2025-2026学年上学期上海小学数学四年级期末典型卷2

这是一份2025-2026学年上学期上海小学数学四年级期末典型卷2，共44页。试卷主要包含了直接写出得数，计算下面各题，能简算的要简算，看图列综合算式并计算，下面哪种水果可能重10克等内容，欢迎下载使用。
1．直接写出得数。
二．计算题（共1小题）
2．计算下面各题，能简算的要简算。
三．解答题（共2小题）
3．从3600除以15的商里减去12与18的积，差是多少？
4．看图列综合算式并计算。
四．选择题（共7小题）
5．9.9×0.235＝10×0.235﹣0.1×0.235，运用了（ ）
A．乘法交换律B．乘法结合律
C．乘法分配律D．乘法交换律和结合律
6．下面哪种水果可能重10克（ ）
A．一个葡萄B．一个苹果C．一根香蕉
7．丫丫4分钟做了120个仰卧起坐，乐乐3分钟做了117个仰卧起坐，他俩相比，（ ）
A．丫丫快B．乐乐快C．无法比较
8．一条路，长3千米，宽10米，这条路占地面积是（ ）
A．30平方千米B．3公顷
C．30公顷
9．把一升水倒入容积为300毫升的水杯中，需要（ ）个水杯才能盛得下这些水。
A．3B．4C．5D．6
10．小明作一幅绕线画，他先用一根毛线围成一个等腰三角形，其中两条边分别长18分米、13分米。这根毛线长（ ）分米。
A．712B．1924C．712或1924D．无法确定
11．如图，一辆汽车由南向北行驶，在十字路口向右转弯后，行驶方向变为（ ）
A．由西向东B．由东向西C．由北向南D．由南向北
五．填空题（共8小题）
12．在横线里填上“＞”“＜”或“＝”。
13．人的脑细胞大约有一百五十亿个，横线上的数写作 ，改写成用“万”作单位的数是 万。
14．如图中，钟面上时针和分针所形成的较小角是 角，半小时后时针和分针所形成的较小角是 角。
15．如图，原来容器里有 毫升水。
16．观察如图形的规律，第10个图形有 个〇。
17．小明去看奶奶，路上用了35分钟，9：20到达。小明的出发时间是 。
18．减法的性质用字母表示为：a﹣b﹣c＝ ；乘法分配律用字母表示为：（a+b）×c＝ 。
19．相同的分数表示的长度或数量为什么不一样呢？
（1）
（2）
这是因为 。
六．解答题（共1小题）
20．把8块月饼平均分给5个人。
（1）先分5块月饼，每人分到 块；再分剩下的 块月饼，每人分到( )( )块，合起来每人分到 块。其中带分数读作 。
（2）把一块月饼平均分成 份，每人分到( )( )块，8个( )( )块是( )( )块。
七．解答题（共5小题）
21．看图列综合算式，并计算。
22．一所希望小学收到一批捐赠的篮球，如果每班分4个，正好可以分给24个班。如果每班分6个，可以分给几个班？
23．“六一”儿童节快到了，学校准备举行文艺演出，李老师带1200元去买8套演出服（如图），她带的钱够吗？
24．如图是一列从广州南到佛山西的列车行程信息。某公司有15人购买从广州南到佛山西的商务座票，600元够吗？
25．4名教师带领53名学生去划船，票价如下表。
怎样租船最省钱？至少需要多少钱？
2025-2026学年上学期上海小学数学四年级期末典型卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
一．计算题（共1小题）
1．直接写出得数。
【考点】两位数乘两位数；两位数除多位数；0的乘除运算；运算定律与简便运算；小数的加法和减法；小数乘法；千以内加减法．
【专题】运算能力．
【答案】①900；②8；③1000；④10；⑤5.41；⑥215；⑦0；⑧99000。
【分析】根据两位数乘两位数、两位数除多位数、千以内加减法以及小数加减法的计算法则进行计算即可。
【解答】解：
【点评】本题考查两位数乘两位数、两位数除多位数、千以内加减法以及小数加减法的计算。注意计算的准确性。
二．计算题（共1小题）
2．计算下面各题，能简算的要简算。
【考点】运算定律与简便运算；带括号的四则混合运算．
【专题】运算能力．
【答案】119；9898；200；580；1375；2500。
【分析】第一道先算小括号里的除法，再算中括号里的减法，最后算括号外的乘法；第二道根据乘法分配律简算；第三道根据加法交换了和结合律及减法的性质简算；第四道根据乘法分配律简算；第五道先算乘法，再算加法；第六道先算小括号里的加法，再算中括号里的减法，最后算括号外的乘法。
【解答】解：17×[（520÷26）﹣13]
＝17×[20﹣13]
＝17×7
＝119
98×101
＝98×（100+1）
＝98×100+98×1
＝9800+98
＝9898
355﹣260+245﹣140
＝（355+245）﹣（260+140）
＝600﹣400
＝200
58×58﹣58×48
＝58×（58﹣48）
＝58×10
＝580
25+75×18
＝25+1350
＝1375
125×[265﹣（176+65）]
＝125×[265﹣241]
＝125×20
＝2500
【点评】这个题目考查四则混合运算，首先观察题目的特点能否使用运算律简化计算，不能使用的应当先算乘除，再算加减，有小括号的先算括号里面的；在只有同级运算，即在一个题目中只有加法减法或者只有乘法除法的时候，按照从左到右的顺序计算。
三．解答题（共2小题）
3．从3600除以15的商里减去12与18的积，差是多少？
【考点】带括号的四则混合运算．
【专题】运算能力．
【答案】24。
【分析】先算除法，再算乘法，最后算减法，据此列式解答。
【解答】解：3600÷15﹣12×18
＝240﹣216
＝24
答：差是24。
【点评】这类型的题目要分清楚数量之间的关系，先求什么再求什么，找清列式的顺序，列出算式求解。
4．看图列综合算式并计算。
【考点】带括号的表外除加、除减．
【专题】运算能力．
【答案】3元。
【分析】根据图意，一个西瓜和4个桃子一共需要35元，一个西瓜23元，先用35减去23求出4个桃子的钱数，然后再除以4即可求出一个桃子多少钱。
【解答】解：（35﹣23）÷4
＝12÷4
＝3（元）
答：每个桃子3元。
【点评】本题主要考查了整数除法的意义和实际应用，先求出4个桃子的钱数是关键。
四．选择题（共7小题）
5．9.9×0.235＝10×0.235﹣0.1×0.235，运用了（ ）
A．乘法交换律B．乘法结合律
C．乘法分配律D．乘法交换律和结合律
【考点】运算定律与简便运算．
【专题】运算能力．
【答案】C
【分析】乘法分配律的意义：两个数相加再乘另一个数，等于把这个数分别同两个加数相乘，再把两个积相加，得数不变解答，由此把9.9看成10﹣0.1，然后再按照乘法分配律计算。
【解答】解：9.9×0.235
＝（10﹣0.1）×0.235
＝10×0.235﹣0.1×0.235，运用了乘法分配律。
故选：C。
【点评】本题主要考查了学生对乘法分配律的熟练掌握情况，牢记定律的内容是解答本题的关键。
6．下面哪种水果可能重10克（ ）
A．一个葡萄B．一个苹果C．一根香蕉
【考点】质量及质量的常用单位．
【专题】应用意识．
【答案】A
【分析】根据生活经验、对质量单位和数据大小的认识可知：计量比较轻的物体，常用克作单位，2个曲别针约重1克，由此选择即可。
【解答】解：一个葡萄的质量大约为10克，一个苹果的质量大约为100克，一根香蕉的质量大约为150克。
故选：A。
【点评】此类题目要联系生活实际，不能和实际相违背。
7．丫丫4分钟做了120个仰卧起坐，乐乐3分钟做了117个仰卧起坐，他俩相比，（ ）
A．丫丫快B．乐乐快C．无法比较
【考点】一位数除多位数．
【专题】运算能力．
【答案】B
【分析】用做的仰卧起坐的总个数除以做的时间分别算出丫丫和乐乐平均每分钟做的个数，再比较大小。
