初中北师大版（2024）*5 三元一次方程组学案设计

这是一份初中北师大版（2024）*5 三元一次方程组学案设计，共9页。

参考答案：
例题精讲：
例：解：由①得，z=39-3x-2y。 ④
把④分别代入②③并化简，得
x-y=5， ⑤
8x+4y=91。 ⑥
解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得x=374,y=174。
把x=374，y=174代入④，得z=114。
经检验，x=374，y=174，z=114适合原方程组。
所以原方程组的解是x=374,y=174,z=114。
巩固训练：
1.C 2.A 3.34 g，28 g，8 g
4.-3
5.解：解方程组得&x=a，&y=2a，&z=3a，
代入x-2y+3z＝-12，得a-4a+9a＝-12，
解得a＝-2.
作业设计：
1.B 解析：观察未知数x，y，z的系数特点发现，未知数y的系数要么相等，要么互为相反数，所以要使运算简便，那么消元时最好应先消去y。故选B。
2.A 解析：x+y=4,①y+z=6,②z+x=8,③①+②+③，得2x+2y+2z=4+6+8=18。解得x+y+z=9。故选A。
3.2 解析：根据题意，得x-2y=-3,2x+3y=m-1,x=-y。
解得x=-1,y=1,m=2。
4.解：(1)x-z=-5,①x+y=7,②z-y=8。③
①+③，得x-y=3。④
由④和②组成方程组
x-y=3,x+y=7。解得x=5,y=2。
把x=5代入①，得5-z=-5。
解得z=10。
经检验，x=5，y=2，z=10适合原方程组。
所以原方程组的解是x=5,y=2,z=10。
(2)2x+y+3z=11,①3x+2y-2z=11,②4x-3y-2z=4。③
①×2+②×3，得13x+8y=55。④
③-②，得x-5y=-7。⑤
由④和⑤组成方程组13x+8y=55,x-5y=-7。
解得x=3,y=2。
把x=3，y=2代入①，得6+2+3z=11。
解得z=1。
经检验，x=3，y=2，z=1适合原方程组。
所以原方程组的解是x=3,y=2,z=1。
5.解：根据题意，得a+b+c=3,①a-b+c=1,②c=1,③
把③分别代入①和②，得
a+b=2,a-b=0。
解得a=1,b=1。
所以a=1，b=1，c=1。
6.解：设甲组植树x棵，乙组植树y棵，丙组植树z棵。
根据题意，得x+y+z=50,y=14(x+z),x=y+z。
解得x=25,y=10,z=15。
答：甲组植树25棵，乙组植树10棵，丙组植树15棵。
7.解：设甲杯中原有水a mL，乙杯中原有水b mL，丙杯中原有水c mL。
根据题意，得a+c=3a, ①a+b+c+150=4b。②
②-①，得3b-3a=150，所以b-a=50。
答：原本甲、乙两杯内的水量相差50 mL。
8.解：设10元纸币有x张，20元纸币有y张，50元纸币有z张。
根据题意，得x+y+z=12,10x+20y+50z=220,x=4y。
解得x=8,y=2,z=2。
答：10元纸币有8张，20元纸币有2张，50元纸币有2张。
课题
*5.5三元一次方程组
单元
第五单元
学科
数学
年级
八年级
学习目标
1.理解三元一次方程、方程组及其解的概念，能判断给定式子是否为三元一次方程（组），能检验一组值是否为方程组的解；
2.掌握代入消元法解三元一次方程组的基本步骤，能规范完成 “三元→二元→一元” 的转化与求解，深化 “消元” 思想的迁移应用；
3.通过解决古算题与实际问题，体会数学文化与 “转化思想” 的价值，发展运算能力与逻辑推理能力；
4.通过小组合作探究不同消元顺序，提升合作交流能力，培养解题策略的优化意识。
重点
1.理解三元一次方程、方程组及其解的概念；
2.掌握 “三元→二元→一元” 的消元思路，能用代入消元法解简单的三元一次方程组。
难点
确定合理的消元顺序（如先消去系数较简单的未知数），避免因消元顺序不当导致后续计算复杂，或在多次消元中出现方程整理错误。
教学过程
导入新课
复习回顾：
1.回忆什么是二元一次方程(组)？
2.什么是二元一次方程的解？二元一次方程组的解？
3. 解二元一次方程组的基本思路是什么？解二元一次方程组有哪几种方法？
新知讲解
探究活动一：三元一次方程组
活动1：《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上中下禾实一秉各几何？”
题目大意：有上禾3束，中禾2束，下禾1束，可得米39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，可得米34斗；上禾1束，中禾2束，下禾3束，可得米26斗。上、中、下禾每束各可得米多少斗？
在这个问题中，设每束上禾可得米x斗，每束中禾可得米y斗，每束下禾可得米z斗，根据题意可得方程组：
这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？
观察方程3x+2y+z=39，2x+3y+z=34和x+2y+3z=26
问题1：它们有什么共同特点？
问题2：类比二元一次方程，你能说出这三个方程是什么方程吗？
问题3：你能得出什么是三元一次方程组的解吗？
探究活动二：
尝试思考：
1.怎样解上述这个三元一次方程组呢？
2.解二元一次方程组的基本思路是什么？你认为用类似的思路可以求解这个三元一次方程组吗？请你试一试？
例题精讲
解方程组：3x+2y+z=39,2x+3y+z=34,x+2y+3z=26。 ①②③
探究活动三：
尝试交流：
(1)在解上面的方程组时，你能用代入消元法先消去未知数x(或y)，从而得到方程组的解吗？
(2)你还有其他方法吗？与同伴交流各自的解法，并思考不同方法之间的区别和联系。
探究活动四：
思考交流：
回顾二元一次方程组和三元一次方程组的求解过程，说说求解三元一次方程组的基本思路，并与同伴进行交流。
课堂练习
巩固训练
1.下列四组数中，适合三元一次方程3x-2y+z＝6的是（ ）
A.x=1，y=-1，z=-3
B.x=1，y=1，z=4
C.x=0，y=0，z=6
D.x=-1，y=1，z=3
2.三元一次方程组x+y＝1,①y+z＝5,②z+x＝6③的解是（ ）
A.x=1，y=0，z=5 B.x=1，y=2，z=4 C.x=1，y=0，z=4 D.x=4，y=1，z=0
3.设 “”“ ”“ ”表示三种不同的物体，现用天平称了三次，如图所示，那么这三种物体的质量分别是 .

