初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）第十三章 三角形13.2 与三角形有关的线段同步测试题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）第十三章 三角形13.2 与三角形有关的线段同步测试题，文件包含培优01与三角形有关的线段5种题型17种重难点突破专项训练原卷版八年级数学上册同步培优备课系列人教版20242025-2026docx、培优01与三角形有关的线段5种题型17种重难点突破专项训练解析版八年级数学上册同步培优备课系列人教版20242025-2026docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共80页， 欢迎下载使用。

题型1 三角形的三边关系
重难点一 利用三边关系判断能否组成三角形
1．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（ ）
A．2B．3或5C．4或5D．6
2．（20-21八年级上·河北沧州·期末）某同学用5cm、7cm、9cm、13cm的四根小木棒摆出不同形状的三角形的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）用12根火柴棒（等长）拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余．重叠和折断，能摆出不同的三角形的个数是 （ ）
A．1B．2 C．3D．4
4．（24-25七年级下·河南周口·期末）已知是正整数，若一个三角形的三边长分别是，，则满足条件的的值有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
重难点二 利用三边关系求参数范围
5．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）在中，是边上的中线，，的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．（24-25七年级下·四川成都·期末）一个三角形的三边长均为整数，已知两边长为4和5，则第三边长度的最大值为 ．
重难点三 利用三边关系取舍值（易错）
7．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）若一个等腰三角形的周长为15，一边长为7，则该等腰三角形的底边长为 ．
8．（24-25七年级下·河南新乡·期末）若有理数满足等式，且恰好是等腰的两条边长，则的周长是（ ）
A．12B．10C．8D．6
9．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）一个等腰三角形一条腰上的中线把这个三角形的周长分成了6和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为 ．
重难点四 利用三边关系求最值
10．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，将平移5个单位到，则的最大值等于 ．
11．（24-25七年级下·四川成都·期末）一个三角形的三边长度均为整数，其中两边长为2和5，则第三边的最大值为 ．
12．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在四边形中，，，E，F分别为边，的中点．连接，线段的最大值为 ．
13．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，在中，，，，D为边上一动点，将沿翻折得到，点B的对应点为点P，连接，则的最小值为 ．
14．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图、用钉子把木棒和分别在端点、处连接起来，、可以转动．用橡皮筋把连接起来，设橡皮筋的长是．
(1)若，试求的最大值和最小值；
(2)在（1）的条件下要围成一个四边形，你能求出的取值范围吗？
重难点五 三角形最长边与周长的关系
15．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）一根长为的绳子围成一个三边不相等的三角形，则三角形的最长边x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
16．（22-23七年级下·全国·单元测试）周长为P的三角形中，最长边m的取值范围是 ( )
A．B．C．D．
17．（24-25七年级下·福建泉州·期中）若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”．
（1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）．
①； ②．
（2）已知“不均衡三角形”三边分别为直接写出x的整数值为 ．
题型2 三角形的高
重难点一 依据三角形形状确定高的位置
1．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，每个小正方形的边长为1个单位．
(1)画出的边上的高，垂足为D；
(2)求的面积．
2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，均在格点上，在图1、图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图．（不要求写出画法，保留作图痕迹）
(1)在图1中作的中线．
(2)在图2中作的高．
3．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，网格中每个小正方形的边长为1，的顶点A、B、C均在格点上，只用无刻度直尺，根据网格特征作图：
(1)在图1中作的高；
(2)在图1中在上取点E，使与面积相等；
(3)在图2中取格点F，使得（F不与A重合）．
重难点二 面积法，知高求底/知底求高
4．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，，O是与平分线的交点，则点O到的距离为 ．
5．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则 ．
6．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在中，、是的两条高，，，，则的长等于 ．
7．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，求的值．
重难点三 面积法，整体求值
8．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为 ．
9．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，点D，P分别在边，上，且，，，垂足分别为点E．F．若，，则的值 ．

10．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在的边上取点．连接平分，平分，若，的面积是，的面积是5，则的值是 ．
重难点四 依据高的位置，分类讨论求面积
11．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）中，，边上的高，，则的面积是 ．
12．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）是中边上的高，已知则的面积等于 ．
重难点五 依据高的位置，分类讨论求角度
13．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）在中，，若从顶点作高线和角平分线，与的夹角为，则的度数为 ．
14．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）已知：是的高，直线相交所成的角中有一个角为，则的度数为 ．
15．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其底角的度数为 ．
重难点六 等面积法的综合运用
16．（24-25八年级上·广东深圳·期末）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，是一种重要的数学方法．
【问题探究】
数学兴趣小组尝试用等面积法解决下面问题：
如图1，在等腰中，，，是线段上任意一点，过点作，，垂足分别为，．求的值．
他们用两种方法表示的面积：
方法一：如图，作于点，计算的面积．
解答过程如下：
方法二：连接，则．
（1）请将方法一的解答过程补充完整；
（2）结合方法一、二可以算出 ．
【学以致用】
如图2，直线与轴交于点，且经过点，已知点的坐标为．
（1）求直线的解析式；
（2）在直线上有一动点，且点到直线的距离为2，请利用以上所学的知识直接写出点的坐标．
17．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边，点是平面上任意一点，设点到边、边的距离分别为、，的边上的高为．回答以下问题：

