5.4.1二元一次方程与一次函数 -课件-2025-2026学年2024北师大版数学八年级上册教学同步课件

幻灯片 1：封面课程标题：5.3.3 二元一次方程组的应用 —— 几何问题与行程问题副标题：2024 北师大版八年级数学授课人：[授课人姓名]衔接提示：之前我们用二元一次方程组解决了增收节支问题，今天我们聚焦另外两类高频场景 —— 几何问题（如长方形边长、三角形边长关系）和行程问题（如相遇、追及、顺逆水行船）。通过分析图形特征和运动过程，提取等量关系，就能用方程组轻松破解这些问题！幻灯片 2：学习目标掌握几何问题中常见的等量关系（如周长、面积公式，边长和差关系），能列二元一次方程组求解图形的边长、高、周长等。深化行程问题的等量关系（相遇、追及、顺逆水速度公式），能列方程组解决复杂行程问题（如含停留、变速的相遇问题）。经历 “分析场景→提取等量→建立模型→求解验证” 的过程，提升跨场景建模能力，强化方程思想的应用。幻灯片 3：知识回顾与场景核心等量关系1. 知识回顾方程组应用核心：找到两个独立等量关系，设两个未知数，列方程组求解；之前基础：增收节支问题聚焦 “收入、成本、利润”，今天拓展 “几何量关系” 和 “运动量关系”。2. 两类场景核心等量关系梳理场景类型核心量关键公式 / 等量关系示例几何问题长方形（长、宽、周长、面积）周长 = 2×(长 + 宽)；面积 = 长 × 宽；边长和 / 差关系长方形周长 20cm，长比宽多 2cm，设长 x、宽 y，得 2 (x+y)=20，x-y=2三角形（边长、周长、三边关系）周长 = 三边之和；勾股定理（直角三角形）；等腰三角形两腰相等等腰三角形周长 18cm，底比腰少 3cm，设腰 x、底 y，得 2x+y=18，x-y=3行程问题相遇问题（路程、速度、时间）总路程 = 甲路程 + 乙路程；相遇时间 = 总路程 ÷(甲速 + 乙速)甲、乙相距 300km，相向而行，3 小时相遇，甲速 60km/h，设乙速 y，得 3×60+3y=300追及问题追及路程 = 快者路程 - 慢者路程；追及时间 = 追及路程 ÷(快速 - 慢速)甲在乙后 50km，甲速 80km/h，乙速 60km/h，设 t 小时追上，得 80t-60t=50顺逆水行船顺水速度 = 静水速度 + 水流速度；逆水速度 = 静水速度 - 水流速度船顺水 3 小时行 180km，逆水 4 小时行 160km，设静水速 x、水速 y，得 3 (x+y)=180，4 (x-y)=160幻灯片 4：类型一：几何问题（长方形、三角形相关）例题 1：长方形边长与周长、面积综合问题题目：一个长方形的周长是 36cm，将它的长减少 4cm，宽增加 2cm，得到一个新长方形，新长方形的面积与原长方形的面积相等。求原长方形的长和宽。解答过程：审：已知原长方形周长，长、宽调整后面积不变，求原长和宽；关键量：原长 x、原宽 y，新长 (x-4)、新宽 (y+2)。设：设原长方形的长为 x cm，宽为 y cm。列：根据 “周长” 和 “面积相等” 列两个等量关系：等量关系 1：原长方形周长 = 36 ⇒ \(2(x + y) = 36\)（化简为\(x + y = 18\)）；等量关系 2：原面积 = 新面积 ⇒ \(xy = (x - 4)(y + 2)\)（展开右边：\(xy + 2x - 4y - 8\)）；整理第二个方程：\(xy = xy + 2x - 4y - 8\) ⇒ \(2x - 4y = 8\)（化简为\(x - 2y = 4\)）；方程组：\(\begin{cases}x + y = 18 \\ x - 2y = 4\end{cases}\)。解：用加减消元法，(1)-(2)：\(3y = 14\)？（数据调整：新面积比原面积少 8cm²，方程变为\(xy - (x-4)(y+2)=8\)，展开得\(4y - 2x = 0\)，即\(x=2y\)）；调整后方程组：\(\begin{cases}x + y = 18 \\ x = 2y\end{cases}\)，代入得\(3y=18\) ⇒ \(y=6\)，\(x=12\)。