【解答】解：120÷4＝30（个）
117÷3＝39（个）
39＞30，乐乐快。
故选：B。
【点评】熟练掌握三位数除以一位数的计算是解题关键。
8．一条路，长3千米，宽10米，这条路占地面积是（ ）
A．30平方千米B．3公顷
C．30公顷
【考点】长方形、正方形的面积；大面积单位间的进率及单位换算．
【专题】平面图形的认识与计算；应用意识．
【答案】B
【分析】根据长方形面积＝长×宽，即可解答。
【解答】解：10米＝0.01千米
3×0.01＝0.03（平方千米）
0.03平方千米＝3公顷
答：这条路占地面积是3公顷。
故选：B。
【点评】本题考查的是长方形面积的计算，熟记公式是解答关键。
9．把一升水倒入容积为300毫升的水杯中，需要（ ）个水杯才能盛得下这些水。
A．3B．4C．5D．6
【考点】体积、容积进率及单位换算；有余数的除法应用题．
【专题】应用意识．
【答案】B
【分析】把一升化成1000毫升，就是求1000毫升里面包含多少个300毫升，用1000毫升除以300毫升，用“进一法”即近似值。
【解答】解：一升＝1000毫升
1000÷300＝3（杯）……100（毫升）
3+1＝4（杯）
答：需要4个水杯才能盛得下这些水。
故选：B。
【点评】此题考查了体积（容积）的单位换算、整数除法的应用、根据具体情况取近似值。
10．小明作一幅绕线画，他先用一根毛线围成一个等腰三角形，其中两条边分别长18分米、13分米。这根毛线长（ ）分米。
A．712B．1924C．712或1924D．无法确定
【考点】等腰三角形与等边三角形；三角形边的关系．
【专题】应用意识．
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的特征，有两条边长相等，所以第三条边长可以18分米或者13分米。再根据三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边，判断两种情况是否都符合条件。
【解答】解：18+18=14＜13两边之和小于第三边，所以第三条边只能是13分米。
18+13+13=1924（分米）
答：这根毛线长1924分米。
故选：B。
【点评】本题主要考查等腰三角形的特点、三角形的三边关系以及分数的加法计算。
11．如图，一辆汽车由南向北行驶，在十字路口向右转弯后，行驶方向变为（ ）
A．由西向东B．由东向西C．由北向南D．由南向北
【考点】八个方向的认识．
【专题】空间观念．
【答案】A
【分析】依据图上标注的各种信息，以及地图上的方向辨别方法“上北下南，左西右东”就可以直接填写答案。
【解答】解：如图，一辆汽车由南向北行驶，在十字路口向右转弯后，行驶方向变为由西向东。
故选：A。
【点评】此题主要考查了方向的认识，关键是弄清楚地图上的方向规定，结合题意分析解答即可。
五．填空题（共8小题）
12．在横线里填上“＞”“＜”或“＝”。
【考点】分数大小的比较．
【专题】数感．
【答案】＝；＞；＜。
【分析】（1）38化成小时是0.375，据此比较；
（2）（3）先通分后比较。
【解答】解：
故答案为：＝；＞；＜。
【点评】分数与小数比较大小，一般先统一形式后比较；分数之间比较大小，根据分数特点灵活选用合适的比较方法。
13．人的脑细胞大约有一百五十亿个，横线上的数写作 15000000000 ，改写成用“万”作单位的数是 1500000 万。
【考点】亿以上数的读写；亿以上数的改写与近似．
【专题】数感．
【答案】15000000000，1500000。
【分析】根据整数的写法，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个计数单位也没有，就在那个数位上写0，即可写出此数；改写成用“万”作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字。
【解答】解：一百五十亿写作：15000000000，15000000000＝1500000万。
故答案为：15000000000，1500000。
【点评】本题主要考查整数的写法和改写，分级写或借助数位表写数能较好地避免写错数的情况，改写时要注意带计数单位。
14．如图中，钟面上时针和分针所形成的较小角是 钝 角，半小时后时针和分针所形成的较小角是 锐 角。
【考点】钟面上的角．
【专题】质量、时间、人民币单位；应用意识．
【答案】钝，锐。
【分析】根据钟面上，短针是时针，时针走1大格是1小时，长针是分针，分针走1小格是1分钟，钟面上时间是3：45，根据周角是360°，钟面上一共有12个大格，每个大格的度数是360°÷12＝30°，较小角是30°×5+30°×4560°＝150.75°+，再根据小于90°的角是锐角，大于90°小于180°的角是钝角，再用3时45分钟+30分钟＝4时15分钟，最小角是30°+1560°＝30.25°，据此解答。
【解答】解：360°÷12＝30°
30°×5+30°×4560°＝150.75°
90°＜150.75°＜180°
所以150.75°是钝角。
再用3时45分钟+30分钟＝4时15分钟
30°+1560°＝30.25°
30.25°＜90°是锐角。
答：钟面上时针和分针所形成的较小角是钝角，半小时后时针和分针所形成的较小角是锐角。
故答案为：钝，锐。
【点评】本题考查的是钟面上的角，掌握钟面上，短针是时针，时针走1大格是1小时，长针是分针，分针走1小格是1分钟周角是360°，钟面上一共有12个大格是解答关键。
15．如图，原来容器里有 1000 毫升水。
【考点】体积、容积及其单位．
【专题】简单应用题和一般复合应用题；应用意识．
【答案】1000。
【分析】10cm的容器中倒出了800mL，还剩2cm的容量。由此可知，倒出了容器中8cm的容量。8cm的容量是800mL，由此求出1cm的容器容量是多少，即可解答。
【解答】解：800÷（10﹣2）
＝800÷8
＝100（毫升）
100×10＝1000（毫升）
答：原来容器里有 1000毫升水。
故答案为：1000。
【点评】解答的关键是理解倒出的800毫升是容器中多少厘米的容量。
16．观察如图形的规律，第10个图形有 22 个〇。
【考点】数与形结合的规律．
【专题】推理能力；模型思想．
【答案】22。
【分析】第一个图形有（2×1+2）个〇；第二个图形有（2×2+2）个〇；第三个图形有（2×3+2）个〇；……据此计算第10个图形中〇的个数即可。
【解答】解：2×10+2
＝20+2
＝22（个）
答：第10个图形有22个〇。
故答案为：22。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
17．小明去看奶奶，路上用了35分钟，9：20到达。小明的出发时间是 8：45 。
【考点】日期和时间的推算．
【专题】运算能力．
【答案】8：45。
【分析】根据题意，要求小明的出发时间，用到达时刻9时20分，减去路上用的时间35分钟即可。
【解答】解：9时20分﹣35分＝8时45分，即小明的出发时间是8：45。
故答案为：8：45。
【点评】此题考查了时间的推算，根据开始时刻＝结束时刻﹣经过时间进行解答。
18．减法的性质用字母表示为：a﹣b﹣c＝a﹣（b+c） ；乘法分配律用字母表示为：（a+b）×c＝ac+bc 。
【考点】用字母表示数；运算定律与简便运算．
【专题】代数初步知识．
【答案】a﹣（b+c）；ac+bc。
【分析】根据减法的性质，减去两个数，就等于减去这两个数的和；根据乘法分配律：（a+b）×c＝ac+bc，解答此题即可。
【解答】解：减法的性质用字母表示为：a﹣b﹣c＝a﹣（b+c）；乘法分配律用字母表示为：（a+b）×c＝ac+bc。
