2025-2026学年上学期深圳小学数学五年级期末典型卷2

这是一份2025-2026学年上学期深圳小学数学五年级期末典型卷2，共56页。试卷主要包含了分米的方砖铺地不需要切割，直接写出得数，能简算的要简算等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）在2、4、8、9、20、72、96这些数中，是40的因数是 ，是6的倍数是 ，最小的奇数是 ，最小的合数是 。
2．（2分）
3．（2分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线。下面的图形都是用中外数学家名字命名的，其中是轴对称图形的有（ ）个。
A．1B．2C．3D．4
4．（2分）东东的卧室长5.6米、宽4.8米，选用下面边长最大是（ ）分米的方砖铺地不需要切割。
A．4B．6C．7D．8
5．（2分）在一组平行线间有一些图形（如图）。与左侧平行四边形面积相等的图形有（ ）个。
A．1B．2C．3D．4
6．（4分）新学期开始了，小明到文具店买了一些书壳用来包新书，她付给售货员50元钱，售货员找回了24.5，每张书壳1.5元，小明买了多少张书壳？
二．计算题（共6小题，满分37分）
7．（8分）直接写出得数。
8．（10分）用竖式计算。（带※的要验算，除不尽的结果保留两位小数）
62.9÷17＝
※3.41÷2.2＝
1.57÷0.39≈
9．（9分）能简算的要简算。
10．（2分）在下面竖式中，箭头所指的“128”表示（ ）
A．128个一B．128个十分之一
C．128个百分之一
11．（3分）在上面的里填上适当的假分数，在下面的里填上适当的带分数。
12．（5分）李文和王华两人玩摸牌游戏，现在有7张牌，上面的数分别是1～7（A代表1），任意摸一张，摸出牌的数是奇数，则李文赢；是偶数，则王华赢。
（1）这个游戏公平吗？为什么？
（2）请你再设计一个游戏规则，使它对双方都公平。
三．操作题（共4小题，满分23分）
13．（6分）按要求画图。
（1）画出与图形①面积相等的平行四边形，再画出图形①的另一半，使它成为轴对称图形；
（2）一个底面直径1厘米、高1厘米的圆柱形零件（π取3），按照2：1画出它的侧面展开图放大后的图形，然后将放大后的图形向下平移3格。
14．（5分）鸡兔同笼，有9个头，26条腿，鸡、兔各有几只？乐乐用列表法解决这个问题。
（1）选一选。
仔细观察：头数不变，鸡增加1只，兔减少1只，腿就会
A．减少2条
B．增加2条
C．不变
（2）请你接着把表格填写完整。
我发现：鸡有 只，兔有 只。
15．（6分）购物。
（1）妈妈买了一个蛋糕和一桶豆油，付给售货员200元，售货员应给她找回多少元？
（2）王阿姨买 ，付给售货员200元，售货员应给她找回多少元？（依据下面的算式把条件补充完整）
200﹣68﹣46
＝132﹣46
＝86（元）
（3）请你再提出一个用连减解决的数学问题并解答。
16．（6分）按要求画一画，算一算。
（1）如图是一个直径为4厘米的圆，请在这个圆内画一个最大的正方形。
（2）将圆以内正方形以外的部分涂上阴影，求出阴影部分的面积。
四．选择题（共5小题，满分24分）
17．（2分）丁丁在一张对折好的正方形纸上剪了两个洞，未展开的纸如图所示，那么打开后的图形是（ ）
A．B．C．D．
18．（2分）冬冬到文具店购买三角尺，用去所带钱的一半，还剩下7.5元，冬冬带了 元钱。
19．（4分）按要求做题。
（1）画出三角形ABC向右平移8格后的三角形A'B'C'；
（2）画出三角形A'B'C'绕点C'顺时针旋转90°后的图形；
（3）画出三角形ABC按2：1放大后的图形；
（4）如图，点D（向 平移 格）可以和点A、B、C组成平行四边形，移动后得到点D'的位置用数对表示是（ ， ）。这个平行四边形的面积是 cm2。
20．（10分）数学阅读：
如图是用长短不一的积木搭成的一堵“分数墙”，其中最长的积木的长度表示“1”。仔细观察，想想填填。
（1）1=22=33=44=55= 。
上面关系表示2个一等于1，即“逢二进一”；3个13等于1，即“逢三进一”；由此类推，……，10个110等于1，即“逢 进一”。
（2）2个13等于4个16等于 个19，可以表示成23=46=()9。
（3）通过分数墙我们发现：14+14+12=1，18+1()+1()+1()=1。
21．（6分）如图，一块三角形果园，面积是810平方米。
（1）要从点A安装一根水管到BC边，这根水管最短长多少米？
（2）如果1米水管要9元，安装这根水管最少要多少元？
2025-2026学年上学期深圳小学数学五年级期末模拟卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
一．填空题（共6小题，满分16分）
1．（4分）在2、4、8、9、20、72、96这些数中，是40的因数是 2、4、8、20 ，是6的倍数是 72、96 ，最小的奇数是 9 ，最小的合数是 4 。
【考点】奇数与偶数的初步认识；因数和倍数的意义．
【专题】数感．
【答案】2、4、8、20；72、96；9；4。
【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大倍数。据此求出这7个数中40的因数、6的倍数；再根据奇数、合数的意义，表示2的倍数的数叫做奇数，一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。据此解答。
【解答】解：在2、4、8、9、20、72、96这些数中，
40的因数有：2、4、8、20；
是6的倍数是72、96；
最小的奇数是9；
最小的合数是4。
故答案为：2、4、8、20；72、96；9；4。
【点评】此题主要明确奇数与偶数、质数与合数的定义，以及求一个数的因数和倍数的方法，才能做出正确的解答。
2．（2分）
【考点】大面积单位间的进率及单位换算；体积、容积进率及单位换算；时、分、秒及其关系、单位换算与计算．
【专题】长度、面积、体积单位；数据分析观念．
【答案】12000，45，0.035。
【分析】1公顷＝10000平方米，1时＝60分，1升＝1000毫升，单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率。
【解答】解：
故答案为：12000，45，0.035。
【点评】此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率；把低级单位的名数换算成高级单位的名数，就除以单位间的进率。
3．（2分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线。下面的图形都是用中外数学家名字命名的，其中是轴对称图形的有（ ）个。
A．1B．2C．3D．4
【考点】轴对称图形的辨识．
【专题】几何直观．
【答案】B
【分析】如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴，据此结合题意分析解答即可。
【解答】解：分析可知，图形②和图形③是轴对称图形，所以是轴对称图形的有2个。
故选：B。
【点评】本题考查了轴对称图形知识，结合题意分析解答即可。
4．（2分）东东的卧室长5.6米、宽4.8米，选用下面边长最大是（ ）分米的方砖铺地不需要切割。
A．4B．6C．7D．8
【考点】公因数和公倍数应用题；求几个数的最大公因数的方法．
【专题】数感．
【答案】D
【分析】5.6米＝56分米，4.8米＝48分米；求选用边长多少分米的方砖铺地不需要切割，即求56和48的公因数，只要是56和48的公因数即可。
【解答】解：5.6米＝56分米
4.8米＝48分米
这几个选项中的4和8都是56和48的公因数，选用边长最大为8分米的方砖铺地不需要切割。
故选：D。
【点评】此题主要考查求两个数的公因数的实际应用。
5．（2分）在一组平行线间有一些图形（如图）。与左侧平行四边形面积相等的图形有（ ）个。
A．1B．2C．3D．4
【考点】平行四边形的面积；梯形的面积；三角形的周长和面积．
【专题】应用意识．
【答案】B
【分析】根据平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2，梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2，把数据分别代入公式求出它们的面积，然后进行比较即可。
【解答】解：设它们的高为h厘米。
阴影部分的面积是3h平方厘米
三角形的面积是3h÷2＝1.5h平方厘米
因为梯形的上底小于下底，下底等于左侧平行四边形的底，高相等，所以梯形的面积一定小于左侧平行四边形的面积。
平行四边形的面积是3h平方厘米
三角形的面积是6h÷2＝3h平方厘米
所以与左侧平行四边形面积相等的图形有2个。
故选：B。