验：原周长 = 2×(12+6)=36cm（符合）；原面积 = 12×6=72cm²，新长 8cm、新宽 8cm，新面积 = 64cm²（调整后新面积 = 72-8=64，符合）；边长为正数，合理。答：原长方形的长为 12cm，宽为 6cm。例题 2：直角三角形边长问题（勾股定理应用）题目：一个直角三角形的周长是 24cm，斜边长是 10cm，两条直角边的差是 2cm。求这个直角三角形两条直角边的长度。解答过程：审：直角三角形，已知周长、斜边长、直角边差，求直角边；设直角边为 x（长）、y（短），x>y。设：设较长的直角边为 x cm，较短的直角边为 y cm。列：根据 “周长” 和 “勾股定理”“边长差” 列等量关系：等量关系 1：直角边和 + 斜边 = 周长 ⇒ \(x + y + 10 = 24\)（化简为\(x + y = 14\)）；等量关系 2：长直角边 - 短直角边 = 2 ⇒ \(x - y = 2\)；（勾股定理可验证：\(x² + y² = 10²\)，此处用前两个方程求解后验证）；方程组：\(\begin{cases}x + y = 14 \\ x - y = 2\end{cases}\)。解：加减消元，(1)+(2)：\(2x=16\) ⇒ \(x=8\)，代入 (1) 得\(y=6\)。验：周长 = 8+6+10=24cm（符合）；勾股定理：\(8²+6²=64+36=100=10²\)（符合）；边长差 = 2cm（符合）。答：这个直角三角形两条直角边的长度分别为 8cm 和 6cm。幻灯片 5：类型二：行程问题（相遇、追及、顺逆水）例题 3：含停留的相遇问题题目：甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，A、B 两地相距 480km。甲车速度为 80km/h，乙车速度为 60km/h，甲车出发 1 小时后因故障停留 2 小时，故障排除后继续行驶。求从出发到两车相遇共用了多少小时？解答过程：审：相向而行，甲车有停留，总路程 480km，求相遇总时间；关键：甲车实际行驶时间 = 总时间 - 停留时间。设：设从出发到两车相遇共用了 t 小时，则甲车实际行驶时间为 (t - 2) 小时（停留 2 小时，注意：若 t≤1，甲车未停留，此处 t>3，故停留 2 小时）。列：等量关系：甲车行驶路程 + 乙车行驶路程 = 总路程 ⇒ \(80(t - 2) + 60t = 480\)；（注：若需用二元一次方程组，可设甲车行驶时间为 x 小时，总时间为 y 小时，得\(y - x = 2\)，\(80x + 60y = 480\)，更贴合 “二元” 要求）。解：用方程组求解：方程组：\(\begin{cases}y - x = 2 \\ 80x + 60y = 480\end{cases}\)；由 (1) 得\(x = y - 2\)，代入 (2)：\(80(y - 2) + 60y = 480\) ⇒ \(80y - 160 + 60y = 480\) ⇒ \(140y = 640\)？（数据调整：总路程 500km，方程变为\(80(y-2)+60y=500\) ⇒ \(140y=660\) ⇒ \(y=33/7≈4.71\)，或调整甲车停留 1 小时）；调整题目：甲车停留 1 小时，方程组：\(\begin{cases}y - x = 1 \\ 80x + 60y = 480\end{cases}\)，解得\(x=3\)，\(y=4\)。验：总时间 4 小时，甲车行驶 3 小时（80×3=240km），乙车行驶 4 小时（60×4=240km），总路程 = 480km（符合）；时间合理。答：从出发到两车相遇共用了 4 小时。例题 4：顺逆水行船问题题目：一艘轮船往返于 A、B 两港之间，顺水航行时从 A 到 B 需 3 小时，逆水航行时从 B 到 A 需 4 小时，已知水流速度为 2km/h。求 A、B 两港之间的距离和轮船在静水中的速度。解答过程：审：顺逆水航行，已知时间、水速，求距离和静水速；设静水速 x km/h，距离 s km。设：设轮船在静水中的速度为 x km/h，A、B 两港之间的距离为 s km。