4.如图是一个正方体表面展开图，若该正方体相对的两个面上的代数式的值相等，则z+y-x的值为_______.
5.已知方程组&x+y=3a,&y+z=5a，&x+z=4a的解使代数式x-2y+3z的值等于-12，求a的值.
作业布置
基础达标：
1.解方程组2x-y+3z=1,3x+y-7z=2,5x-y+3z=3。如果要使运算简便，那么消元时最好应 ( )
A.先消去x B.先消去y C.先消去z D.先消去常数项
2.已知方程组x+y=4,y+z=6,z+x=8,则x+y+z的值是 ( )
A.9B.8C.7D.6
3.关于x，y的方程组x-2y=-3,2x+3y=m-1的解互为相反数，则m= .
4.解方程组：
(1)x-z=-5,x+y=7,z-y=8; (2)2x+y+3z=11,3x+2y-2z=11,4x-3y-2z=4。
能力提升：
5.已知y=ax2+bx+c，当x=1时，y=3；当x=-1时，y=1；当x=0时，y=1。求a，b，c的值。
6.某单位职工在植树节时去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50棵，乙组植树的棵数是甲、丙两组和的14，甲组植树的棵数恰好是乙组与丙组的和，问：每组各植树多少棵？
7.桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三个杯子内原本均装有一些水。先将甲杯中的水全部倒入丙杯，此时丙杯内的水量为原本甲杯内水量的3倍；再将乙杯中的水全部倒入丙杯，此时丙杯内的水量为原本乙杯内水量的4倍少150 mL。若过程中水没有溢出，则原本甲、乙两杯内的水量相差多少毫升？
拓展迁移：
8.小明手里有12张面额分别为10元、20元、50元的纸币，共计220元，其中10元纸币的张数是20元纸币张数的4倍，求10元、20元、50元的纸币各有多少张。