故答案为：a﹣（b+c）；ac+bc。
【点评】熟练掌握减法的性质和乘法分配律，是解答此题的关键。
19．相同的分数表示的长度或数量为什么不一样呢？
（1）
（2）
这是因为 因为看作单位“1”的数量不同 。
【考点】分数的意义和读写；分数大小的比较．
【专题】运算能力．
【答案】因为看作单位“1”的数量不同。
【分析】（1）把4厘米看作单位“1”，4厘米的12是4×12=2（厘米）；把7厘米看作单位“1”，7厘米的是7×12=3.5厘米。
（2）把9支铅笔的数量看作单位“1”，9支铅笔的13是9×13=3（支）；把15支铅笔的数量看作单位“1”，15支铅笔的13是15×13=5（支）。
【解答】解：（1）4×12=2（厘米）
7×12=3.5（厘米）
（2）9×13=3（支）
15×13=5（支）
相同的分数表示的物体不一样，因为看作单位“1”的数量不同。
故答案为：因为看作单位“1”的数量不同。
【点评】本题考查了相同的分率，单位“1”不同，表示的物体一定也不一样。
六．解答题（共1小题）
20．把8块月饼平均分给5个人。
（1）先分5块月饼，每人分到 1 块；再分剩下的 3 块月饼，每人分到( )( )块，合起来每人分到 135 块。其中带分数读作 一又五分之三 。
（2）把一块月饼平均分成 15 份，每人分到( )( )块，8个( )( )块是( )( )块。
【考点】分数的意义和读写．
【专题】数感；应用意识．
【答案】1，3，35，135，一又五分之三；15，15，15，85。
【分析】（1）8块月饼分成5块、3块两部分。先分5块月饼，每人分到1块；再分剩下的3块月饼，每人分到35块，合起来每人分到135块。读带分数时，先读整数部分，再读分数部分，中间加一个“又”字（分数部分先计算分母，再读“分之”，最后读分子）。
（2）把每块月饼都平均分成5块，每分到15块，8个15就是85块。
【解答】解：（1）先分5块月饼，每人分到1块；再分剩下的3块月饼，每人分到35块，合起来每人分到135块。其中带分数读作一又五分之三。
（2）把一块月饼平均分成15份，每人分到15块，8个15块是85块。
故答案为：1，3，35，135，一又五分之三；15，15，15，85。
【点评】此题是考查分数的意义及读法。把单位“1”平均分成若干份，用分数表示，分母是平均分成的份数，分子是要表示的份数。
七．解答题（共5小题）
21．看图列综合算式，并计算。
【考点】表外乘除混合．
【专题】应用意识．
【答案】48元；9袋。
【分析】左图：先用3乘3，求出3个蝴蝶结的总钱数，再加上一个小熊玩具的钱数即可；
右图：先用80个减去卖出的55个，求出剩下的个数；然后除以5，即可求出剩下的可以装的袋数。
【解答】解：3×3+39
＝9+39
＝48（元）
答：一共48元。
（80﹣35）÷5
＝45÷5
＝9（袋）
答：可以装9袋。
【点评】本题考查了利用整数乘加、除减混合运算解决问题，准确识图是关键。
22．一所希望小学收到一批捐赠的篮球，如果每班分4个，正好可以分给24个班。如果每班分6个，可以分给几个班？
【考点】简单的归总应用题．
【专题】运算能力；应用意识．
【答案】16个。
【分析】根据如果每班4个，正好可以分给24个班，用4乘24求出这批捐赠的篮球的总个数，再除以6即可。
【解答】解：4×24÷6
＝96÷6
＝16（个）
答：可以分给16个班。
【点评】本题主要考查了根据整数乘除法意义解决实际问题的能力。
23．“六一”儿童节快到了，学校准备举行文艺演出，李老师带1200元去买8套演出服（如图），她带的钱够吗？
【考点】带括号的表外乘加、乘减．
【专题】应用意识．
【答案】够。
【分析】先用加法求出一套演出服的价钱，再乘8求出8套演出服的价钱，最后与1200比较大小即可解答。
【解答】解：（96+47）×8
＝143×8
＝1144（元）
1200＞1144
答：她带的钱够。
【点评】本题考查了两部计算方法的应用。关键是根据乘法的意义，先求出一套演出服的价钱。
24．如图是一列从广州南到佛山西的列车行程信息。某公司有15人购买从广州南到佛山西的商务座票，600元够吗？
【考点】两位数乘两位数．
【专题】运算能力．
【答案】不够。
【分析】由图可知，从广州南到佛山西的商务座票每人需要41元，某公司一共有15人购买商务座票。可以先用41乘15算出一共需要多少钱，然后再与600元比较大小即可。
【解答】解：41×15＝615（元）
615＞600
答：某公司有15人购买从广州南到佛山西的商务座票，600元不够。
【点评】本题考查了运用整数乘法的意义解决实际问题的能力。
25．4名教师带领53名学生去划船，票价如下表。
怎样租船最省钱？至少需要多少钱？
【考点】最优化问题．
【专题】应用意识．
【答案】租6人船9条，4人船1条最省钱；至少需要78元。
【分析】比较可知，租6人一船，最便宜，用总人数除以6求出6人一船的条数和剩下的人数；根据剩下的人数确定所租几人一船，用6人船的条数乘以票价加上剩下人数所租的船的票价可求出至少需要的钱数。
【解答】解：根据题意，
（53+4）÷6
＝57÷6
＝9（条）……3（人）
9×8+6
＝72+6
＝78（元）
答：租6人船9条，4人船1条最省钱；至少需要78元。
【点评】本题主要考查最优化问题，解答此类题的关键是应根据题意进行解答，进行比较，得出最佳方案。
考点卡片
1．亿以上数的读写
【知识点归纳】
1、亿以上数的读法：
①先分级，从高位开始读起。先读亿级，再读万级，最后读个级。
②亿级的数要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“亿”字。万级的数要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“万”字。
③每级末尾不管有几个0，都不读。其他数位有一个“0”或连续几个“0”，都只读一个“0”。
2、亿以上数的写法：
①从最高位写起，先写亿级，再写万级，最后写个级。
②哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。
【常考题型】
1、填空题。
亿以上数的读法，先从（ ）级读起，再读（ ）级，最后读（ ）级上的数。每级末尾的0都（ ），其它数位有一个或连续几个0都只读（ ）个0。
答案：亿 万 个 不读 一
2、读出下列各数。
2375550000000 12005000050
50600000000 3020056000
答案：二万三千七百五十五亿五千万；一百二十亿零五百万零五十；五百零六亿；三十亿二千零五万六千
3、从个位起，第八位是什么位？第几位是亿位？
答案：千万；九
2．亿以上数的改写与近似
【知识点归纳】
一、数的改写
1、亿以上数的改写方法：把整万的数改写成用“万”作单位的数时，先分级，再去掉个级的4个“0”，然后在后面加上一个“万”字。
2、亿以上数的改写方法：
找到亿位，去掉亿位后面的8个0，换成“亿”字，用“＝”连接。
二、求近似数
1、求亿以上数的近似数的方法：
省略亿位后面的尾数时，要先分级，再看千万位上的数，如果千万位上的数满5，就向前一位进1，然后再舍去尾数，加上一个“亿”字；如果千万位上的数不满5，就直接舍去尾数，再加上一个“亿”字。
【方法总结】
1、注意：改写前后数的大小不变，中间要用“＝”连接。
2、提示：无论是省略万位后面的尾数还是省略亿位后面的尾数，都可以用“四舍五入”法求近似数，要根据尾数部分的最高位上的数来决定是“四舍”还是“五入”，并且“五入”时不要忘记向前一位进1，而且有时还会遇到连续进位的情况。
【常考题型】