【点评】此题主要考查平行四边形、三角形、梯形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
6．（4分）新学期开始了，小明到文具店买了一些书壳用来包新书，她付给售货员50元钱，售货员找回了24.5，每张书壳1.5元，小明买了多少张书壳？
【考点】整数、小数复合应用题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】15张。
【分析】根据题意，先用付出的钱减去找回的钱数，求出买书壳的总价，再根据数量＝总价÷单价，列式解答即可。
【解答】解：（50﹣24.5）÷1.5
＝25.5÷1.5
＝15（张）
答：小明买了15张书壳。
【点评】此题考查基本数量关系：数量＝总价÷单价。
二．计算题（共6小题，满分37分）
7．（8分）直接写出得数。
【考点】小数除法；小数四则混合运算；小数的加法和减法；小数乘法．
【专题】运算能力．
【答案】1.9；14；25；100；3.7；0；10；0.58。
【分析】根据小数四则混合运算的计算法则进行计算即可。
【解答】解：
【点评】本题考查小数四则混合运算的计算。注意计算的准确性。
8．（10分）用竖式计算。（带※的要验算，除不尽的结果保留两位小数）
62.9÷17＝
※3.41÷2.2＝
1.57÷0.39≈
【考点】小数除法．
【专题】运算能力．
【答案】（1）3.7；
（2）1.55；
（3）4.03。
【分析】小数除法法则：先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。除法用商×除数＝被除数进行验算。得数保留两位小数看小数点后第三位是几，再根据“四舍五入”法进行保留即可。
【解答】解：（1）62.9÷17＝3.7
（2）※3.41÷2.2＝1.55
（3）1.57÷0.39≈4.03
【点评】本题主要考查了小数乘法、小数除法的竖式计算方法以及用“四舍五入”法求近似数的方法，注意计算的准确性。
9．（9分）能简算的要简算。
【考点】运算定律与简便运算．
【专题】运算能力．
【答案】158；45；6.9；473；1000；82.6。
【分析】（1）（2）利用乘法分配律简便计算；
（3）先把小数加法转化为小数乘法，再利用乘法结合律简便计算；
（4）先把47.3×10.1转化为4.73×101，再利用乘法分配律简便计算；
（5）先把32化为4×8，再利用乘法交换律和乘法结合律简便计算；
（6）利用除法性质简便计算。
【解答】解：（1）1.58×99+1.58
＝1.58×（99+1）
＝1.58×100
＝158
（2）6.4×4.5+3.6×4.5
＝（6.4+3.6）×4.5
＝10×4.5
＝45
（3）（6.9+6.9+6.9+6.9）×0.25
＝6.9×4×0.25
＝6.9×（4×0.25）
＝6.9×1
＝6.9
（4）47.3×10.1﹣4.73
＝4.73×101﹣4.73
＝4.73×（101﹣1）
＝4.73×100
＝473
（5）32×2.5×12.5
＝4×8×2.5×12.5
＝（4×2.5）×（8×12.5）
＝10×100
＝1000
（6）82.6÷4÷0.25
＝82.6÷（4×0.25）
＝82.6÷1
＝82.6
【点评】本题考查的是运算定律与简便运算的应用。
10．（2分）在下面竖式中，箭头所指的“128”表示（ ）
A．128个一B．128个十分之一
C．128个百分之一
【考点】小数除法；小数的读写、意义及分类．
【专题】运算能力．
【答案】C
【分析】128中的8在百分位，表示128个百分之一。
【解答】解：箭头所指的“128”表示128个百分之一。
故选：C。
【点评】本题主要考查了小数除法的竖式计算方法，明确各步的意义是关键。
11．（3分）在上面的里填上适当的假分数，在下面的里填上适当的带分数。
【考点】分数的意义和读写；真分数、假分数和带分数．
【专题】数感．
【答案】见试题解答内容
【分析】把数值上1个单位长度看作单位“1”，把它平均分成5份，每份是它的15，用真分数、假分数表示时，这样的几份就是五分之几；用带分数表示时，整数是几就是在几后面，真分数部分几份就是五分之几。
【解答】解：
【点评】此题是考查分数的意义。把单位“1”平均分成若干份，用分数表示，分母是平均分成的份数，分子是要表示的份数。
12．（5分）李文和王华两人玩摸牌游戏，现在有7张牌，上面的数分别是1～7（A代表1），任意摸一张，摸出牌的数是奇数，则李文赢；是偶数，则王华赢。
（1）这个游戏公平吗？为什么？
（2）请你再设计一个游戏规则，使它对双方都公平。
【考点】游戏规则的公平性．
【专题】数据分析观念．
【答案】（1）不公平。因为1～7中的奇数有1、3、5、7，有4个，偶数有2、4、6，有3个，可能性不相等，所以游戏规则不公平；
（2）任意摸一张，摸出牌的数大于4，则李文赢；小于4，则王华赢，摸到4放回重摸。（答案不唯一）
【分析】（1）1～7中的奇数有1、3、5、7，有4个，偶数有2、4、6，有3个，根据可能性的大小知识，可能性相等即游戏规则公平，否则就不公平；
（2）设计一个游戏规则，使双方可能性相等即可。
【解答】解：（1）不公平。因为1～7中的奇数有1、3、5、7，有4个，偶数有2、4、6，有3个，可能性不相等，所以游戏规则不公平；
（2）任意摸一张，摸出牌的数大于4，则李文赢；小于4，则王华赢，摸到4放回重摸。（答案不唯一）
【点评】判断游戏规则是否公平的关键是看参与游戏的各方的可能性是否相同，相同则规则公平，否则规则不公平。
三．操作题（共4小题，满分23分）
13．（6分）按要求画图。
（1）画出与图形①面积相等的平行四边形，再画出图形①的另一半，使它成为轴对称图形；
（2）一个底面直径1厘米、高1厘米的圆柱形零件（π取3），按照2：1画出它的侧面展开图放大后的图形，然后将放大后的图形向下平移3格。
【考点】作轴对称图形；作平移后的图形；图形的放大与缩小；圆柱的展开图；平行四边形的面积；三角形的周长和面积．
【专题】综合题；应用意识．
【答案】（1）（2）（平行四边形画法不唯一）
【分析】（1）图示①为直角三角形，根据“三角形面积＝底×高÷2”求出三角形面积，再根据“平行四边形面积＝底×高”画一个和三角形面积一样的平行四边形即可；根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的下边画出图形①的关键对称点，连接即可；
（2）根据“圆柱侧面积＝圆柱底面周长×高”求出圆柱侧面积，圆柱的侧面沿高剪开的展开图是一个长方形（或正方形），这个长方形（或正方形）的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。按2：1的比例画出长方形（正方形）放大后的图形，就是把原长方形（正方形）的长和宽（或边长）分别扩大到原来的2倍，据此画图；根据平移图形的特征，把放大后的长方形（或正方形）的四个顶点分别向下平移3格，再首尾连接各点，即可得到放大后的图形向下平移3格的图形。
【解答】解：（1）S①=12×4×2＝4（cm2）
4＝2×2，即画一个底是2cm，高是2cm的平行四边形，如下图所示（画法不唯一）：
图形①关于虚线的轴对称图形，如下图所示：
（2）圆柱底面周长＝3×1＝3（厘米）
即侧面展开图是长为3厘米，宽为1厘米的长方形，按照2：1画出它的侧面展开图放大后的图形，即画一个长是6厘米，宽是2厘米的长方形，如下图所示：
放大后的图形向下平移3格，如下图所示：
【点评】本题考查了三角形和平行四边形面积计算的应用、平行四边形的画法，轴对称图形的画法，圆柱侧面积的计算，长方形的画法以及图形的放大和平移。
14．（5分）鸡兔同笼，有9个头，26条腿，鸡、兔各有几只？乐乐用列表法解决这个问题。
（1）选一选。
仔细观察：头数不变，鸡增加1只，兔减少1只，腿就会 A
A．减少2条
B．增加2条
C．不变
（2）请你接着把表格填写完整。
我发现：鸡有 5 只，兔有 4 只。
【考点】鸡兔同笼．
【专题】应用意识．
【答案】（1）A；
（2）5；4；26；5；4。
【分析】（1）1只鸡2条腿，1只兔4条腿，头数不变，鸡增加1只，兔减少1只，腿就会减少4﹣2条；
（2）根据表中数据及（1）种所得填表，再结合表格解题即可。
【解答】解：（1）4﹣2＝2（条）
头数不变，鸡增加1只，兔减少1只，腿就会减少2条
（2）填表如下：
结合表中数据可知：鸡有5只，兔有4只。
故答案为：A；5；4。
【点评】本题主要考查用列表法解决“鸡兔同笼”问题，理解“头数不变，鸡增加1只，兔减少1只，腿就会减少2条”是解题的关键。
15．（6分）购物。
（1）妈妈买了一个蛋糕和一桶豆油，付给售货员200元，售货员应给她找回多少元？
（2）王阿姨买 买了一袋奶粉和一袋大米 ，付给售货员200元，售货员应给她找回多少元？（依据下面的算式把条件补充完整）
200﹣68﹣46
＝132﹣46
＝86（元）
（3）请你再提出一个用连减解决的数学问题并解答。
【考点】“提问题”、“填条件”应用题；整数、小数复合应用题．
