5.4.2用二元一次方程组确定一次函数表达式 -课件-2025-2026学年2024北师大版数学八年级上册教学同步课件

幻灯片 1：封面课程标题：5.4.2 用二元一次方程组确定一次函数表达式副标题：2024 北师大版八年级数学授课人：[授课人姓名]衔接提示：我们知道一次函数的表达式是\(y = kx + b\)（\(k ≠ 0\)），其中 k 和 b 是待确定的常数。当已知一次函数图象上的两个点，或知道函数的特殊特征时，如何求出 k 和 b 呢？今天我们就用二元一次方程组来解决这个问题，核心是把 “求函数表达式” 转化为 “解方程组求未知数 k 和 b”！幻灯片 2：学习目标理解一次函数表达式\(y = kx + b\)中 k 和 b 与二元一次方程组的关联，明确 “两点确定一条直线” 对应 “两组 x、y 值列方程组”。掌握用二元一次方程组确定一次函数表达式的基本步骤，能根据图象上的两点、函数的增减性与特殊点等条件求解表达式。经历 “已知条件→列方程组→求解 k 和 b→确定表达式” 的过程，深化数形结合与方程思想，提升函数与方程的综合应用能力。幻灯片 3：知识回顾与核心关联推导1. 知识回顾一次函数表达式：\(y = kx + b\)（\(k ≠ 0\)），k 是比例系数（决定增减性），b 是常数项（决定与 y 轴交点）；二元一次方程组：含两个相同未知数的两个二元一次方程联立，可求解两个未知数；关键性质：一次函数图象上任意一点的坐标 (x, y)，都满足函数表达式\(y = kx + b\)（这是列方程组的依据）。2. 核心关联：两点确定一次函数表达式若一次函数图象经过点\(A(x₁, y₁)\)和\(B(x₂, y₂)\)，则这两个点的坐标必满足\(y = kx + b\)，代入后可得到关于 k 和 b 的二元一次方程组：\(\begin{cases}y₁ = kx₁ + b \\y₂ = kx₂ + b\end{cases}\)解这个方程组，求出 k 和 b 的值，就能确定一次函数的表达式 —— 这就是 “用二元一次方程组确定一次函数表达式” 的核心原理，本质是 “用两个条件列两个方程，求解两个未知系数”。幻灯片 4：类型一：已知图象上两点，确定一次函数表达式例题 1：已知两点坐标，直接列方程组求解题目：已知一次函数的图象经过点\(P(1, 3)\)和\(Q(2, 5)\)，求这个一次函数的表达式。解答过程：设表达式：设所求一次函数的表达式为\(y = kx + b\)（\(k ≠ 0\)）。列方程组：因点 P、Q 在图象上，代入表达式得：点 P (1, 3)：\(3 = k×1 + b\) ⇒ \(k + b = 3\)（方程 1）；点 Q (2, 5)：\(5 = k×2 + b\) ⇒ \(2k + b = 5\)（方程 2）；方程组：\(\begin{cases}k + b = 3 \\ 2k + b = 5\end{cases}\)。解方程组：用加减消元法，方程 2 - 方程 1：\((2k + b) - (k + b) = 5 - 3\) ⇒ \(k = 2\)；将\(k = 2\)代入方程 1：\(2 + b = 3\) ⇒ \(b = 1\)。写表达式与验证：将\(k = 2\)，\(b = 1\)代入\(y = kx + b\)，得表达式\(y = 2x + 1\)；验证：点 P (1,3) 代入得\(2×1 + 1 = 3\)（成立），点 Q (2,5) 代入得\(2×2 + 1 = 5\)（成立）。答：这个一次函数的表达式为\(y = 2x + 1\)。例题 2：已知图象与坐标轴交点，确定表达式题目：一次函数的图象与 x 轴交于点\(A(3, 0)\)，与 y 轴交于点\(B(0, -6)\)，求该函数的表达式。解答过程：设表达式：设\(y = kx + b\)（\(k ≠ 0\)）。列方程组：利用与坐标轴交点的特征（与 y 轴交点的纵坐标为 b）：与 y 轴交点 B (0, -6)：直接得\(b = -6\)；与 x 轴交点 A (3, 0)：代入表达式得\(0 = 3k + b\)（方程 1）；方程组：\(\begin{cases}b = -6 \\ 3k + b = 0\end{cases}\)。解方程组：将\(b = -6\)代入方程 1：\(3k - 6 = 0\) ⇒ \(k = 2\)。