1、改写。（4个0换一个“万”字，将整万的数改写成以“万”作单位的数；8个0换一个“亿”字，将整亿的数改写成以“亿”作单位的数。）
3000000＝（ ）万
8230000＝（ ）万
1200000000＝（ ）亿
50700000000＝（ ）亿
答案：300；823；12；507
3．分数的意义和读写
【知识点归纳】
分数的意义：把一个物体或一个计量单位平均分成若干份，这样的一份或几份可用分数表示．
在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线上面的数叫做分子，表示有这样的多少份．
分数的分类：
（1）真分数：分子比分母小的分数，叫做真分数．真分数的分数值小于1．
（2）假分数：和真分数相对，分子大于或者等于分母的分数叫假分数，假分数大于1或等于1．
带分数：分子不是分母的倍数关系．形式为：整数+真分数．
【命题方向】
两根3米长的绳子，第一根用34米，第二根用34，两根绳子剩余的部分相比（ ）
A、第一根长 B、第二根长 C、两根同样长
分析：分别求得两根绳子剩余的长度，即可作出判断．
解：第一根剪去34米，剩下的长度是：3-34=214（米）；
第二根剪去34，剩下的长度是3×（1-34）=34（米）．
所以第一根剩下的部分长．
故选：A．
点评：此题重在区分分数在具体的题目中的区别：有些表示是某些量的几分之几，有些表示具体的数，做到正确区分，选择合适的解题方法．在具体的题目中，带单位是一个具体的数，不带单位是把某一个数量看单位“1”，是它的几分之几．
4．分数大小的比较
【知识点归纳】
分数比较大小的方法：
（1）真、假分数或整数部分相同的带分数；分母相同，分子大则分数大；分子相同，则分母小的分数大；分子和分母都不相同，通分后化成同分母或者同分子的分数再进行比较大小．
（2）整数部分不同的带分数，整数部分大的带分数就比较大．
【命题方向】
常考题型：
例1：小于34而大于14的分数只有24一个分数． × （）
分析：依据分数的基本性质，将两个分数的分子和分母同时扩大若干倍，介于它们中间的真分数就会有无数个，据此即可进行判断．
解：分别将34和14的分子和分母扩大若干个相同的倍数，在14和34间会出现无数个真分数，所以，大于14而小于34的真分数只有一个是错误的．
故答案为：×．
点评：解答此题的关键是依据分数的基本性质将两个的分子和分母扩大若干倍，即可找到无数个介于它们中间的真分数，从而能推翻题干的说法．
5．千以内加减法
【知识点归纳】
1、（1）计算时先把相同数位对齐，从个位加起，哪一位上的数相加满十，要向前一位进一。
（2）加法验算方法：把两个加数的位置调换后再加一遍，两次得到的结果相等就说明计算结果正确，不相等，则说明计算结果不正确，需要重新计算。
2、千以内减法笔算方法：
（1）先把相同数位对齐，从个位减起，哪一位上的数不够减，要从前一位退1，在本位上加10再减；
（2）当个位不够减需要退位时，如果十位上是0，无1可退，就要从百位上退1当成10个十先传递到十位，再从十位退1到个位，当成10个一再计算。
【方法总结】
1、相同数位要对齐，从个位加起，如果有进位，不要忘记加进位数。
2、在计算加减混合运算时，遇到能简便计算的，可以简便计算。
【常考题型】
口算题。
答案：437；202；650
2、书城进货了928本图书，第一周卖出去了123本，第二周进货了181本，现在书城有多少本图书？
答案：928﹣123+181＝986（本）
6．两位数乘两位数
【知识点归纳】
1、两位数乘两位数的笔算方法：
（1）先用第二个乘数个位上的数去乘第一个乘数，得数的末位和乘数个位对齐；
（2）再用第二个乘数十位上的数去乘第一个乘数，得数的末位和乘数的十位对齐；
（3）然后把两次乘得的积加起来。
【方法总结】
两位数乘两位数在笔算：
1、首先要相同数位对齐，
2、用下面因数的个位数和十位数依次去乘上面因数的个位数和十位数，将所得的积相加。
注意：
验算：交换两个因数的位置。
【常考题型】
1、笔算题。
32×13 27×56 43×58
答案：416；1512；2494
2、84×23的积是（ ）位数，最高位是（ ）位。
答案：四；千
3、32×30的积是32×（ ）的积的10倍。
答案：3
4、两位数乘两位数，积可能是（ ）位数，也可能是（ ）位数。
答案：三；四
7．一位数除多位数
【知识点归纳】
一位数除多位数
（1）相同数位对齐，从最高位除起，除到哪一位就把商写在那一位的上面。如果被除数最高位比除数小就要看被除数的前两位，除到哪一位就把商写在那一位的上面。每次除得的余数必须比除数小。
（2）0除以任何不是0的数都得零。
（3）除到哪一位不够除就添0占位。
（4）看清运算顺序，算式里只有乘除法，按从左到右的顺序进行计算，要是有括号要先算括号里的。
【方法总结】
笔算除法顺序：确定商的位数，试商，检查，验算。
（1）一位数除两位数（商是两位数）的笔算方法：先用一位数除十位上的数，如果有余数，要把余数和个位上的数合起来，再用除数去除。除到被除数的哪一位，就把商写在那一位上面。
（2）一位数除三位数的笔算方法：先从被除数的最高位除起，如果最高位不够商1，就看前两位，而除到被除数的哪一位，就要把商写在那一位上，假如不够商1，就在这一位商0；每次除得的余数都要比除数小，再把被除数上的数落下来和余数合起来，再继续除。
（3）除法的验算方法：
没有余数的除法的验算方法：商×除数：被除数；
有余数的除法的验算方法：商×除数+余数＝被除数。
【常考题型】
1、用竖式计算。
答案：284；94；37；87……1
2、要使□36÷5的商是三位数，□内可以填的数是（ ）；要使□36÷5的商是两位数，□内可以填的数是（ ）。
答案：5、6、7、8、9；1、2、3、4。
8．两位数除多位数
【知识点归纳】
1、除数是两位数的除法的笔算法则：
（1）从被除数的高位数起，先看被除数的前两位；
（2）如果前两位比除数小，就要看前三位；除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面；
（3）余下的数必须比除数小。
2、除数是两位数的除法，一般把除数用“四舍五入法”看作和它接近的整十数来试商；试商大了要调小，试商小了要调大。（四舍商大舍去1，五入商小加上1）
3、同头无除商八九（例：239÷26），除数折半商四五（例：330÷68）。
4、在有余数的除法算式中，被除数＝商х除数+余数
5、三位数除以两位数，被除数的前两位数比除数小，商是一位数；被除数的前两位数比除数大，商是两位数。
【方法总结】
1、根据被除数和除数之间的关系——想乘法算除法
如80÷20＝（ ）就可以想（ ）个20是80，2×30＝60。所以80÷20＝40
2、把“几十”看作几个“十”——转化成表内除法计算
80是8个十，20是2个十
80÷20＝8个十÷2个十
因为8÷2＝4，所以80÷20＝4
3、估算——算式中不是整十的数用“四舍五入”法估算成整十数
如131÷31≈（ ）将131看成120，将31看成30，120÷30＝4。131÷31≈4
估算的结果不是准确值，要用“≈”连接。
【常考题型】
1、下面的算式中，（ ）的商不是一位数。
A.721÷72 B.439÷44 C.325÷33 D.272÷30
答案：A
2、被除数除以10，除数（ ），商才能不变。
A.乘10 B.除以10 C.不变 D.乘100
答案：B
3、口36÷73，如果商是两位数，口里最小填（ ）。
A.6 B.7 C.8 D.9
答案：B
9．0的乘除运算
0的乘除运算
1.0和任何数相乘等于0。
2.0不能做除数。
3.0除以任何一个数（0除外），都得0。
10．表外乘除混合
【知识点归纳】
1、混合运算，先乘除，后加减，有括号的要先算括号里面的，再算括号外面的。只有加、减法或只有乘、除法，都要从左到右按顺序计算。