【专题】开放型；运算能力．
【答案】（1）3元；（2）买了一袋奶粉和一袋大米；（3）李奶奶买一袋奶粉和一桶豆油，付给售货员120元，应找回多少元？14元。（答案不唯一）
【分析】（1）分析题意，要求应找回多少钱，就从妈妈付给售货员的钱里面减去一个蛋糕和一桶豆油的单价，据此列式计算即可；
（2）要求补充条件，结合上述分析和已知条件，只需看减去是什么货物的单价即可；
（3）要求提出用连减解决的问题，只需在提出的问题中给出李奶奶付给售货员的钱和李奶奶买的超过两件以上的物品即可。
【解答】解：（1）200﹣159﹣38＝3（元）
答：应找回3元。
（2）买了一袋奶粉和一袋大米。
（3）李奶奶买一袋奶粉和一桶豆油，付给售货员120元，应找回多少元？
120﹣38﹣68
＝82﹣68
＝14（元）
答：应找回14元。（答案不唯一）
故答案为：买了一袋奶粉和一袋大米。
【点评】本题考查了整数加减法应用题知识，结合题意分析解答即可。
16．（6分）按要求画一画，算一算。
（1）如图是一个直径为4厘米的圆，请在这个圆内画一个最大的正方形。
（2）将圆以内正方形以外的部分涂上阴影，求出阴影部分的面积。
【考点】组合图形的面积．
【专题】应用意识．
【答案】（1）；
（2）4.56平方厘米。
【分析】（1）经过圆心画两条互相垂直的直径，依次连接各顶点即可解答；
（2）阴影部分的面积＝圆的面积﹣正方形的面积。
【解答】解：（1）如图：
（2）3.14×（4÷2）2﹣4×（4÷2）÷2×2
＝3.14×4﹣8
＝12.56﹣8
＝4.56（平方厘米）
答：阴影部分的面积是4.56平方厘米。
【点评】明确在圆内最大的正方形的对角线是互相垂直的两条直径以及掌握圆、正方形内角的计算方法是解题的关键。
四．选择题（共5小题，满分24分）
17．（2分）丁丁在一张对折好的正方形纸上剪了两个洞，未展开的纸如图所示，那么打开后的图形是（ ）
A．B．C．D．
【考点】轴对称．
【专题】几何直观．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；由此解答即可。
【解答】解：在一张对折好的正方形纸上剪了两个洞，未展开的纸如图所示，那么打开后的图形是。
故选：A。
【点评】此题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合。
18．（2分）冬冬到文具店购买三角尺，用去所带钱的一半，还剩下7.5元，冬冬带了 15 元钱。
【考点】整数、小数复合应用题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】15。
【分析】根据题意，7.5元是所带钱的一半，那么可以用7.5加7.5算出东东带了多少元钱。
【解答】解：根据分析可知：
7.5+7.5＝15（元）
答：东东带了15元钱。
故答案为：15。
【点评】此题考查了运用小数加法运算解决实际问题。
19．（4分）按要求做题。
（1）画出三角形ABC向右平移8格后的三角形A'B'C'；
（2）画出三角形A'B'C'绕点C'顺时针旋转90°后的图形；
（3）画出三角形ABC按2：1放大后的图形；
（4）如图，点D（向 右 平移 1 格）可以和点A、B、C组成平行四边形，移动后得到点D'的位置用数对表示是（ 2 ， 6 ）。这个平行四边形的面积是 12 cm2。
【考点】作平移后的图形；作旋转一定角度后的图形；图形的放大与缩小；平行四边形的面积；三角形的周长和面积．
【专题】几何直观．
【答案】（1）（2）（3）（4），右，1，（2，6），12。（答案不唯一）
【分析】（1）根据平移的方法，画出三角形ABC向右平移8格后的三角形A'B'C'；。
（2）根据图形旋转的方法，点C'不动，画出三角形A'B'C'绕点C'顺时针旋转90°后的图形。
（3）根据图形放大的方法，把三角形ABC按2：1放大到原来的2倍，在方格纸上画出放大后的图形即可。
（4）根据平行四边形的特征，点D向右平移1格可以和点A、B、C组成平行四边形，用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行，据此可知移动后得到点D'的位置用数对表示是（2，6）；（答案不唯一）再根据平行四边形的面积公式S＝ah，求出面积即可。
【解答】解：（1）画出三角形ABC向右平移8格后的三角形A'B'C'，如下图；
（2）画出三角形A'B'C'绕点C'顺时针旋转90°后的图形，如下图；
（3）画出三角形ABC按2：1放大后的图形，如下图；
（4）如下图：
点D向右平移1格可以和点A、B、C组成平行四边形，移动后得到点D'的位置用数对表示是（2，6）。（答案不唯一）
4×3＝12（cm2）
答：这个平行四边形的面积是12cm2。
故答案为：右，1，（2，6），12。（答案不唯一）
【点评】本题考查了图形的平移、旋转、图形的放大、数对表示位置以及平行四边形面积公式的应用知识，结合题意分析解答即可。
20．（10分）数学阅读：
如图是用长短不一的积木搭成的一堵“分数墙”，其中最长的积木的长度表示“1”。仔细观察，想想填填。
（1）1=22=33=44=55= 66=77=88=99=1010 。
上面关系表示2个一等于1，即“逢二进一”；3个13等于1，即“逢三进一”；由此类推，……，10个110等于1，即“逢 十 进一”。
（2）2个13等于4个16等于 6 个19，可以表示成23=46=()9。
（3）通过分数墙我们发现：14+14+12=1，18+1()+1()+1()=1。
【考点】分数的意义和读写；数与形结合的规律．
【专题】推理能力．
【答案】
（1）66=77=88=99=1010，十；
（2）6；
（3）8，8，8。
【分析】认真观察分数墙不难发现：1里面有2个12，3个13，4个14⋯⋯10个110。
（1）由图可以看出：长为“1”的积木长＝2个长为12的积木长＝3个长为13的积木长＝4个长为14的积木长＝……根据上面的关系式，“逢二进一”；“逢三进一”；……“逢几进一”。
（2）由图可以看出：2个长13的积木＝4个长16的积木＝6个长19的积木，2个13=4个16=6个19，即23=46=69。
（3）通过观察带可以发现：1里面有2个12，12里面有2个14，即14+14+12=1；1里面有2个12，12里面有4个18，因此，4个18加12等于1。
【解答】解：填一填：
（1）1=22=33=44=55=66=77=88=99=1010。
上面关系表示2个一等于1，即“逢二进一”；3个13等于1，即“逢三进一”；由此类推，…，10个110等于1，即“逢十进一”。
（2）2个13等于4个16等于6个19，可以表示成69。
（3）通过分数墙我们发现：14+14+12=1，18+18+18+12=1。
故答案为：66=77=88=99=1010，十；6；8，8，8。
【点评】解答此题的关键是根据题意把“分数墙”填正确，然后通过观察，其他问题即可解决。
21．（6分）如图，一块三角形果园，面积是810平方米。
（1）要从点A安装一根水管到BC边，这根水管最短长多少米？
（2）如果1米水管要9元，安装这根水管最少要多少元？
【考点】三角形的周长和面积；作最短线路图．
【专题】应用意识．
【答案】（1）32.4米；
（2）291.6元。
【分析】（1）点到直线的距离垂直线段最短，这条垂直线段就是三角形的高，根据三角形的高＝面积×2÷底，求出三角形的高，就是水管的最短长度；
（2）用水管的最短长度×每米要的钱数，即可求出安装这根水管的费用，据此列式解答。
【解答】解：（1）810×2÷50
＝1620÷50
＝32.4（米）
答：这根水管最短长32.4米。
（2）32.4×9＝291.6（元）
答：安装这根水管最少要291.6元。
【点评】此题考查的目的是理解三角形高的意义，掌握三角形的面积公式及应用。
考点卡片
1．奇数与偶数的初步认识
【知识点解释】
偶数：是2的倍数的数叫做偶数，又叫做双数，如：2、4、6、8等
奇数：不是2的倍数的数叫做奇数，又叫做单数，如：1、3、5、7等．
【知识点归纳】
奇数和偶数的性质：
奇数+奇数＝偶数，奇数﹣奇数＝偶数
奇数+偶数＝奇数，奇数﹣偶数＝奇数
奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数
【命题方向】
常考题型：
偶数和奇数的积为偶数． √ ．（判断题）
分析：根据偶数和奇数的性质：奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数；进行判断即可．
解：根据偶数和奇数的性质可得：偶数和奇数的积为偶数；
故答案为：√．
点评：此题考查了奇数和偶数的性质．
2．因数和倍数的意义
【知识点归纳】
假如整数n除以m，结果是无余数的整数，那么我们称m就是n的因子． 需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立． 反过来说，我们称n为m的倍数．