(1)如图（1），若点在三角形的边上，、、存在怎样的数量关系？请给出证明过程．
(2)如图（2），当点在内，已知，求的值．
(3)如图（3），当点在外，请直接写出与、、的数量关系，不用证明．
18．（23-24八年级上·广东深圳·期中）学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为等面积法．
(1)【学有所用】如图1，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰、的距离、分别为、，小明发现，通过连接，将的面积转化为和的面积之和，建立等量关系，便可证明，请你结合图形来证明：；
(2)【尝试提升】如图2，在中，，D是边上一点，使，过上一点P，作，垂足为点E，作，垂足为点F，已知，，求的长．
(3)【拓展迁移】如图3，在平面直角坐标系中有两条直线，，若上的一点M到的距离是2，求的值．
题型3 三角形的中线
重难点一 中线的性质与应用
1．（2024七年级上·四川成都·专题练习）如图所示，已知三角形的面积为20，，，求阴影部分的面积．
2．（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知是的中线，的周长比的周长大，若的周长为，且，求和的长．
3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，点D是边上一点，连接，点P是的中点，连接并延长交于点E，若，．
(1)设的面积为S，求的面积（用含S的式子表示）；
(2)请判断与的数量关系，并说明理由．
4．（23-24八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，，，都是格点，且，请用无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，并保留作图痕迹（画图过程用虚线，画图结果用实线表示）．
(1)在图中作的中线与，设与交于点；
(2)在图中，在轴上找点，使得最小；
(3)在图中的上找一点，使；
5．（24-25八年级上·河北保定·期中）（1）如图1，在中，若是边上的中线，则 ；如图2，在中，若 ，则
（2）如图3，若分别是的边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法．
连接，由，得， ，
同理，可得．
设 ，则 ，
设 ，
由题意，得 ，
可列方程组 ，解得 ．
∴
（3）如图4， ，若 ，求 ．
重难点二 重心性质与应用
6．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，，，分别为，，的中点，点为的重心．已知的面积为1，则的面积为 ．
7．（23-24八年级上·河南郑州·开学考试）如图，点G为的重心，D，E，F分别为的中点，具有性质：．已知的面积为4，的面积为 ．
8．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）【发现与探究】三角形的重心
三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，．
(1)图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想；
(2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果面积为，用含有的式子表示的面积为 ，： ；
(3)图4中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积．
题型4 三角形的角平分线
重难点一 三角形的角平分线性质的应用
1．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，已知的周长是，，分别平分和，于点，且，的面积是 ．
2．（23-24八年级上·上海松江·期末）如图，在中，已知是的角平分线，点D是内一点，且，，，那么 °．
3．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期末）如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），连接交于点O．
(1)若是中线，，，则与的周长差为 ；
(2)若，，求的度数．
4．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，，点为上一点，过点作于点．
(1)当平分，且时，求的度数；
(2)当点是中点，，且的面积为，求的长．
重难点二 三角形高、中线、角平分线的综合
5．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，分别为的边上的中线和高，为的角平分线．
(1)若，，求的大小；
(2)若的面积为48，，求的长．
6．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，为的中线，为的角平分线，过点E作于点N，为的高．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，的面积为64，求的长．
7．（21-22八年级上·云南昆明·期末）如图，在△ABC中，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线．
(1)若△ABC的面积为40，BD＝5，求AF的长；
(2)若∠BED＝40°，∠BAD＝25°，求∠BAF的大小．
题型5 面积转化与面积法
重难点一 面积法求值
1．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）如图，在梯形 中，三角形 与三角52．（23-24七年级下·广西玉林·期末）我们知道：平行线间的距离处处相等．如图，，那么图中与面积相等的三角形有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如图，梯形中，，，，则为（ ）
A．1.6B．1.8C．2D．3.6
3．（23-24九年级上·河南南阳·期中）如图，在四边形中，，对角线、相交于点，若，，则四边形的面积为（ ）
A．12B．15C．16D．20
4．（2025·北京·模拟预测）如图，在四边形中，，对角线，交于点．若，则四边形的面积为 ．
5．（23-24七年级下·湖南永州·期末）课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用
阅读理解：如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为．

(1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：；
(2)【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：；
(3)【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，求四边形的面积．
重难点二 转化思想求面积
6．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，，，，是上一点，交于点，当时，请你利用“转化策略”求出图中阴影部分的面积．
7．（22-23七年级下·江苏南京·期中）三角形中有三条重要线段——中线，高线和角平分线，下面我们一起来研究中线和高线的特点．
问题1：如图1：是的中线，求证：
问题2：如图2：，求证：
问题3：运用上述两个问题的发现我们一起探究如何作一条直线平分多边形面积：
（1）如图3：在四边形，小孙同学的辅助线：
①连接对角线，②作交的延长线于E；③取的中点M，则直线为所求直线．
（2）如图4：在四边形，小悟同学的辅助线：
①连接对角线和；②取的中点O，③连接；④过点O作的平行线与四边形的边交点于P，则直线则为所求直线．
下面就请你完成小孙和小悟的证明．
问题4：小空同学运用类比和转化的数学思想作了一条直线平分五边形，请你也尝试画一画吧！
（保留作图痕迹并写出作图方法）
判定三条线段能否构成三角形时，不需要分别计算，只要三条线段中较小的两条线段之和大于第三条线段就能构成三角形.当较小的两条线段之和等于或小于第三条线段时，就不能构成三角形.
【易错】所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形．
1）高与面积有关:①有高首先想到面积，可以考虑等面积法求高线.
②高相等，面积之比等于底边之比.
2)高与勾股定理的联系：有高就有直角，想到勾股定理.
3）三角形三高线的交点是垂心，注意垂心的性质.
1）条件中有中点，想到作中线，更要想到作中位线.中点必定与中线或者中位线相联系.
2）中线性质： ①中点将边平分；②中线将面积平分；
③三边中线交点为重心，切记重心的性质.
三角形的角平分线→相等的角或成2倍关系的角.