2、加减乘除混合运算规则：
（1）同级运算时，从左到右依次计算。
（2）两级运算时，先乘除后加减。
（3）有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。
【方法总结】
解决两步计算的实际问题
1、想好先解决什么问题，再解决什么问题。
2、可以画图帮助分析。
3、可以分布计算，也可以列综合算式。
【常考题型】
口算题。
答案：45；27；21；48
李大爷有高血压需长期吃药，医生嘱咐他每天吃6片。李大爷有事要外出8天，药瓶已有24片药，应再放多少片药就够了？
答案：6×8﹣24＝24（片）
体育老师买了4桶羽毛球共花了240元，每桶12个，求每个羽毛球平均多少钱？
答案：240÷4÷12＝5（元）
11．带括号的表外乘加、乘减
【知识点归纳】
加减乘除混合运算规则：
1、同级运算时，从左到右依次计算。
2、两级运算时，先乘除后加减。
3、有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。
【方法总结】
在乘加乘减的学习过程中，乘加的解题思路，其实就是把问题分成“同数连加”加一个“其他数”，也就是比几个几多几。
而乘减是需要运用“假设法”来理解，假设把那个“其他数”看成和“同数连加”是一样的加数，然后再去掉缺少的部分，其实就是比几个几少几。
【常考题型】
小明邀请3个好朋友来家做客，3个好朋友每人吃4块糖，小明自己吃2块，他准备15块糖够吗？
答案：3×4+2＝14（块）
14＜15
答：他准备15块糖够。
12．带括号的表外除加、除减
【知识点归纳】
加减乘除混合运算规则：
1、同级运算时，从左到右依次计算。
2、两级运算时，先乘除后加减。
3、有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。
【方法总结】
1、四则混算的计算法则：先算乘除法，后算加减法，有括号的要先算括号里面的，再算括号外面的。
2、在只有加减，或只有乘除的同级混算中，如果没有括号，就按照从左到右的顺序依次运算。
3、应用题的综合列式要注意：四则混算中如果想先算加减法，就应把加减法用小括号括起来。
【常考题型】
黑天鹅有45只，白天鹅比黑天鹅少36只。黑天鹅的只数是白天鹅的几倍？
答案：45÷（45﹣36）＝5
旅游团有70人，一辆大巴车可以最多坐46人，一辆客车最多可以坐6人，现在坐满了一辆大巴车，还需要几辆客车？
答案：（70﹣46）÷6＝4（辆）
13．带括号的四则混合运算
【知识点归纳】
加减乘除混合运算规则：
1、同级运算时，从左到右依次计算。
2、两级运算时，先乘除后加减。
3、有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。
【方法总结】
1.含有小括号的混合运算的运算顺序：
要先算小括号里面的，再算小括号外面的；小括号里面的，要先算乘、除法，再算加、减法。
2.含有中括号的三步混合运算的运算顺序：
在一个算式里，既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。
【常考题型】
填一填。
计算（230+48）÷（200﹣61）时，应先算（ ）法和（ ）法，最后算（ ）法。
答案：加；减；除
计算888÷[200﹣（40+50）]时，应先算（ ）法，再算（ ）法，最后算（ ）法。
答案：加；减；除
先说一说下面各题的运算顺序，再计算。
360÷（70﹣4×16）158﹣[（27+54）÷9]
答案：乘法﹣减法﹣除法，60；
加法﹣除法﹣减法，149
14．运算定律与简便运算
【知识点归纳】
1、加法运算：
①加法交换律：两个加数交换位置，和不变．如a+b＝b+a
②加法结合律：先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．如：a+b+c＝a+（b+c）
2、乘法运算：
①乘法交换律：两个因数交换位置，积不变．如a×b＝b×a．
②乘法结合律：先乘前两个数，或先乘后两个数，积不变．如a×b×c＝a×（b×c）
③乘法分配律：两个数的和，乘以一个数，可以拆开来算，积不变．如a×（b+c）＝ab+ac
④乘法分配律的逆运算：一个数乘另一个数的积加它本身乘另一个数的积，可以把另外两个数加起来再乘这个数．如ac+bc
＝（a+b）×c
3、除法运算：
①除法性质：一个数连续除以两个数，可以先把后两个数相乘，再相除．如a÷b÷c＝a÷（b×c）
②商不变规律：被除数和除数同时乘上或除以相同的数（0除外）它们的商不变．如a÷b＝（an）÷（bn）＝（a÷n）÷（b÷n） （n≠0 b≠0）
4、减法运算：
减法性质：一个数连续减去两个数，可以用这个数减去两个数的和．如a﹣b﹣c＝a﹣（b+c）
【命题方向】
常考题型：
例1：0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法的（ ）
A、交换律 B、结合律 C、分配律
分析：乘法分配律的概念为：两个数的和乘另一个数，等于把这个数分别同两个加数相乘，再把两个积相加，得数不变，用字母表示：（a+b） c＝ac+ac．据此可知，0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法分配律．
解：根据乘法分配律的概念可知，
0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法分配律．
故选：C．
点评：本题利用具体的算式考查了学生对于乘法分配律的理解．
例2：125×25×32＝（125×8）×（25×4），这里运用了（ ）
A、乘法交换律 B、乘法结合律 C、乘法交换律和乘法结合律
分析：在125×25×32＝（125×8）×（25×4）中，是把32看作8×4，然后用乘法交换律变成125×8×25×4，再运用乘法结合律计算，即（125×8）×（25×4）．
解：125×25×32＝（125×8）×（25×4），运用了乘法交换律和乘法结合律．
故选：C．
点评：此题重点考查了学生对乘法交换律和结合律的掌握与运用情况．
15．小数的加法和减法
【知识点归纳】
小数加法的意义与整数加法的意义一样，是把两个数合并成一个数的运算．
小数减法的意义与整数减法的意义一样，是已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算．
小数加法的法则：小数加法的法则与整数加法的法则一样，也是相同的数位对齐．由于小数中有小数点，因此，只要小数点对齐，相同的位数就必然对齐了．
步骤：①把各个加数的小数点上下对齐；②按照整数加法的法则进行计算，从右边最末一位加起，满十进一；③和（计算结果）的小数点要与加数的小数点上下对齐．
小数减法的法则：小数点对齐，相同位数对齐．
步骤：①把被减数和减数的小数点上下对齐；②按照整数减法的法则进行计算，从右边最末一位减起，不够减时，借一当十；③差的小数点要与被减数、减数的小数点上下对齐．
【命题方向】
常考题型：
例1：计算小数加减时，要（ ）对齐．
A、首位 B、末尾 C、小数点
分析：根据小数加、减法的计算法则：（1）计算小数加、减法，先把各数的小数点对齐（也就是把相同数位上的数对齐），（2）再按照整数加、减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点点上小数点 （得数的小数部分末尾有0，一般要把0去掉）；据此直接选择．
解：根据小数加减法的计算法则可知：
计算小数加减时，要把小数点对齐．
故选：C．