【命题方向】
常考题型：
例1：24是倍数，6是因数． × ．（）
分析：约数与倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数（也叫因数）．约数与倍数是相互依存的，据此解答．
解：24÷6＝4，只能说24是6的倍数，6是24的因数，所以24是倍数，6是因数的说法是错误的；
故答案为：×．
点评：本题主要考查因数与倍数的意义，注意约数与倍数是相互依存的．
例2：一个数的因数都比这个数的倍数小． × ．（）
分析：一个数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数．如：5的最小倍数是5，最大因数也是5．由此即可解答．
解：因为一数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数，所以此题干不正确；
故答案为：×．
点评：此题重点是考察因数和倍数的意义，要知道一数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数．
3．求几个数的最大公因数的方法
【知识点归纳】
方法：1．分别分解各个数的质因数，然后比较出公共的质因数相乘．
2．用短除法，写短除算式，道理与第一种方法相似，只是找公共因数的过程与除法过程合并了．
【命题方向】
常考题型：
例1：如果A是B的15，A和B的最小公倍数是B ，它们的最大公因数是A ．
分析：如果两个数是倍数关系那么较小数是它们的最大公约数，较大数是它们的最小公倍数，由题目条件可以得知：A是B的15，也就是B是A的5倍，由此可以解决．
解：因为A和B是倍数关系，所以它们的最大公约数是较小的那个数A，最小公倍数是较大的那个数B，
故答案为：B；A．
此题主要考查了求两个成倍数关系的数的最大公约数和最小公倍数的方法：两个数是倍数关系那么较小数是它们的最大公约数，较大数是它们的最小公倍数．
例2：甲＝2×2×2×3，乙＝2×2×3×5，甲、乙两数的最大公约数是 12 ，最小公倍数 120 ．
分析：根据甲＝2×2×2×3，乙＝2×2×3×5，可知这两个数公有的质因数是2、2、3，公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数；除了公有质因数外，甲数独有的质因数为2，乙数独有的质因数为5，那么公有质数与各自独有质因数的连乘积就是这两个数的最小公倍数．据此进行解答．
解：甲＝2×2×2×3；
乙＝2×2×3×5；
甲和乙的最大公因数是：2×2×3＝12；
甲和乙的最小公倍数是：2×2×3×2×5＝120；
故答案为：12，120．
点评：此题主要考查求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法，公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数；公有质因数与各自独有质因数的连乘积就是这两个数的最小公倍数．
4．分数的意义和读写
【知识点归纳】
分数的意义：把一个物体或一个计量单位平均分成若干份，这样的一份或几份可用分数表示．
在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线上面的数叫做分子，表示有这样的多少份．
分数的分类：
（1）真分数：分子比分母小的分数，叫做真分数．真分数的分数值小于1．
（2）假分数：和真分数相对，分子大于或者等于分母的分数叫假分数，假分数大于1或等于1．
带分数：分子不是分母的倍数关系．形式为：整数+真分数．
【命题方向】
两根3米长的绳子，第一根用34米，第二根用34，两根绳子剩余的部分相比（ ）
A、第一根长 B、第二根长 C、两根同样长
分析：分别求得两根绳子剩余的长度，即可作出判断．
解：第一根剪去34米，剩下的长度是：3-34=214（米）；
第二根剪去34，剩下的长度是3×（1-34）=34（米）．
所以第一根剩下的部分长．
故选：A．
点评：此题重在区分分数在具体的题目中的区别：有些表示是某些量的几分之几，有些表示具体的数，做到正确区分，选择合适的解题方法．在具体的题目中，带单位是一个具体的数，不带单位是把某一个数量看单位“1”，是它的几分之几．
5．真分数、假分数和带分数
真分数、假分数和带分数
1、将假分数化为带分数：分母不变，分子除以分母所得整数为带分数左边整数部分，余数作分子．
2、将带分数化为假分数：分母不变，用整数部分与分母的乘积再加原分子的和作为分子．
3、将带分数化为整数：被除数÷除数=被除数除数，除得尽的为整数．
6．小数的读写、意义及分类
【知识点解释】
1.小数的意义：
小数由整数部分、小数部分和小数点组成．小数是十进制分数的一种特殊表现形式．分母是10、100、1000…的分数可以用小数表示．所有分数都可以表示成小数，小数中除无限不循环小数外都可以表示成分数．无理数为无限不循环小数．根据十进制的位值原则，把十进分数仿照整数的写法写成不带分母的形式，这样的数叫做小数．小数中的圆点叫做小数点，它是一个小数的整数部分和小数部分的分界号，小数点左边的部分是整数部分，小数点右边的部分是小数部分．整数部分是零的小数叫做纯小数，整数部分不是零的小数叫做带小数．例如0.3是纯小数，3.1是带小数．
2.小数的读法：
整数部分按整数的读法来读，小数点读作点，小数部分要依次读出每个数字．
3.小数的写法：
整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位的右下角，然后，顺次写出小数部分每一个数位上的数字．
4.小数的分类：
①按照整数部分的情况分类，可得“纯小数”和“带小数”两种小数．
②按照小数部分的情况分类，可得“有限小数”和“无限小数”两种，在无限小数中，又有“无限循环小数”和“无限不循环小数”
【命题方向】
常考题型：
例1：2.0的计数单位是 0.1 ，它含有 20 个这样的计数单位．
分析：（1）首先要搞清小数的位数，有一位小数，计数单位就是0.1；有两位小数计数单位就是0.01，…，以此类推；
（2）这个小数的最后一位数是0，整数部分是2，表示2个一，一个一是10个0.1，2个一就表示20个0.1，据此解答．
解：2.0的计数单位是 0.1，它含有 20个这样的计数单位；
故答案为：0.1，20．
点评：此题考查小数的意义，解答时一定要看清小数的数位和这个数位的计数单位．
例2：一个数由5个十和10个百分之一组成，这个数写作 50.1 ．
分析：5个十即50，10个百分之一即10×0.01＝0.1，这个数是50+0.1，据此解答．
解：10×0.01＝0.1，
50+0.1＝50.1；
故答案为：50.1．
点评：本题主要考查小数的写法．
例3：循环小数一定是无限小数． √ ．（）
分析：根据无限小数的意义，小数部分的位数是无限的小数叫无限小数，且循环小数的位数也是无限的，所以循环小数都是无限小数．
解：因为循环小数的位数无限的，符合无限小数的意义，所以循环小数都是无限小数．
故答案为：√．
点评：此题主要考查循环小数和无限小数的意义．
7．运算定律与简便运算
【知识点归纳】
1、加法运算：
①加法交换律：两个加数交换位置，和不变．如a+b＝b+a
②加法结合律：先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．如：a+b+c＝a+（b+c）
2、乘法运算：
①乘法交换律：两个因数交换位置，积不变．如a×b＝b×a．
②乘法结合律：先乘前两个数，或先乘后两个数，积不变．如a×b×c＝a×（b×c）
③乘法分配律：两个数的和，乘以一个数，可以拆开来算，积不变．如a×（b+c）＝ab+ac
④乘法分配律的逆运算：一个数乘另一个数的积加它本身乘另一个数的积，可以把另外两个数加起来再乘这个数．如ac+bc
＝（a+b）×c
3、除法运算：
①除法性质：一个数连续除以两个数，可以先把后两个数相乘，再相除．如a÷b÷c＝a÷（b×c）
②商不变规律：被除数和除数同时乘上或除以相同的数（0除外）它们的商不变．如a÷b＝（an）÷（bn）＝（a÷n）÷（b÷n） （n≠0 b≠0）
4、减法运算：
减法性质：一个数连续减去两个数，可以用这个数减去两个数的和．如a﹣b﹣c＝a﹣（b+c）
【命题方向】
常考题型：
例1：0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法的（ ）
A、交换律 B、结合律 C、分配律
分析：乘法分配律的概念为：两个数的和乘另一个数，等于把这个数分别同两个加数相乘，再把两个积相加，得数不变，用字母表示：（a+b） c＝ac+ac．据此可知，0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法分配律．
解：根据乘法分配律的概念可知，
0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法分配律．
