人教版（2024）七年级上册（2024）进位制的认识与探究综合训练题

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A．3B．4C．5D．6
2．计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1．将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若干个2n数的和，依次写出1或0即可．如19(10)=16+2+1=1×24+0×23+0×22+1×21+1=10011(2)为二进制下的五位数，则十进制1025是二进制下的（ ）
A．10位数B．11位数C．12位数D．13位数
3．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位渔夫从右往左打结，满五进一，用来记录捕到的鱼的数量．由图可知，他一共捕到的鱼的数量为（ ）
A．34B．194C．1234D．6154
4．2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．
二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数：
22＝1×24+0×23+1×22+1×21+0×20＝101102．
传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数：
22＝2×32+1×31+1×30＝2113．
将二进制数10112化为三进制数为（ ）
A．1023B．1013C．1103D．123
5．在电子工程中，数字电路使用的是二进制系统，而采用八进制编码的数字也经常用于显示屏控制、芯片编程和微处理器设备中．现用二进制记数法表示正整数，例如：3＝2+1＝1×21+1×20，记作3＝（11）2，12＝8+4＝1×23+1×22+0×21+0×20，记作12＝（1100）2，八进制记数法表示正整数，例如：83＝64+16+3＝1×82+2×81+3×80，记作83＝（123）8．则（1011101）2等于八进制中的数为（ ）
A．35B．82C．83D．135
6．区别于十进制，古巴比伦使用的是60进制．这与他们独特的计数方式有关，如图：右手4根手指的12个指关节表示1～12，另一只手用五根手指表示1～5倍．如当古巴比伦人左手伸出1根手指，右手掐住第八指关节时，表示的数是 12+8＝20．若当其左手伸出两根手指，右手大拇指掐中第五指关节时，表示的十进制数字是（ ）
A．7B．25C．21D．29
7．计算机中常用的十六进制是一种逢16进1的计数制，采用数字0∼9和字母A∼F共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如表：
例如，用十六进制表示D+E＝1B，用十进制表示也就是13+14＝1×16+11，则用十六进制表示E×F为（ ）
A．210B．2DC．6ED．D2
8．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法，我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：
例如：“艮”卦所表示二进制数为001，转化为十进制数是0×22+0×21+1×20＝1，“巽”卦所表示二进制数为011，转化为十进制数是0×22+1×21+1×20＝3．（规定20＝1）依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是：（ ）
A．33B．34C．35D．36
二．填空题
9．计算机是将信息转化成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”将二进制数转化成十进制数，例如：(1)2=1×20=1；（10)2=1×21+0×20=2；(101)2=1×22+0×2+1×20=5．则将二进制数（1101）2转化成十进制数的结果为 ．
10．根据《易经》中的结绳记数方法，满七进一，将七进制数转换为十进制数来计算孩子自出生后的天数．如图1，孩子出生后的天数＝3×72+2×71+6＝147+14+6＝167（天）．请根据图2，计算孩子自出生后的天数是 天．
11．如图是第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽，在其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制数3745转换成十进制数的计算方式为：3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，十进制数2021表示ICME﹣14的举办年份，而十进制数2024正好是你进入初中的年份，请将十进制数2024换算成八进制数是 ．
12．我们平常用的是十进制，如：2019＝2×103+0×102+1×101+9，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1．如：二进制中111＝1×22+1×21+1相当于十进制中的7，又如：11011＝1×24+1×23+0×22+1×21+1相当于十进制中的27．那么十进制中的21相当于二进制中的 ．
13．计算机中常用的十六进制是一种逢16进1的计数制，采用数字0∼9和字母A∼F共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如表：
例如，用十六进制表示D+E＝1B，用十进制表示也就是13+14＝1×16+11，则用十六进制表示B×D＝ ．
14．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，把98转换为二进制数是 ，转换为八进制数是 ．
15．生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数，满十进一，例：12＝1×10+2，212＝2×102+1×10+2．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，满十六进一，它与十进制对应的数如表：
将十六进制数1A6转换为十进制数为 ，十六进制下A×B＝ ．
三．解答题
16．综合与实践生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数，满十进一，例：212＝2×102+1×101+2×100；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：1×24+0×23+0×22+1×21+0×20＝16+2＝18；（规定：a≠0时，a0＝1）其他进制也有类似的算法…
（1）【发现】根据以上信息，将二进制数“101100”转化为十进制数是 ；
（2）【迁移】按照上面的格式将八进制数“1346”转化为十进制数；
（3）【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．
17．第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字，八进制数换算成十进制数是：（3745）8＝3×83+7×82+4×81+5×80＝（2021）10，表示ICME﹣14的举办年份．
（1）把八进制数3751换算成十进制数是 ；
（2）小聪设计了一个n进制数126，换算成十进制数是105，求n的值．
18．同学们以课本中的“进位制的认识与探究”为主题，开展了综合实践活动，请你解答如下的题：（备注：八卦中称为阳爻，称为阴爻，每卦均由三个阳爻或阴爻组成，本题中每卦均由一个二进制的数来表示，其中阳爻对应数字1，阴爻对应数字0，如图2中的左起第一个卦表示的二进制数为（011）2．
（1）图2中的左起第二、三、四个卦表示的二进制数分别为 ， ， ；
（2）将图2中的四个二进制数分别转换为八进制数分别为 ， ， ， ；
（3）将八进制数（3745）8转换为十进制数为 ；
（4）把十进制的数89写成八进制的数为 ．
19．
十六进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
十进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
卦名
符号
表示的二进制数
表示的十进制数
坤

000
0
艮

001
1
坎

010
2
巽

011
3
十六进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
十进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
十进制
0
1
2
…
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
…
十六进制
0
1
2
…
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
…
活动名称
进位制的认识与探究
背景材料
进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制．对于任意一个用n进位制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字0～（n﹣1）进行计数，特点是逢n进一．现在我们通常用的是十进制数（十进制数不用标角标，其他要标角标）
素材1
十进制数234＝2×102+3×101+4×100，记作：234．
七进制数123（7）＝1×72+2×71+3×70，记作：123（7）．
各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依次乘7的相应正整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数
素材2
将十进制数化为与其相等的七进制数，用十进制的数除以7，然后将商继续除以7，直到商为1，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．如：
素材3
二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一．
二进制的四则运算规则如下：
加法：0+0＝0，0+1＝1，1+0＝1，1+1＝10（2）．
减法：0﹣0＝0，1﹣0＝1，1﹣1＝0，10（2）﹣1＝1（同一数位不够减时，向高一位借1当2）
解决问题
任务1
探究不同进位制的数之间的转换
①将七进制数243（7）转化成十进制数的值为多少？
②将十进制数22转化成二进制数的值为多少？
③如果一个十进制两位数xy交换其个位上的数与十位上的数后得到一个新数，如果原数减去新数所得的差为18，那么我们称这样的数为“青春数”，问是否存在这样的“青春数”使得该数转化成六进制数后是一个各数位上的数字全都为a的三位数？若存在，请求出这样的“青春数”；若不存在，请说明理由
任务2
探究进位制数的加法运算
①10110（2）+1101（2）＝ ；
②110101（2）+11110（2）＝ ．