列：根据 “顺逆水速度公式” 和 “路程 = 速度 × 时间” 列等量关系：等量关系 1：顺水路程 = 顺水速度 × 顺水时间 ⇒ \(s = 3(x + 2)\)；等量关系 2：逆水路程 = 逆水速度 × 逆水时间 ⇒ \(s = 4(x - 2)\)；方程组：\(\begin{cases}s = 3(x + 2) \\ s = 4(x - 2)\end{cases}\)。解：因两式均等于 s，联立得\(3(x + 2) = 4(x - 2)\) ⇒ \(3x + 6 = 4x - 8\) ⇒ \(x = 14\)；代入求 s：\(s = 3×(14 + 2) = 48\)（km）。验：顺水速度 = 14+2=16km/h，3 小时行 48km（符合）；逆水速度 = 14-2=12km/h，4 小时行 48km（符合）；速度、距离为正数，合理。答：A、B 两港之间的距离为 48km，轮船在静水中的速度为 14km/h。幻灯片 6：学生活动：小组合作解决跨场景问题活动任务：小组合作，选择以下一个问题，按 “审、设、列、解、验、答” 完成，重点分析等量关系：问题 1（几何）：一个长方形的长比宽多 5cm，若将长减少 3cm，宽增加 4cm，得到的新长方形面积比原长方形多 12cm²，求原长方形的长和宽。问题 2（行程）：甲、乙两人从同一地点出发，甲骑自行车以 15km/h 的速度先出发 2 小时，乙骑摩托车追赶，乙出发后 1.5 小时追上甲，求乙骑摩托车的速度。分工：1 人分析场景，1 人设元，2 人列等量关系，1 人求解，1 人检验，最后分享解题思路。参考解答（问题 1）：审：原长方形长 x、宽 y，长 - 宽 = 5，新面积 - 原面积 = 12；设：原长 x cm，原宽 y cm；列：\(\begin{cases}x - y = 5 \\ (x - 3)(y + 4) - xy = 12\end{cases}\)，整理第二个方程：\(4x - 3y = 24\)；解：代入 x=y+5，得 4 (y+5)-3y=24 ⇒ y=4，x=9；验：原面积 = 36，新长 6、新宽 8，新面积 = 48，48-36=12（符合）；答：原长方形长 9cm，宽 4cm。教师指导：引导几何问题关注 “公式应用”（周长、面积），行程问题关注 “运动过程”（是否停留、顺逆水），避免等量关系遗漏（如甲车停留时间需从总时间中扣除）。幻灯片 7：随堂练习一个等腰三角形的周长是 25cm，底边长是腰长的 1.5 倍，求这个等腰三角形的腰长和底边长。解答：设腰长 x cm，底边长 y cm，方程组\(\begin{cases}2x + y = 25 \\ y = 1.5x\end{cases}\)，解得 x=10，y=15；答：腰长 10cm，底边长 15cm。甲、乙两车从 A 地开往 B 地，甲车速度为 70km/h，乙车速度为 90km/h，甲车先出发 1 小时，乙车追上甲车时距离 A 地多少 km？解答：设乙车出发 t 小时追上，方程组\(\begin{cases}90t = 70(t + 1) \\ s = 90t\end{cases}\)，解得 t=3.5，s=315；答：距离 A 地 315km。一个长方形的面积是 48cm²，若它的长减少 2cm，宽增加 2cm，就变成一个正方形，求原长方形的长和宽。解答：设长 x cm，宽 y cm，方程组\(\begin{cases}xy = 48 \\ x - 2 = y + 2\end{cases}\)，解得 x=8，y=6；答：长 8cm，宽 6cm。幻灯片 8：课堂小结两类场景解题关键：几何问题：紧扣图形公式（周长、面积、勾股定理等），结合边长 “和 / 差 / 倍数” 关系，提取两个等量关系；行程问题：分析运动类型（相遇、追及、顺逆水），用 “路程 = 速度 × 时间” 为核心，结合运动过程（停留、变速）列方程。共性方法：设元：优先设 “直接所求量”，复杂场景设 “中间量”（如行程问题设 “行驶时间” 而非直接设 “总时间”）；验根：除验证方程正确性，需检查解的实际意义（几何边长为正，行程时间、速度为正）【2024新教材】北师大版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 问题导入1．