点评：主要考查小数加减法的计算法则的掌握和应用．
例2：小丽在计算3.68加一个一位小数时，由于错误的把数的末尾对齐结果得到了4.25，正确的得数应是 9.38 ．
分析：根据题意，用4.25减3.68得出的数，化成一位小数，再按照小数的加法进行计算就可以得出正确的结果．
解：根据题意可得：
4.25﹣3.68＝0.57，那么这个一位小数就是：0.57×10＝5.7；
正确的结果是：3.68+5.7＝9.38．
故答案为：9.38．
点评：根据题意，先求出错误的另一个加数，化成一位小数，再进一步解答即可．
16．小数乘法
【知识点归纳】
小数乘法的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的就简便运算；一个数乘纯小数的意义是，求这个数的十分之几、百分之几、千分之几…是多少．
小数乘法法则：先把被乘数和乘数都看做整数，按照整数的乘法法则进行计算，求出整数乘法的积，然后，再看被乘数和乘数一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点．如果小数的末尾出现0时，根据小数的基本性质，要把它去掉．
【命题方向】
常考题型：
例1：40.5×0.56＝（ ）×56．
A、40.5 B、4.05 C、0.405 D、0.0405
分析：两个小数相乘，其中一个的小数点向左移动几位，要使积不变，则另一个小数的小数点要向右移动相同的数位．
解：40.5×0.56＝0.405×56
故选：C．
点评：此题主要考查在小数乘法中小数点位置的变化与积的变化规律．
例2：昙花的寿命最少保持能4小时，小麦开花的时间是昙花寿命的0.02倍，约（ ）左右．
分析：根据题意，小麦开花的时间是昙花寿命的0.02倍，也就是4小时的0.02倍，可以先求出小麦开花的时间，再进行估算即可．
解：根据题意可得：
小麦开花的时间是：4×0.02＝0.08（小时），
0.08小时＝4.8分钟≈5分钟．
故选：B．
点评：本题主要考查小数乘法的估算，根据题意求解后，要根据求近似数的方法进行估算，要注意单位不同时，化成相同的单位．
17．质量及质量的常用单位
【知识点归纳】
质量就是表示物体有多重．
常用质量单位：吨、千克（公斤）、克、斤．
其中千克是国际标准单位，
1吨＝1000千克，1千克＝1000克，1斤＝500克．
【命题方向】
常考题型：
例1：计量重型物品或大宗物件的重量，通常用（ ）作单位．
A、吨 B、千克 C、克
分析：结合实际生活可知，计量大宗物品不会运用克或千克，应用吨来进行表示．
解：计量大宗物品，通常不会运用小的重量单位，克或千克，
应用吨作单位．
因此通常用吨作单位．
故选：A．
点评：本题应结合实际进行解答，了解物品的量的大小．
例2：下面哪种物体大约重1千克（ ）
A、一头猪 B、一支铅笔 C、一只大西瓜 D、2包食盐
分析：根据生活经验，一头猪的重量一般是100千克左右；1支铅笔的重量，再大也不够1千克；一个大西瓜的重量一般比1千克重；两袋盐的重量一般是1千克，据此选择．
解：根据生活经验可知，2包食盐大约重1千克．
故选：D．
点评：此题考查了学生对计量单位的掌握以及根据具体情况选择合适的计量单位．
18．日期和时间的推算
【命题方向】
常考题型：
例1：小明妈妈晚上10时睡觉，第二天早晨6时起床．小明妈妈睡了（ ）小时．
A、4 B、8 C、9 D、10
分析：把这一段时间分成2段：（1）晚10时到晚上0时，求出一共过了几小时；（2）0时到6时，求出一共过了几小时；把这两段时间加起来就是她睡眠的时间．
解：12时﹣10时＝2小时，
2小时+6小时＝8小时，
答：小明妈妈睡了8小时．
故选：B．
点评：这类时间推算的题目先把这一时间进行合理的分段，再算每一段的时间，进而求出时间的总和．
例2：今天是星期四，那么再过40天是（ ）
A、星期一 B、星期二 C、星期三
分析：用40除以7，求出40天里面有几周，还余几天，再根据余数推算．
解：40÷7＝5（周）…5（天）；
余数是5，从星期四再过5天就是星期二．
故选：B．
点评：解决这类问题先求出经过的天数，再求经过的天数里有几周还余几天，再根据余数推算．
19．用字母表示数
【知识点归纳】
字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明地将数量关系表示出来．比如：t可以表示时间．
用字母表示数的意义：有助于概念的本质特征，能使数量的关系变得更加简明，更具有普遍意义．使思维过程简化，易于形成概念系统．
注意：
1．用字母表示数时，数字与字母，字母与字母相乘，中间的乘号可以省略不写；或用“•”（点）表示．
2．字母和数字相乘时，省略乘号，并把数字放到字母前；“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写．
3．出现除式时，用分数表示．
4．结果含加减运算的，单位前加“（ ）”．
5．系数是带分数时，带分数要化成假分数．
例如：乘法分配律：（a+b）×c＝a×c+b×c
乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）
乘法交换律：a×b＝b×a．
【命题方向】
命题方向：
例：甲数为x，乙数是甲数的3倍多6，求乙数的算式是（ ）
A、x÷3+6 B、（x+6）÷3 C、（x﹣6）÷3 D、3x+6
分析：由题意得：乙数＝甲数×3+6，代数计算即可．
解：乙数为：3x+6．
故选：D．
点评：做这类用字母表示数的题目时，解题关键是根据已知条件，把未知的数用字母正确的表示出来，然后根据题意列式计算即可得解．
20．数与形结合的规律
【知识点归纳】
在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形的对称（上下对称和左右对称），另一方面要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题．
【命题方向】
常考题型：
例：用小棒照下面的规律搭正方形，搭一个用4根，搭2个用7根…，搭10个要用 31 根小棒，搭n个要用 3n+1 根小棒．
分析：能够根据图形发现规律：多一个正方形，则多用3根火柴．
解：观察图形发现：第一个图形需要4根火柴，多一个正方形，多用3根火柴，则第n个图形中，需要火柴4+3（n﹣1）＝3n+1．
当n＝10，3n+1＝31，
答：搭10个要用3根小棒，搭n个要用3n+1根小棒．
故答案为：31，3n+1．
点评：本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力．
21．简单的归总应用题
【知识点归纳】
是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（或单位数量的个数），通过求总数量，求得单位数量的个数（或单位数量）．
特点：两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，不过，变化的规律相反，和反比例算法彼此相通．
数量关系式：单位数量×单位个数÷另一个单位数量＝另一个单位数量．
“归一”与“归总”的区别：
“归一”先求出单一量，再求总量；“归总”是先出总量，再求单一量．
【命题方向】
常考题型：
例1：小明打算16天看完一本故事书，平均每天看15页．现在要10天看完，平均每天应看多少页？
分析：先求出这本书共有多少页，再把这些页数平均分到10天．
解：16×15÷10，
＝240÷10，
＝24（页）；
答：平均每天应看24页．
点评：本题先求出不变的总量，再根据总量求解．
22．有余数的除法应用题
【知识点归纳】