故选：C．
点评：本题利用具体的算式考查了学生对于乘法分配律的理解．
例2：125×25×32＝（125×8）×（25×4），这里运用了（ ）
A、乘法交换律 B、乘法结合律 C、乘法交换律和乘法结合律
分析：在125×25×32＝（125×8）×（25×4）中，是把32看作8×4，然后用乘法交换律变成125×8×25×4，再运用乘法结合律计算，即（125×8）×（25×4）．
解：125×25×32＝（125×8）×（25×4），运用了乘法交换律和乘法结合律．
故选：C．
点评：此题重点考查了学生对乘法交换律和结合律的掌握与运用情况．
8．小数的加法和减法
【知识点归纳】
小数加法的意义与整数加法的意义一样，是把两个数合并成一个数的运算．
小数减法的意义与整数减法的意义一样，是已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算．
小数加法的法则：小数加法的法则与整数加法的法则一样，也是相同的数位对齐．由于小数中有小数点，因此，只要小数点对齐，相同的位数就必然对齐了．
步骤：①把各个加数的小数点上下对齐；②按照整数加法的法则进行计算，从右边最末一位加起，满十进一；③和（计算结果）的小数点要与加数的小数点上下对齐．
小数减法的法则：小数点对齐，相同位数对齐．
步骤：①把被减数和减数的小数点上下对齐；②按照整数减法的法则进行计算，从右边最末一位减起，不够减时，借一当十；③差的小数点要与被减数、减数的小数点上下对齐．
【命题方向】
常考题型：
例1：计算小数加减时，要（ ）对齐．
A、首位 B、末尾 C、小数点
分析：根据小数加、减法的计算法则：（1）计算小数加、减法，先把各数的小数点对齐（也就是把相同数位上的数对齐），（2）再按照整数加、减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点点上小数点 （得数的小数部分末尾有0，一般要把0去掉）；据此直接选择．
解：根据小数加减法的计算法则可知：
计算小数加减时，要把小数点对齐．
故选：C．
点评：主要考查小数加减法的计算法则的掌握和应用．
例2：小丽在计算3.68加一个一位小数时，由于错误的把数的末尾对齐结果得到了4.25，正确的得数应是 9.38 ．
分析：根据题意，用4.25减3.68得出的数，化成一位小数，再按照小数的加法进行计算就可以得出正确的结果．
解：根据题意可得：
4.25﹣3.68＝0.57，那么这个一位小数就是：0.57×10＝5.7；
正确的结果是：3.68+5.7＝9.38．
故答案为：9.38．
点评：根据题意，先求出错误的另一个加数，化成一位小数，再进一步解答即可．
9．小数乘法
【知识点归纳】
小数乘法的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的就简便运算；一个数乘纯小数的意义是，求这个数的十分之几、百分之几、千分之几…是多少．
小数乘法法则：先把被乘数和乘数都看做整数，按照整数的乘法法则进行计算，求出整数乘法的积，然后，再看被乘数和乘数一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点．如果小数的末尾出现0时，根据小数的基本性质，要把它去掉．
【命题方向】
常考题型：
例1：40.5×0.56＝（ ）×56．
A、40.5 B、4.05 C、0.405 D、0.0405
分析：两个小数相乘，其中一个的小数点向左移动几位，要使积不变，则另一个小数的小数点要向右移动相同的数位．
解：40.5×0.56＝0.405×56
故选：C．
点评：此题主要考查在小数乘法中小数点位置的变化与积的变化规律．
例2：昙花的寿命最少保持能4小时，小麦开花的时间是昙花寿命的0.02倍，约（ ）左右．
分析：根据题意，小麦开花的时间是昙花寿命的0.02倍，也就是4小时的0.02倍，可以先求出小麦开花的时间，再进行估算即可．
解：根据题意可得：
小麦开花的时间是：4×0.02＝0.08（小时），
0.08小时＝4.8分钟≈5分钟．
故选：B．
点评：本题主要考查小数乘法的估算，根据题意求解后，要根据求近似数的方法进行估算，要注意单位不同时，化成相同的单位．
10．小数除法
【知识点归纳】
小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算．
小数除法的法则与整数除法的法则基本相同，注意两点：
①当除数是整数时，可以直接按照整数除法的法则进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐．如果有余数，就在余数的右边补上0，再继续除．商的整数部分或小数部分哪一位不够1时，要写上0，补足位数．如果需要求商的近似值时，要比需要保留的小数位数多商一位，再按照四舍五入法取近似商．
②当除数是小数时，要根据“被除数和除数同时乘相同的数商不变”的规律，先把除数的小数点去掉，使它变成整数，再看原来的除数有几位小数，被除数的小数点也向右移动相同的位数．如果位数不够，要添0补足，然后，按照除数是整数的小数除法法则进行计算．
【命题方向】
常考题型：
例1：0.47÷0.4，商是1.1，余数是（ ）
A、3 B、0.3 C、0.03
分析：根据有余数的除法可知，商×除数+余数＝被除数，那么余数＝被除数﹣商×除数，代入数据进行解答即可．
解：根据题意可得：
余数是：0.47﹣1.1×0.4＝0.47﹣0.44＝0.03．
故选：C．
点评：被除数＝商×除数+余数，同样适用于小数的除法．
例2：2.5÷100与2.5×0.01的计算结果比较．（ ）
A、商较大 B、积较大 C、一样大
分析：根据小数乘除法的计算方法，分别求出商与积，再根据小数大小的比较方法进行解答即可．
解：2.5÷100＝0.025，2.5×0.01＝0.025，
所以，2.5÷100＝2.5×0.01．
故选：C．
点评：求出各自的商与积，再根据题意解答．
11．小数四则混合运算
【知识点归纳】
1、加法、减法、乘法和除法统称四则运算。
2、在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。
3、在没有括号的算式里，既有乘、除法又有加、减法的，要先算乘除法，再算加减法。
4、算式有括号，要先算括号里面的，再算括号外面的；大、中、小括号的计算顺序为小→中→大。括号里面的计算顺序遵循以上1、2、3条的计算顺序。
【方法总结】
1、小数乘法的计算方法：
（1）算：先按整数乘法的法则计算；
（2）看：看两个乘数中一共有几位小数；
（3）数：从积的右边起数出几位（小数位数不够时，要在前面用 0 补足）；
（4）点：点上小数点；
（5）去：去掉小数末尾的“0”。
2、小数除法的计算方法：先看除数是整数还是小数。
小数除以整数计算方法：
（1）按整数除法的法则计算；
（2）商的小数点要和被除数的小数点对齐
（3）如果有余数，要在余数后面添“0”继续除。
除数是小数的计算方法：
（1）看：看清除数有几位小数
（2）移（商不变规律）：把除数和被除数的小数点同时向右移动相同的位数，使除数变成整数，当被除数的小数位数不足时，用“0”补足
（3）算：按照除数是整数的除法计算。注意：商的小数点要和被除数移动后的小数点对齐）
【常考题型】
直接写出得数。
答案：0.024；0.078；4.32；0.25
妈妈在菜场买了3.25千克鲤鱼，付出20元，找回1.8元，每千克鲤鱼多少元？
答案：（20﹣1.8）÷3.25＝5.6（元）
12．时、分、秒及其关系、单位换算与计算
【知识点归纳】
两个日期或时刻之间的间隔叫时间．
时、分、秒相邻两个单位进率是60，
1小时＝60分＝3600秒，
1分＝60秒．
单位换算：大单位换小单位乘以它们之间的进制，小单位换大单位除以它们之间的进制．
【命题方向】
常考题型：
例1：3.3小时是（ ）
A、3小时30分 B、3小时18分 C、3小时3分
分析：1小时＝60分，据此即可求解．
解：3.3小时＝3+0.3小时，
0.3×60＝18（分），
所以3.3小时＝3小时18分；
故选：B．
点评：此题主要考查时间单位间的换算．
例2：三个人在同一段路上赛跑，甲用0.2分，乙用730分，丙用13秒．（ ）的速度最快．
A、甲 B、乙 C、丙
分析：先把时间都换算成秒数，再比较谁最快，因为路程相等，谁用的时间最少谁就最快．
解：甲的时间是：0.2分＝12秒，
乙的时间是：730分＝14秒，
丙的时间是：13秒，
在12秒、14秒、13秒三个时间中，12秒最少，即甲的速度最快．
故选：A．
点评：此题关键是把时间统一单位，明确同样的路程，用的时间最少的是速度最快的．
13．数与形结合的规律
【知识点归纳】
在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形的对称（上下对称和左右对称），另一方面要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题．