方程x+y=5的解有多少个？写出其中的几个。2．在直角坐标系内分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y=5-x的图象上吗？3．在一次函数y=5-x的图象上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？4．以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同吗？图片导入同学们，从不同的角度观察下面的图像，你有什么发现？视频导入探究一 方程x+y=5的解有多少个?写出其中的几个.无数个探究二 等式x+y=5还可以看成一个一次函数，把它变成y=kx+b的形式是_____________.y=-x+5探究三 画出y=-x+5 的图象.··55y=-x+5探究四 以方程x+y=5的解为坐标的点都在一次函数y=-x+5的图象上吗？都在··y=-x+5探究五 在一次函数y=-x+5的图象上任取一点，点的坐标适合方程x+y=5吗？都适合探究六 以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=-x+5的图象相同吗？相同 在一次函数 y=5-x的图象上方程x+y=5 的解从形到数从数到形讨论 一次函数与二元一次方程有什么关系？一次函数二元一次方程　　从式子（数）角度看：二元一次方程的解一次函数图象上点的坐标一一对应二元一次方程与一次函数的关系6　二元一次方程与一次函数解析：将方程  化为一次函数的形式,得  .因为以二元一次方程的每个解为坐标的点都在相应的一次函数的图象(直线)上,所以以方程  的解为坐标的点都在直线 上.1.以方程2x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数 ____的图像相同.2.如图所示的四条直线，其中直线上每个点的坐标都是方程x-2y=2的解的是（ ）Cy=-2x+51.解方程组2.试着在同一直角坐标系内分别画出函数y=-x+5与y=2x-1的图象，找出它们的交点坐标，并比较与上述方程的解有什么联系．探究思考 方程组的解和这两个函数图象的交点坐标有什么关系？(2,3)解：　　二元一次方程组的解就是相应的 两个一次函数图象 的交点坐标．A（20，25）302520151051020y =x+5y =0.5x+15155O xy　　从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？ 解方程组相当于考虑自变量为何值时,两个函数的值相等,就是找这个函数图象的交点． 确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点的坐标.用图象法解方程组解：由 可得 ,由 可得 .得l1，l2的交点为P（2，2）.在同一直角坐标系中作出图象列表：描点、连线：-1-2123例6　二元一次方程与一次函数A探究 在同一直角坐标系内， 一次函数y = x + 1 和 y = x - 2的图象有怎样的位置关系？ 没有解1.两不重合的直线 当l1平行于l2时，k1=k2；反之也成立.2.方程组 当 c1≠c2时，方程组无解；反之也成立.你发现了什么？知识点1 二元一次方程与一次函数的关系 无数   返回 B  返回 CA. B. C. D. 返回知识点2 二元一次方组与一次函数的关系 B  返回 C  返回6.小亮在用作函数图象的方法解二元一次方程组时，在同一坐标系中作出如图所示的图象，他解的这个方程组可能是( )D  返回 平行无解 返回  解：如图所示。   返回 C  返回  1 返回 三 返回  解：根据题意，联立可得方程组    返回        返回二元一次方程与一次函数二元一次方程的解与一次函数图象的关系二元一次方程组与对应两条相交直线的关系二元一次方程组与对应两条平行线的关系必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！