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出函数解析式，再代入计算求出函数值即可.
【详解】因为，
设，所以，化简得，
所以，，
则.
故选：A.
3．已知角的终边与单位圆交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】点代入单位圆的方程求出点可得，再由弦化切可得答案.
【详解】角的终边与单位圆交于点，
，，，
当时，；
当时，．
故选：AC.
4．设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得关于，的方程，结合同角三角函数的关系，完全平方公式，平方差公式，逐项判断即可.
【详解】对于A，由，是方程的两根，则，
，即，解得，
此时，符合题意，因此，A错误；
对于B，由，，得，，
，B正确；
对于C，由选项B及已知得，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：BD
5．已知是第四象限角，且 ，那么的值为
【答案】
【分析】由平方关系求得正弦，再由商的关系即可求解.
【详解】因为是第四象限角，所以，
由，可得：，
所以，
所以，
故答案为：
6．已知，则 .
【答案】
【分析】利用切化弦，再结合平方公式求值即可.
【详解】
故答案为：.
7．已知，则= ．
【答案】/
【分析】利用齐次式法计算得解.
【详解】由，得.
故答案为：
8．已知，则
【答案】
【分析】，然后将条件两边平方即可得出答案.
【详解】，
，
所以，所以，
故答案为：.
9．已知是方程的两根，则 .
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与关系，结合同角的三角函数关系式进行化简即可.
【详解】，
因为是方程的两根，
所以，
因此，
所以
故答案为：
10．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
所以．
故选：B
11．若，则 ＝
【答案】
【解析】.
故答案为：.
12．已知（），求和的值．
【答案】，.
【分析】根据给定条件，利用同角公式，结合三角函数的符号法则求解即得.
【详解】由，得，即，
解得，而，则，
因此，
所以，.
13．（1）已知，在第三象限，求，的值；
（2）已知，求的值.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）利用同角公式求解.
（2）利用齐次法计算得解.
【详解】（1）由在第三象限，得，而，
所以，.
（2）由，得.
14．（1）已知，并且是第二象限角，求和的值．
（2）已知，求和的值．
【答案】（1），；（2）答案见解析
【分析】（1）利用同角三角函数关系结合角的象限求解即可；
（2）利用同角三角函数关系，按照角的象限分类讨论求解即可.
【详解】（1），又因为是第二象限角，
所以，．
（2），
因为，所以是第二或第三象限角，
当是第二象限角时，；
当是第三象限角时，．
15．化简下列各式
(1)若，化简；
(2)若，化简.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角函数的平方关系，分子分母同乘和即可；
（2）根据三角函数的平方关系，分子分母同乘和即可；
【详解】（1）若，则，，
所以
.
（2）若，则，，
所以
.
16．（1）已知，求的值；
（2）已知，且，求的值.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）弦化切求解即可；
（2）同角三角平方关系即可求解.
【详解】（1），
（2）因为，所以，
，
所以
17．已知.
(1)求；
(2)若是第一象限角，求的值.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）配凑分母，根据正余弦齐次式的求法可构造方程求得结果；
（2）利用同角三角函数关系化简所求式子，并求得的值，代入即可得到结果.
【详解】（1），
，解得：或.
（2），
是第一象限角，，，
由（1）知：，由得：，
.
18．已知及是关于的方程的两个实根，求的值．
【答案】.
【分析】由，可得，求出的值，再化简为即可求解.
【详解】因为 与 是关于 的方程 的两个实根，
，
将 两边平方可得：
即
整理得： ，
解得或，
当时原方程化为无解，舍去，
经检验符合题意，

19．已知，求下列各式的值：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)(2)(3)
【分析】利用条件化简得出，再利用齐次化的思想解决剩余两问.
【详解】（1）若，则不符合题意，故，
则由可得，得；
（2）；
（3）
20．（1）已知角的终边经过点，求；
（2）已知，求．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）利用三角函数定义求出正弦和余弦值，从而得到答案；
（2）齐次化变形求出，从而得到，代入求值，即得答案.
【详解】（1）由三角函数定义可知
，
所以；
（2），故，
则.
21．已知，
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用商数关系化弦为切，再将代入即可得解；
（2）根据平方关系将化为，再利用商数关系化弦为切，再将代入即可得解；
（3）根据平方关系将化为，再利用商数关系化弦为切，再将代入即可得解.
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
22．证明：.
【答案】证明见解析.
【分析】根据平方关系将所证等式的左侧化简，再根据商的关系将其转化为正切即可.
【详解】左边右边.
所以.
23．求证：.
【答案】证明见解析
【分析】应用作差法，结合同角三角函数平方关系化简求值，即可证结论.
【详解】∵，
∴＝.
24．求证：
(1)；
(2)已知，求证：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】利用同角三角函数的基本关系进行证明即可.
【详解】（1）左边
=右边.
（2）
，成立
技巧
解读
适合题型
切弦互化
主要利用公式tan θ＝eq \f(sin θ,cs θ)化成正弦、余弦，或者利用公式eq \f(sin θ,cs θ)＝tan θ化成正切
表达式中含有sin θ，cs θ与tan θ
“1”的变换
1＝sin2θ＋cs2θ＝cs2θ(1＋tan2θ)＝(sin θ±cs θ)2∓2sin θcs θ＝taneq \f(π,4)
表达式中需要利用“1”转化
和积转换
利用关系式(sin θ±cs θ)2＝1±2sin θcs θ进行变形、转化
表达式中含有sin θ±cs θ或sin θcs θ