【命题方向】
常考题型：
例：用小棒照下面的规律搭正方形，搭一个用4根，搭2个用7根…，搭10个要用 31 根小棒，搭n个要用 3n+1 根小棒．
分析：能够根据图形发现规律：多一个正方形，则多用3根火柴．
解：观察图形发现：第一个图形需要4根火柴，多一个正方形，多用3根火柴，则第n个图形中，需要火柴4+3（n﹣1）＝3n+1．
当n＝10，3n+1＝31，
答：搭10个要用3根小棒，搭n个要用3n+1根小棒．
故答案为：31，3n+1．
点评：本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力．
14．“提问题”、“填条件”应用题
【知识点归纳】
1．根据已有条件推断可以增添的条件或者问题．
2．填入后，进行检验看是否符合常理或者题意．
3．如果是正确的，进行解答．
【命题方向】
常考题型：
例1：甲仓有大米2400千克， 条件 ，乙仓库有大米多少千克？
2400×40% 乙仓库是甲仓库的40%
2400×（1+40%） 乙仓库比甲仓库多40%；
2400÷40% 是乙仓库的40%
2400÷（1﹣40%） 比乙仓库少40% ．
分析：通过算式发现这些题属于百分数乘、除法应用题，关键是确定单位“1”
（1）用乘法求乙仓库的大米重量，那么单位“1”就是甲仓库的大米重量，应填乙仓库是甲仓库的40%；
（2）用乘法求乙仓库的大米重量，那么单位“1”就是甲仓库的大米重量，和上题不同的是多加个1，说明乙仓库是单位“1”的1+40%，应填：乙仓库比甲仓库多40%；
（3）用除法求乙仓库的大米重量，那么单位“1”是乙仓库的大米重量，应填：是乙仓库的40%；
（4）用除法求乙仓库的大米重量，那么单位“1”是乙仓库的大米重量，2400对应的分数是1﹣40%，说明它比单位“1”少40%，应填：比乙仓库少40%．
解：2400×40%，应填：乙仓库是甲仓库的40%；
2400×（1+40%），应填：乙仓库比甲仓库多40%；
2400÷40%，应填：是乙仓库的40%；
2400÷（1﹣40%），应填：比乙仓库少40%．
点评：此题主要考查百分数乘除应用题的一般形式：由两个数量以及两个数量之间的倍比关系构成；这道题是已知一个数量和两个数量之间的关系，求另一个数量，用乘法解答，单位“1”已知，用除法解答，单位“1”未知．
15．整数、小数复合应用题
【知识点归纳】
1．有两个或两个以上的基本数量关系组成的，用两步或两步以上运算解答的应用题，通常叫做复合应用题．
2．含有三个已知条件的两步计算的应用题．
3．运算按照整数和小数的运算法则进行运算即可．
【命题方向】
常考题型：
例1：三年级3个班平均每班有学生40人．其中一班有38人，二班有40人，三班有（ ）人．
A、38 B、40 C、42
分析：先根据“3个班平均每班有学生40人”求出三年级的总人数是多少，然后用总人数减去一班和二班的人数即是三班的人数是多少．
解：40×3﹣（38+40）
＝120﹣78，
＝42（人）；
答：三班有42人．
故选：C．
点评：先根据3个班的平均数求出总人数是完成本题的关键．
例2：买10千克大米用25.5元，买4.5千克大米用（ ）元．
A、11.475 B、11.48 C、11.4 D、11.47
分析：知道买10千克大米用25.5元，可求买1千克大米用多少钱，进而可求买4.5千克大米用多少钱，计算后选出即可．
解：25.5÷10×4.5
＝2.55×4.5
＝11.475
≈11.48（元）．
故选：B．
点评：此题考查整数、小数复合应用题，先求出每千克大米的钱数，再求4.5千克大米的钱数．
16．公因数和公倍数应用题
【知识点归纳】
公倍数指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数．
给定若干个正整数，如果他们有相同的因数，那么这个（些）因数就叫做它们的公因数．
【命题方向】
常考题型：
例1：有两根木料，一根长12米，另一根长18米，现在要把它们截成长度相等的小段，每根不准有剩余，每小段最长是多少？一共可以截成多少段？
分析：根据题意，可计算出18与12的最大公约数，即是每根小段的最长，然后再用18除以最大公约数加上12除以最大公约数的商，即是一共截成的段数，列式解答即可得到答案．
解：18＝2×3×3，
12＝2×2×3，
所以最大公因数是2×3＝6，
所以每段最长6米，
18÷6+12÷6
＝3+2
＝5（段），
可以截成5段，
答：每小段木条最长6米；一共可以截成5段．
点评：解答此题的关键是利用求最大公约数的方法计算出每小段的最长，然后再计算每根木条可以截成的段数，再相加即可．
例2：甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果4月25日他们三人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？
分析：由甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，可知：他们从4月25日到下一次都到图书馆之间的天数是6、8、9的最小公倍数的数，最小公倍数是72，72天比要比两个月的时间要多，因此再求出4月里还有几天，5月和6月的天数，最后用72减去4月里剩下的天数，再减去5月和6月的天数，得数是几就是7月几日，据此解答．
解：6＝2×3，8＝2×2×2，9＝3×3，
所以6、8、9的最小公倍数：2×3×2×2×3＝72；
4月和6月是小月有30天，5月是大月有31天，
所以4月里还有：30﹣25＝5，5月里有31天，6月里有30天，
还剩下：72﹣5﹣31﹣30＝6（天）；
即下一次都到图书馆是7月6日；
答：下一次都到图书馆是7月6日．
点评：解答本题的关键是：理解他们从4月25日到下一次都到图书馆之间的天数是6、8、9的最小公倍数，再根据年月日的知识，找出4、5、6月里的天数．
17．圆柱的展开图
【知识点归纳】
圆柱的侧面沿高剪开的展开图是一个长方形（或正方形），这个长方形（或正方形）的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高．
【命题方向】
常考题型：
例1：将圆柱体的侧面展开，将得不到（ ）
A、长方形 B、正方形 C、平行四边形 D、梯形
分析：根据对圆柱的认识和圆柱的侧面展开图及实际操作进行选择即可．
解：围成圆柱的侧面的是一个圆筒，沿高线剪开，会得到长方形或正方形，沿斜直线剪开会得到平行四边形．但是无论怎么直线剪开，都不会得到梯形．
故选：D．
点评：此题考查圆柱的侧面展开图，要明确：沿高线剪开，圆柱的侧面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高．
例2：一个圆柱的侧面展开是一个正方形，这个圆柱的底面半径和高的比是（ ）
A、1：π B、1：2π C、π：1 D、2π：1
分析：因为将圆柱沿高展开后得到一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高，由此再根据“一个圆柱的侧面展开是一个正方形，”知道圆柱的底面周长与圆柱的高相等；设圆柱的底面半径为r，根据圆的周长公式，C＝2πr，表示出圆的底面周长，即圆柱的高，由此即可得出圆柱的底面半径和高的比．
解：设圆柱的底面半径为r，
则圆柱的底面周长是：2πr，
即圆柱的高为：2πr，
圆柱的底面半径和高的比是：r：2πr＝1：2π；
故选：B．
点评：此题主要考查了圆柱与圆柱的侧面展开图之间的关系，再根据相应的公式与基本的数量关系解决问题．
18．大面积单位间的进率及单位换算
【知识点归纳】
1平方千米＝100公顷＝1000000平方米
1公顷＝10000平方米
【命题方向】
常考题型：
边长是100米的正方形土地的面积是1公顷． √ ．（）
分析：1公顷的规定：边长是100米的正方形土地的面积是10000平方米，也即1公顷；据此进行判断．
解：边长是100米的正方形土地的面积是10000平方米，即1公顷；
故答案为：√．
点评：此题考查土地面积单位公顷的规定：边长是100米的正方形土地的面积是10000平方米，也即1公顷．
19．体积、容积进率及单位换算
【知识点归纳】
体积单位：
1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米
1立方分米＝1000立方厘米，
容积单位：
1升＝1000毫升
1升＝1立方分米＝1000立方厘米
1毫升＝1立方厘米
单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率．
【命题方向】
常考题型：
例1：3升+200毫升＝（ ）毫升．
A、2003 B、320 C、3200
分析：把3升200毫升换算为毫升，先把3升换算为毫升，用3乘进率1000，然后加上200；据此解答．