写表达式与验证：表达式为\(y = 2x - 6\)；验证：A (3,0) 代入得\(2×3 - 6 = 0\)（成立），B (0,-6) 代入得\(-6\)（成立）。答：该一次函数的表达式为\(y = 2x - 6\)。幻灯片 5：类型二：已知函数特征与一个点，确定一次函数表达式例题 3：已知增减性与一个点，求表达式题目：已知一次函数\(y = kx + b\)（\(k ≠ 0\)），y 随 x 的增大而减小，且图象经过点\(M(2, 1)\)，请写出一个符合条件的函数表达式。解答过程：分析特征：“y 随 x 的增大而减小” 说明\(k < 0\)（k 为负数，如 k=-1、k=-2 等）；图象过点 M (2,1)，代入得方程。设 k 的值并列方程：选择 k=-1（任意负数均可），设\(y = -x + b\)；代入 M (2,1)：\(1 = -2 + b\) ⇒ \(b = 3\)。确定表达式与验证：表达式为\(y = -x + 3\)；验证：k=-10 即可）。教师指导：引导学生注意 “代入坐标时符号错误”（如点 (-2,-3) 代入写成\(-3 = -2k - b\)）、“解方程组时计算错误”，培养严谨的解题习惯。幻灯片 8：随堂练习已知一次函数的图象经过点\((3, 5)\)和\((-4, -9)\)，求该函数的表达式。解答：设\(y = kx + b\)，列\(\begin{cases}5 = 3k + b \\ -9 = -4k + b\end{cases}\)，解得 k=2，b=-1，表达式\(y = 2x - 1\)。一次函数的图象与 x 轴交于\((2, 0)\)，且经过点\((0, 4)\)，求该函数的表达式及当 x=3 时 y 的值。解答：设\(y = kx + b\)，b=4，代入 (2,0) 得\(0 = 2k + 4\) ⇒ k=-2，表达式\(y = -2x + 4\)；x=3 时，y=-6 + 4 = -2。已知一次函数由\(y = -2x + 1\)向下平移 3 个单位得到，求新函数的表达式，并判断点\((-1, 2)\)是否在新图象上。解答：平移后 b=1-3=-2，表达式\(y = -2x - 2\)；代入 (-1,2) 得\(2 - 2 = 0 ≠ 2\)，故不在图象上。幻灯片 9：课堂小结核心方法与步骤：用二元一次方程组确定一次函数表达式的 “五步流程”：① 设：设表达式为\(y = kx + b\)（\(k ≠ 0\)）；② 列：根据已知点坐标或函数特征，列出关于 k 和 b 的二元一次方程组；③ 解：用代入或加减消元法求解方程组，得 k 和 b 的值；④ 写：将 k 和 b 代入表达式，写出最终函数式；⑤ 验：代入已知点验证，确保表达式正确。常见已知条件类型：直接给出图象上两个点的坐标；给出图象与 x 轴、y 轴的交点；给出函数的增减性、平移关系等特征，结合一个点的坐标。数学思想：数形结合：将图象上的 “点坐标” 转化为 “方程”，通过代数方法（解方程组）解决几何问题（确定函数图象）；方程思想：将求函数系数 k 和 b 的问题，转化为解二元一次方程组的问题。幻灯片 10：课后作业基础题：（1）已知一次函数图象经过\((-1, 1)\)和\((2, 7)\)，求表达式；（2）一次函数与 y 轴交于\((0, -3)\)，与 x 轴交于\((1.5, 0)\)，求表达式。提升题：（1）已知一次函数\(y = kx + b\)，当 x=0 时 y=5，当 x=2 时 y=1，求 k 和 b 的值及表达式；（2）一次函数图象经过点\((m, 3)\)和\((2, n)\)，且表达式为\(y = 2x + 1\)，求 m 和 n 的值。实践题：在平面直角坐标系中画出一次函数的图象，标记出图象与 x 轴、y 轴的交点，记录交点坐标，然后用二元一次方程组求出该函数的表达式，验证与图象是否匹配。【2024新教材】北师大版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 视频导入探究 A ,B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s(千米)都是骑车时间t(时)的一次函数.1小时后乙距A地80千米; 2小时后甲距A地30千米. 问：经过多长时间两人相遇 ?说出你的方法，并与同学们交流.可以分别作出两人s 与t 之间的关系图象，找出交点的横坐标就行了.小明乙甲对于乙，s是t的一次函数，可设s=kt+b.当t=0时，s=100；当t=1时s=80.