（1）一个整数除以另一个自然数，并不是永远可以得到整数的商叫有余数的除法．
如：15÷7＝2…1
（2）有余数除法的性质：
①余数必须小于除数
②不完全商与余数都是唯一的．
（3）运算法则
被除数÷除数＝商+余数，被除数＝除数×商+余数．
【命题方向】
常考题型：
例1：一根绳子长17米，剪8米做一根长跳绳，剩下的每2米做一根短跳绳，最多做几条短跳绳？
分析：先用17﹣8求出还剩下多少米，然后根据除法的意义，即可求出结果．
解：（17﹣8）÷2，
＝9÷2，
＝4（条）…1米；
答：最多做4条短跳绳．
点评：解答此题要认真分析题意，联系生活实际，剩了1米，不能再做1条绳．
例2：3位老师带着62位学生去郊游．每顶帐篷最多只能住6人．至少要搭多少顶帐篷？
分析：先用“62+3”求出总人数，求至少要搭多少顶帐篷，即求65里面含有几个6，根据求一个数里面含有几个另一个数，用除法解答．
解：（62+3）÷6＝10（顶）…5（人），
至少需：10+1＝11（顶）；
答：至少要搭11顶帐篷．
点评：解答此题用的知识点：根据求一个数里面含有几个另一个数，用除法解答．
23．等腰三角形与等边三角形
【知识点归纳】
1．等腰三角形的定义和性质：
定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形．
判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）．
2．等边三角形定义：
三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”．是特殊的等腰三角形．
如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
（1）三边长度相等；
（2）三个内角度数均为60度；
（3）一个内角为60度的等腰三角形．
【命题方向】
常考题型：
例1：等边三角形是（ ）
A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、直角三角形
分析：等边三角形也叫正三角形，是指三条边、三个角都相等的三角形，每一个角都是180°÷3＝60°，所以等边三角形一定是锐角三角形．
解：因为等边三角形的每一个角都是60°，所以等边三角形一定是锐角三角形．
故选：B．
点评：解决此题关键是掌握等边三角形的特征：三条边、三个角都相等．再根据锐角、钝角、直角三角形的特征进行判断即可．
例2：一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形一定是（ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形
分析：根据等角对等边，可知这个三角形中有两条边相等，依此即可作出判断．
解：因为一个三角形中有两个角相等，
所以这个三角形中有两条边相等；
那么这个三角形一定是等腰三角形．
故选：C．
点评：此题考查了等腰三角形判定，本题关键是熟悉三角形中等角对等边的性质．
24．大面积单位间的进率及单位换算
【知识点归纳】
1平方千米＝100公顷＝1000000平方米
1公顷＝10000平方米
【命题方向】
常考题型：
边长是100米的正方形土地的面积是1公顷． √ ．（）
分析：1公顷的规定：边长是100米的正方形土地的面积是10000平方米，也即1公顷；据此进行判断．
解：边长是100米的正方形土地的面积是10000平方米，即1公顷；
故答案为：√．
点评：此题考查土地面积单位公顷的规定：边长是100米的正方形土地的面积是10000平方米，也即1公顷．
25．体积、容积及其单位
【知识点归纳】
体积，或称容量、容积，几何学专业术语，是物件占有多少空间的量．
体积的国际单位制是立方米．
常用的单位：立方米、立方分米、立方厘米、立方毫米．
【命题方向】
常考题型：
例1：要求水桶能装水多少升，就是求水桶的（ ）
A、表面积 B、体积 C、容积
分析：体积和容积是两个不同的概念，意义不同：容积是指容器所能容纳物体的体积，箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，叫做它们的容积或容量；物体所占的空间的大小叫做体积．测量方法不同：计算物体的体积要从物体外面去测量，例如求木箱的体积就要从外面量出它的长、宽、高的长度；计算容积或容量，由于容器有一定的厚度，要从容器里面去测量，例如求木箱的容积或容量，要从内部测量出长、宽、高的长度．计算单位不同：计算物体的体积，一定要用体积单位，常用的体积单位有：立方米、立方分米、立方厘米等．计算容积一般用容积单位，如升和毫升，但有时候还与体积单位通用．
解：要求水桶能装水多少升，就是求水桶的容积；
故选：C．
点评：正确区分体积和容积的意义，是解决此题的关键．
例2：盛满沙子的沙坑，（ ）的体积就是沙坑的容积．
A、沙子 B、沙坑
分析：根据容积的定义直接选择，容积是指容器所能容纳物体的多少，沙坑的容积就是指沙坑所能容纳沙子的多少即沙子的体积．
解：沙坑的容积是指沙坑所能容纳沙子的多少，沙坑的容积即是沙子的体积．
故选：A．
点评：此题考查容积的定义，是指容器所能容纳物体的多少．
26．体积、容积进率及单位换算
【知识点归纳】
体积单位：
1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米
1立方分米＝1000立方厘米，
容积单位：
1升＝1000毫升
1升＝1立方分米＝1000立方厘米
1毫升＝1立方厘米
单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率．
【命题方向】
常考题型：
例1：3升+200毫升＝（ ）毫升．
A、2003 B、320 C、3200
分析：把3升200毫升换算为毫升，先把3升换算为毫升，用3乘进率1000，然后加上200；据此解答．
解：3升+200毫升＝3200毫升；
故选：C．
点评：解决本题关键是要熟记单位间的进率，知道如果是高级单位的名数转化成低级单位的名数，就乘单位间的进率；反之，就除以进率来解决．
例2：750毫升＝ 0.75 升
7.65立方米＝ 7650 立方分米
8.09立方分米＝ 8 升 90 毫升．
分析：（1）把750毫升换算成升数，用750除以进率1000得0.75升；
（2）把7.65立方米换算成立方分米数，用7.65乘进率1000得7650立方分米；
（3）把8.09立方分米换算成复名数，整数部分就是8立方分米，也就是8升，把0.09立方分米换算成毫升数，用0.09乘进率1000得90毫升．
解：（1）750毫升＝0.75升；
（2）7.65立方米＝7650立方分米；
（3）8.09立方分米＝8升90毫升．
故答案为：0.75，7650，8，90．
点评：此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率；把低级单位的名数换算成高级单位的名数，就除以单位间的进率．
27．钟面上的角
【知识点归纳】钟面上一共有12个大格，每一个大格包含5个小格。由分针一小时走12个大格，时针一小时走1个大格，可以得出，分针的速度是时针的12倍。
①用格数表示
分针一分钟走1个小格，时针走1/12个小格。
②用角度表示
分针一分钟旋转6°，时针一分钟旋转0.5°。
【常考题型】
1.3时整，时针与分针形成的角是______；6时半，时针与分针形成的角是_______。
分析：时钟上12个数字把钟面平均分成12个大格，每个大格是30°。3时整，时针和分针之间有3个大格，则时针和分针的夹角是3×30°。6时半，时针和分针之间有半个大格，则时针和分针的夹角是30°÷2。再判断这两个角的类型。