解：3升+200毫升＝3200毫升；
故选：C．
点评：解决本题关键是要熟记单位间的进率，知道如果是高级单位的名数转化成低级单位的名数，就乘单位间的进率；反之，就除以进率来解决．
例2：750毫升＝ 0.75 升
7.65立方米＝ 7650 立方分米
8.09立方分米＝ 8 升 90 毫升．
分析：（1）把750毫升换算成升数，用750除以进率1000得0.75升；
（2）把7.65立方米换算成立方分米数，用7.65乘进率1000得7650立方分米；
（3）把8.09立方分米换算成复名数，整数部分就是8立方分米，也就是8升，把0.09立方分米换算成毫升数，用0.09乘进率1000得90毫升．
解：（1）750毫升＝0.75升；
（2）7.65立方米＝7650立方分米；
（3）8.09立方分米＝8升90毫升．
故答案为：0.75，7650，8，90．
点评：此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率；把低级单位的名数换算成高级单位的名数，就除以单位间的进率．
20．平行四边形的面积
【知识点归纳】
平行四边形面积＝底×高，用字母表示：S＝ah．（a表示底，h表示高）
【命题方向】
常考题型：公式应用
例1：一个平行四边形相邻两条边分别是6厘米、4厘米，量得一条边上的高为5厘米，这个平行四边形的面积是（ ）平方厘米．
A、24 B、30 C、20 D、120
分析：根据平行四边形的特点可知，底边上的高一定小于另一条斜边，所以高为5厘米对应的底为4厘米，利用面积公式计算即可．
解：4×5＝20（平方厘米）；
答：这个平行四边形的面积是20平方厘米．
故选：C．
点评：此题主要考查平行四边形的特点，分析出相对应的底和高，据公式解答即可．
例2：一个平行四边形的底扩大3倍，高扩大2倍，面积就扩大（ ）
A、5倍 B、6倍 C、不变
分析：平行四边形面积＝底×高底扩大3倍，高扩大2倍，则面积扩大了3×2＝6倍．
解：因为平行四边形面积＝底×高，
底扩大3倍，高扩大2倍，则面积扩大了3×2＝6（倍），
故选：B．
点评：本题考查了平行四边形的面积公式．
【解题思路点拨】
（1）常规题求平行四边形面积，从已知中求出平行四边形的底，以及底相对应的高，代入公式即可求得．
21．梯形的面积
【知识点归纳】
梯形面积＝（上底+下底）×高÷2．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个果园近似梯形，它的上底120m，下底180m，高60m．如果每棵果树占地10m2，这个果园共有果树多少棵？
分析：根据梯形的面积公式S＝（a+b）×h÷2，求出果园的面积，再除以10就是这个果园共有果树的棵数．
解：（120+180）×60÷2÷10，
＝300×60÷2÷10，
＝18000÷20，
＝900（棵），
答：这个果园共有果树900棵．
点评：本题主要是利用梯形的面积公式S＝（a+b）×h÷2与基本的数量关系解决问题．
22．三角形的周长和面积
【知识点归纳】
三角形的周长等于三边长度之和．
三角形面积＝底×高÷2．
【命题方向】
常考题型：
例1：4个完全相同的正方形拼成一个长方形．（如图）图中阴影三角形的面积的大小是
A、甲＞乙＞丙 B、乙＞甲＞丙
C、丙＞甲＞乙 D、甲＝乙＝丙
分析：因为三角形的面积＝底×高÷2，且图中三个阴影三角形等底等高，所以图中阴影三角形的面积都相等．
解：因为三角形的面积＝底×高÷2，且图中三个阴影三角形等底等高，
所以图中阴影三角形的面积都相等．
故选：D．
点评：此题主要考查等底等高的三角形面积相等．
例2：在如图的梯形中，阴影部分的面积是24平方分米，求梯形的面积．
分析：由图形可知，阴影部分三角形的高与梯形的高相等，已知三角形的面积和底求出三角形的高，再根据梯形的面积公式s＝（a+b）h÷2，计算梯形的面积即可．
解：24×2÷8
＝48÷8
＝6（分米）；
（8+10）×6÷2
＝18×6÷2
＝54（平方分米）；
答：梯形的面积是54平方分米．
点评：此题解答根据是求出三角形的高（梯形的高），再根据梯形的面积公式解答即可．
23．组合图形的面积
【知识点归纳】
方法：
①“割法”：观察图形，把图形进行分割成容易求得的图形，再进行相加减．
②“补法”：观察图形，给图形补上一部分，形成一个容易求得的图形，再进行相加减．
③“割补结合”：观察图形，把图形分割，再进行移补，形成一个容易求得的图形．
【命题方向】
常考题型：
例1：求图中阴影部分的面积．（单位：厘米）
分析：根据图所示，可把组合图形分成一个直角梯形和一个14圆，阴影部分的面积等于梯形的面积减去14圆的面积再加上14圆的面积减去三角形面积的差，列式解答即可得到答案．
解：[（5+8+5）×5÷2-14×3.14×52]+（14×3.14×52﹣5×5÷2），
＝[18×5÷2﹣0.785×25]+（0.785×25﹣25÷2），
＝[90÷2﹣19.625]+（19.625﹣12.5），
＝[45﹣19.625]+7.125，
＝25.375+7.125，
＝32.5（平方厘米）；
答：阴影部分的面积为32.5平方厘米．
点评：此题主要考查的是梯形的面积公式（上底+下底）×高÷2、三角形的面积公式底×高÷2和圆的面积公式S＝πr2的应用．
24．轴对称
【知识点归纳】
1．轴对称的性质：
像窗花一样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，称这两个图形为轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点．
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴．
2．性质：
（1）成轴对称的两个图形全等；
（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线．
【命题方向】
常考题型：
例：如果把一个图形沿着 一条直线 对折，两侧的图形能够 完全重合 ，这个图形就是 轴对称图形 ．
分析：依据轴对称图形的意义，即在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此即可进行解答．
解：据分析可知：
如果把一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形．
故答案为：一条直线、完全重合、轴对称图形．
点评：此题主要考查轴对称图形的意义．
25．轴对称图形的辨识
【知识点归纳】
1．轴对称图形的概念：
如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．学过的图形中，线段、角、等腰三角形、等边三角形、长方形、正方形、等腰梯形、圆形、扇形都是轴对称图形，各自有不同数目的对称轴．
【命题方向】
常考题型：
例：如图的交通标志中，轴对称图形有（ ）
A、4 B、3 C、2 D、1
分析：依据轴对称图形的定义即可作答．
解：图①、③沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，所以图①、③是轴对称图形；
图②、④无论沿哪一条直线对折后，直线两旁的部分都不能够互相重合，所以它们不是轴对称图形．
如图的交通标志中，轴对称图形有2个．
故选：C．
点评：此题主要考查轴对称图形的定义．
26．作轴对称图形
【知识点归纳】
1．如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．学过的图形中，线段、角、等腰三角形、等边三角形、长方形、正方形、等腰梯形、圆形、扇形都是轴对称图形，各自有不同数目的对称轴．通过以上图形的组合就可以得到轴对称图形了．
【命题方向】
常考题型：
例：（1）画出图A的另一半，使它成为一个轴对称图形．
（2）把图B向右平移4格．
（3）把图C绕O点顺时针旋转180°．
分析：（1）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的下边画出图形A的关键对称点，连结涂色即可．
（2）根据平移的特征，把图形B的各点分别向右平移4格，再依次连结、涂色即可．
（3）根据旋转图形的特征，图形C绕点O顺时针旋转180°，点O的位置不动，其余各部分均绕点O按相同的方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形．
解：（1）画出图A的另一半，使它成为一个轴对称图形（下图）．
（2）把图B向右平移4格（下图）．
（3）把图C绕O点顺时针旋转180°（下图）．
点评：此题是考查作轴对称图形、作平移的图形、作旋转图形．关键是确定对称点（对应点）的位置．
27．作平移后的图形
【知识点归纳】
1．确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