将它们分别代入s=kt+b中，可以求出k，b的值，即可以求出乙中s与t之间的函数表达式.你能求出甲的表达式吗？因为甲为正比例函数，设甲的关系式为s=kt,当t=2时s=30，即30=2k，k=15,所以s=15t1小时后乙距A地80千米,即乙的速度是20千米/时2小时后甲距A 地30千米,故甲的速度是15千米/时设同时出发后t小时相遇，则15t+20t=100，用一元一次方程的方法可以解决问题用图象法可以解决问题用方程组的方法可以解决问题 用作图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却难以准确，为了获得准确的结果，我们一般用代数方法.在以上的解题过程中你受到什么启发？探究交流 某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数．已知李明带了60 kg的行李，交了行李费5元；张华带了90 kg的行李，交了行李费10元． （1）写出y与x之间的函数表达式； （2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？例解：（1）设此一次函数表达式为：y=kx+b（k≠0) . 根据题意，可得方程组 答：旅客最多可免费携带30千克的行李．所以当x>30时，y>0. 像这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法.利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤：1.设：用含字母的系数设出一次函数的表达式：y=kx+b.2.代：将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一次方程组.3.解：解这个二元一次方程组得k，b.4.求：进而求出一次函数的表达式.在某个范围内,某产品的购买量y(单位:kg)与单价x(单位:元)之间满足一次函数,若购买1000kg,单价为800元;若购买2000kg,单价为700元.若一客户购买400kg,单价是多少?解:设购买量y与单价x的函数解析式为y=kx+b，因为当x=1000时 y = 800;当x=2000时y = 700，因此,购买量y与单价x的函数解析式为 y =-10x + 9000当 y = 400时得，-10 x + 900 =400,所以x =860.答:当客户购买400kg,单价是860元.解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.所以这个一次函数的解析式为把点（-1，3）与（2，-3）分别代入，得：y=-2x+1.1）设关系式；2）找x与y的对应值；3）代入转化成方程（组）4）解方程（组）确定系数；5）还原关系式.确定一次函数关系式的方法：已知一次函数的图象过点（3，5）与（-4，-9），求这个一次函数的解析式． 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.把点（3，5）与（-4，-9）分别代入，得：在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降6℃，已知某登山大本营所在的位置的气温是2℃，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x千米时，所在位置的气温是y℃，那么y关于x的函数解析式是___________．y＝﹣6x+2知识点1 用待定系数法确定一次函数表达式 A  返回 2 返回      返回知识点2 借助一次函数表达式解决实际问题 BA.1 000元B.2 000元C.3 000元D.4 000元 返回 50 返回      返回    返回   返回  6   （3）观光车比小军早几分钟到达观景点？  返回10. ［2025深圳月考］根据上述的实践活动，解决以下问题：续表（1）【探索发现】 一次解：描点，连线得函数图象如图所示。     返回利用二元一次方程组确定一次函数表达式用含字母的系数设出一次函数的表达式：y=kx+b将已知条件代入上述表达式中得关于k，b的二元一次方程组解这个二元一次方程组得k，b必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！