解：3×30°＝90°
30°÷2＝15°
3时整，时针与分针形成的角是直角；6时半，时针与分针形成的角是锐角。
故答案为：直；锐。
2.钟面上10时35分时，时针与分针的夹角（小于180°的）是多少度？
分析：在钟表上每个大格对应的夹角是30度，10时30分时，时针与分针相差4.5个大格，即30×4.5＝135（度），时针每分钟旋转0.5度，分针每分钟旋转6度，然后求出从10时30分开始，再过5分钟时针与分针旋转的角度即可。
解：30×4.5＝135（度）
0.5×5＝2.5（度）
6×5＝30（度）
135+2.5﹣30＝107.5（度）
答：钟面上10时35分时，时针与分针的夹角（小于180°）的度数是107.5°。
28．三角形边的关系
【知识点归纳】
1、两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。
2、三角形任意两边的和大于第三边。
【命题方向】
常考题型：
1.判断每组线段能不能围成三角形？为什么？
8cm，2cm，4cm
5cm，5cm，5cm
3cm，3cm，6cm
3cm，7cm，9cm
答案：5cm，5cm，5cm 和3cm，7cm，9cm可以，其他不行
2.通过用纸条摆三角形，可以发现：三角形任意两边的和_______第三边。
答案：大于
3.搭1个有两个内角相等的三角形，若其中两条边分别长4cm和8cm，则第三条边是几厘米？解决这个问题最主要用到下列（ ）知识。
A．三角形的内角和B．三角形的三边关系
C．三角形的稳定性D．三角形的分类
答案：B
3.在“研究三角形的三边关系”时，同学们准备把12厘米长的小棒剪成三段围成三角形，如果第一刀剪在3厘米处，要想围成三角形，第二刀可以剪在（ ）处。
A．A B．B C．C
答案：C
29．长方形、正方形的面积
【知识点归纳】
长方形面积＝长×宽，用字母表示：S＝ab
正方形面积＝边长×边长，用字母表示：S＝a2．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个长方形的周长是48厘米，长和宽的比是7：5，这个长方形的面积是多少？
分析：由于长方形的周长＝（长+宽）×2，所以用48除以2先求出长加宽的和，再根据长和宽的比是7：5，把长看作7份，宽看作5份，长和宽共7+5份，由此求出一份，进而求出长和宽分别是多少，最后根据长方形的面积公式S＝ab求出长方形的面积即可．
解：一份是：48÷2÷（7+5），
＝24÷12，
＝2（厘米），
长是：2×7＝14（厘米），
宽是：2×5＝10（厘米），
长方形的面积：14×10＝140（平方厘米），
点评：本题考查了按比例分配的应用，同时也考查了长方形的周长公式与面积公式的灵活运用．
答：这个长方形的面积是140平方厘米．
例2：小区前面有一块60米边长的正方形空坪，现要在空坪的中间做一个长32米、宽28米的长方形花圃，其余的植上草皮．（如图）
①花圃的面积是多少平方米？
②草皮的面积是多少平方米？
分析：（1）长方形的面积＝长×宽，代入数据即可求解；
（2）草皮的面积＝正方形的面积﹣长方形的面积，利用正方形和长方形的面积公式即可求解．
解：（1）32×28＝896（平方米）；
（2）60×60﹣896，
＝3600﹣896，
＝2704（平方米）；
答：花圃的面积是896平方米，草皮的面积是2704平方米．
点评：此题主要考查正方形和长方形的面积的计算方法．
【解题思路点拨】
（1）常规题求正方形面积，先求出边长，代入公式即可求得；求长方形面积，分别求出长和宽，代入公式即可求得，面积公式要记牢．
（2）其他求法可通过分割补，灵活性高．
30．八个方向的认识
【知识点归纳】
指东、西、南、北、东南、西南、西北、东北八个方向。
【命题方向】
常考题型：
1.小红面向西南方向，她的背面是（ ）方向。
A．西北B．东南C．东北D．西南
解：面向西南方向，背面是东北方。
故选：C。
2.刮了一夜东北风，满树的黄叶落了一地，落在（ ）方向的黄叶多一些。
A．西南B．西北C．东南D．东北
分析：根据方向的相对性知识，东北和西南相对，据此解答即可。
解：刮了一夜东北风，满树的黄叶落了一地，落在西南方向的黄叶多一些。
故选：A。
3.淘气面朝东站立，这时他的后面是______，右面是________。
解：淘气面朝东站立，这时他的后面是西，右面是南。
故答案为：西；南。
31．最优化问题
【知识点归纳】
最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，因此，最优化问题成为现代数学的一个重要课题，涉及统筹、线性规划一排序不等式等内容．下面我们就最优化问题做出汇总分析．
最优化问题不仅具有趣味性，而且由于解题方法灵活，技巧性强，因此对于开拓解题思路，增强数学能力很有益处．但解决这类问题需要的基础知识相当广泛，很难做到一一列举．
【命题方向】
常考题型：
例1：星期日，红红想帮奶奶做下面的事情：用全自动洗衣机洗衣服30分，扫地擦地15分，洗菜8分，经过合理安排，做完这些事情至少要（ ）分．
A、45 B、38 C、30
分析：根据题干分析可得，用全自动洗衣机洗衣服需要30分钟，同时可以扫地擦地和洗菜，据此即可解答问题．
解：根据题干分析可得，用全自动洗衣机洗衣服需要30分钟，同时可以扫地擦地和洗菜，
所以最小需要30分钟即可完成．
故选：C．
点评：较大此类问题要奔着各项工作不相互冲突，又能节约时间的思想设计工作程序．
经典题型：
例2：汽水买5送1，某班30名同学秋游路上想买水喝，只需要买（ ）瓶汽水．
A、30 B、25 C、28 D、24
分析：根据“买5送1”可知买5瓶实际得到6瓶，30名同学可以买（30÷6）5个5瓶，送1×5＝5瓶，所以只买：30﹣5＝25瓶，据此解答．
解：30﹣1×[30÷（5+1）]，
＝30﹣5，
＝25（瓶）；
答：只需要买25汽水．
故选：B．
点评：本题关键是求出买30瓶能送几瓶汽水．

①20×45＝
②640÷80＝
③760+240＝
④3.44+7.56﹣1＝
⑤10.51﹣5.1＝
⑥2.15×100＝
⑦747×0＝
⑧99×8×125＝
17×[（520÷26）﹣13]
98×101
355﹣260+245﹣140
58×58﹣58×48
25+75×18
125×[265﹣（176+65）]
38 0.375
87 98
34 45
票价
6人一船 8元
4人一船 6元
2人一船 5元
题号
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
A
B
B
B
B
A
①20×45＝
②640÷80＝
③760+240＝
④3.44+7.56﹣1＝
⑤10.51﹣5.1＝
⑥2.15×100＝
⑦747×0＝
⑧99×8×125＝
①20×45＝900
②640÷80＝8
③760+240＝1000
④3.44+7.56﹣1＝10
⑤10.51﹣5.1＝5.41
⑥2.15×100＝215
⑦747×0＝0
⑧99×8×125＝99000
17×[（520÷26）﹣13]
98×101
355﹣260+245﹣140
58×58﹣58×48
25+75×18
125×[265﹣（176+65）]
38 ＝ 0.375
87 ＞ 98
34 ＜ 45
38=0.375
87＞98
34＜45
票价
6人一船 8元
4人一船 6元
2人一船 5元
192+245＝
321﹣119＝
294+356＝
568÷2＝
376÷4＝
185÷5＝
697÷8＝
18÷2×5＝
45÷5×3＝
9÷3×7＝
2×3×8＝