2．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
【命题方向】
常考题型：
例：分别画出将向上平移3格、向右平移8格后得到的图形．
分析：根据平移图形的特征，把平行四边形A的四个顶点分别向上平移3格，再首尾连结各点，即可得到平行四边形A向上平移3格的平行四边形B；同理，把平行四边形B的四个顶点分别向右平移8格，再首尾连结各点，即可得到平行四边形B向右平移8格的平行四边形C．
解：作平移后的图形如下：
点评：作平移后的图形关键是把对应点的位置画正确．
28．作旋转一定角度后的图形
【知识点归纳】
1．旋转作图步骤：
（1）明确题目要求：弄清旋转中心、旋转方向和旋转角；
（2）分析所作图形：找出构成图形的关键点；
（3）找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；
（4）作出新图形：顺次连接作出的各点．
（5）写出结论：说明作出的图形．
2．中心对称作图步骤：
（1）连接原图形上的所有特殊点和对称中心；
（2）再将以上连线延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等；
（3）将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于对称中心对称的图形．
【命题方向】
常考题型：
例：在图中作出“三角旗”绕O点按逆时针旋转90°后的图案．
分析：根据旋转的意义，找出图中三角旗3个关键处，再画出按逆时针方向旋转90度后的形状即可．
解：画图如下：
点评：本题考查了图形的旋转变化，学生主要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错．
29．图形的放大与缩小
【知识点归纳】
1．图形的放大和缩小是生活中常见的现象，把一个图形放大或缩小后所得到的图形与元图形相比，形状相同，大小不同．
2．方法：一看、二算、三画．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个长4厘米、宽3厘米的长方形按1：3放大，得到的图形面积是（ ）平方厘米．
A、12 B、36 C、108
分析：一个长4厘米、宽3厘米的长方形按1：3放大，即将这个长方形的长和宽同时扩大3倍，据长方形的面积公式可知得到的图形的面积是：（4×3）×（3×3）＝108（平方厘米）．
解：（4×3）×（3×3）＝108（平方厘米）；
故选：C．
点评：本题要根据长方形的面积公式完成．
例2：（1）按1：3的比例画出长方形缩小后的图形．
（2）按2：1的比例画出梯形放大后的图形．
分析：（1）按1：3的比例画出长方形缩小后的图形，就是把原长方形的长和宽都缩小到原来的13，原长方形的长和宽分别是6格和2格，缩小后的长方形的长和宽分别是2格和1格．
（2）按2：1的比例画出梯形放大后的图形，就是把原梯形的上底、下底和高分别扩大到原来的2倍，原梯形的上底、下底和高分别是2格、4格和2格，扩大后的梯形的上底、下底和高分别是4格、8格和4格．
解：画图如下：
点评：本题是考查图形的放大与缩小．使学生在观察、比较、思考和交流等活动中，感受图形放大、缩小，初步体会图形的相似，进一步发展空间观念．
30．作最短线路图
【知识点归纳】
做一个点关于直线的对称点，然后连接对称点和另外一个点，与直线的交点就是所求的点，所求的点和已知点之间的距离就是最短线路．
【命题方向】
常考题型：
例：如果从A、B两点各修一条小路与公路接通，要使这两条小路最短，应该怎样修？请你在图中画出来．
分析：因为直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短，所以，只要分别作出A、B两点到公路的垂线段即可．
解：如图所示，只要分别作出A、B两点到公路的垂线段，这两条小路就最短；
答：只要从A、B两点垂直向公路修小路，所修成的小路才最短．
点评：此题主要考查直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短．
31．游戏规则的公平性
【知识点归纳】
游戏规则的公平性体现在参与游戏的任何一方的获胜可能性大小一致．
【命题方向】
经典题型：
例1：小华用下面的转盘设计了一个游戏：指到红色、甲胜；指到黄色，乙胜，这个游戏公平吗？为什么？
【分析】看转盘的红色区域和黄色区域占整体的多少，再进行比较即可得出答案．
解：指针指向红色的可能性是46，
指针指向黄色的可能性是26，
所以甲胜的可能性大，
这个游戏不公平．
【点评】此题考查了游戏的公平性，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的可能性=nm，解决本题的关键是得到相应的可能性，可能性相等就公平，否则就不公平．注意转盘应均等分．
32．鸡兔同笼
【知识点归纳】
方法：假设法，方程法，抬腿法，列表法
公式1：（兔的脚数×总只数﹣总脚数）÷（兔的脚数﹣鸡的脚数）＝鸡的只数； 总只数﹣鸡的只数＝兔的只数
公式2：（ 总脚数﹣鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数﹣鸡的脚数）＝兔的只数； 总只数﹣兔的只数＝鸡的只数
公式3：总脚数÷2﹣总头数＝兔的只数； 总只数﹣兔的只数＝鸡的只数
公式4：鸡的只数＝（4×鸡兔总只数﹣鸡兔总脚数）÷2； 兔的只数＝鸡兔总只数﹣鸡的只数
公式5：兔总只数＝（鸡兔总脚数﹣2×鸡兔总只数）÷2； 鸡的只数＝鸡兔总只数﹣兔总只数
公式6：（头数x4﹣实际脚数）÷2＝鸡
公式7：4×+2（总数﹣x）＝总脚数 （x＝兔，总数﹣x＝鸡数，用于方程）
公式8：鸡的只数：兔的只数＝兔的脚数﹣（总脚数÷总只数）：（总脚数÷总只数）﹣鸡的脚数．
【命题方向】
常考题型：
例1：鸡兔同笼，鸡兔共35个头，94只脚，问鸡兔各有多少只？
分析：假设全部是兔子，有35×4＝140只脚，已知比假设少了：140﹣94＝46只，一只鸡比一只兔子少（4﹣2）只脚，所以鸡有：46÷（4﹣2）＝23只；兔子有：35﹣23＝12只．
解：鸡：（35×4﹣94）÷（4﹣2），
＝46÷2，
＝23（只）；
兔子：35﹣23＝12（只）；
答：鸡有23只，兔子有12只．
点评：此题属于模拟的鸡兔同笼问题，解答此类题的关键是用假设设法进行分析比较，进而得出结论；也可以用方程，设其中的一个数为未知数，另一个数也用未知数表示，列出方程解答即可．
经典题型：
例2：班主任王老师，在期末用50元买了2.5元和1.5元的水笔共30支，准备作为优秀作业的奖品．那么2.5元和1.5元的水彩笔各多少支？
分析：假设30支全是2.5元的水笔，则用30×2.5＝75元，这样就多75﹣50＝25元；用25÷（2.5﹣1.5）＝25支得出1.5元的水笔支数，进而得出2.5元的水笔数量．
解：1.5元的水笔数量：
25÷（2.5﹣1.5）
＝25÷1
＝25（支），
30﹣25＝5（支），
答：2.5元的水彩笔5支，1.5元的水彩笔25支．
点评：此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方程进行解答．

65公顷＝ 平方米
34小时＝ 分
35ml＝ L
20.9﹣19＝
1.4÷10×100＝
2.5×7÷0.7＝
10÷0.1＝
7.4÷0.4÷5＝
0÷5.7×0.1＝
18÷1.8＝
5.8÷10＝
1.58×99+1.58
6.4×4.5+3.6×4.5
（6.9+6.9+6.9+6.9）×0.25
47.3×10.1﹣4.73
32×2.5×12.5
82.6÷4÷0.25
鸡有几只
兔有几只
腿有多少条
1
8
34
2
7
32
3
6
30
4
5
28
题号
3
4
5
10
17
答案
B
D
B
C
A
65公顷＝ 12000 平方米
34小时＝ 45 分
35ml＝ 0.035 L
65公顷＝12000平方米
34小时＝45分
35ml＝0.035L
20.9﹣19＝
1.4÷10×100＝
2.5×7÷0.7＝
10÷0.1＝
7.4÷0.4÷5＝
0÷5.7×0.1＝
18÷1.8＝
5.8÷10＝
20.9﹣19＝1.9
1.4÷10×100＝14
2.5×7÷0.7＝25
10÷0.1＝100
7.4÷0.4÷5＝3.7
0÷5.7×0.1＝0
18÷1.8＝10
5.8÷10＝0.58
1.58×99+1.58
6.4×4.5+3.6×4.5
（6.9+6.9+6.9+6.9）×0.25
47.3×10.1﹣4.73
32×2.5×12.5
82.6÷4÷0.25
鸡有几只
兔有几只
腿有多少条
1
8
34
2
7
32
3
6
30
4
5
28
鸡有几只
兔有几只
腿有多少条
1
8
34
2
7
32
3
6
30
4
5
28
5
4
26
2.4×0.01＝
7.8÷100＝
1.08×4＝
1÷4＝