北京市第五十七中学九年级上学期期中数学试卷（原卷版）-A4

这是一份北京市第五十七中学九年级上学期期中数学试卷（原卷版）-A4，共8页。试卷主要包含了11等内容，欢迎下载使用。
2024．11
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1. 函数的最小值是（）
A. 1B. C. 2D.
2. 如图，是的直径，是弦，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
3. 抛物线y＝的对称轴是（ ）
A. 直线 B. 直线C. 直线D. 直线
4. 如图，是的直径，点C，D是圆上两点，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
5. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，，，是⊙上的三个点，如果∠°，那么∠的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 定点投篮是同学们喜爱的体育项目之一，某位同学投出篮球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，篮球飞行的竖直高度(单位：)与水平距离(单位：)近似满足函数关系(a≠0)．下表记录了该同学将篮球投出后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出篮球飞行到最高点时，水平距离为（ ）
A. B. C. D.
8. 抛物线经过点(1，0)，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①＜0； ②；③9a-3b+c=0；④若，则时函数值小于时的函数值．其中正确结论的序号是（ ）

A. ①③B. ②④C. ②③D. ③④
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是_________．
10. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是______；抛物线上，点关于对称轴的对称点的坐标为______．
11. 直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽为8分米，则积水的最大深度为______分米．
12. 某学习平台三月份新注册用户为200万，五月份新注册用户为338万，设四、五两个月新注册用户每月平均增长率为，则可列出的方程是_________________．
13. 已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则关于的一元二次方程的两个实数根是_______________
14. 若a是关于x的方程的一个根，则的值是__________．
15. 函数的图象如图所示，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为______．
16. 如图，抛物线．将该抛物线在轴和轴上方部分记作，将轴下方的部分沿轴翻折后记作和构成的图形记作．关于图形，给出甲、乙、丙、丁四位同学的结论：
甲：图形关于轴成轴对称；
乙：图形有最小值，且最小值为0；
丙：当时，图形的函数值都是随着的增大而减小的；
丁：时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）．
以上四位同学结论中，所有正确结论的是_____________________．
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 解方程：
（1）
（2）．
18. 下面是小石设计“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程.
已知：如图1，及上一点P.
求作：直线PQ，使得PQ与相切.
作法：如图2，
①连接PO并延长交于点A；
②在上任取一点B（点P，A除外），以点B为圆心，BP长为半径作，与射线PO的另一个交点为C.
③连接CB并延长交于点Q.
④作直线PQ；
所以直线PQ就是所求作的直线.
根据小石设计的尺规作图的过程.
（1）使用直尺和圆规，补全图形：（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：∵CQ是的直径，
∴________（________________）（填推理的依据）
∴.
又∵OP是的半径，
∴PQ是的切线（________________）（填推理的依据）
19. 二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
根据以上列表，回答下列问题：
（1）直接写出c的值和该二次函数图象的对称轴；
（2）写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=t的根；
（3）若m=-1，求此二次函数的解析式．
20. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）一次函数的图象也经过点A，B，结合图象，直接写出不等式的解集．
21. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到交于点．若，求的长．
22. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根均为负数，求的取值范围．
23. 如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，连接，作，交的延长线于点．求证：是的切线．

24. 如图，为的直径，点在的延长线上，与相切于，过点作交于点，连接，，．若，求的半径．
25. 为了去除衣物上的某种有害物质（记作“P”），某小组研究了衣物上的含量（单位：）与浸泡时长（单位：）的关系，该小组选取甲，乙两类服装样品，将样品分成多份，进行浸泡处理，检测处理后样品中P的含量，所得数据如下：
（1）设浸泡时长为，甲，乙类衣物中的含量分别为，，在平面角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，，并画出函数，的图象；
（2）结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当浸泡时长为时，甲、乙两类衣物中P的含量的差约为_____mg/kg（精确到0.1）；
（3）根据衣物中的含量（单位：）将衣物分为级（含量）、级（含量）和类（含量）．若浸泡时长不超过，其中一类衣物经过浸泡处理后可能达到级标准，该类衣物达到A级标准至少需要浸泡_____h（精确到0.1）．另一类衣物若不能达到级标准，可以添加一种液体去除的含量，设加入液体后的浸泡时间为，去除衣物的含量为，它们之间的关系式为：，则这类衣物经过浸泡处理后可能达到A级标准，该类衣物达到A级标准至少还需要_____
26. 在平面直角坐标系中，抛物线过点，设抛物线的对称轴为，
（1）求的值；
（2）如果点，，是抛物线上的点，且总有，求的取值范围．
27. 如图1，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与C、D重合，过点A作的垂线交延长线于点F，连接．
（1）计算的度数；
（2）如图2，过点A作，垂足为G，连接．用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系中，给定，如果点绕点顺时针旋转，正好落在上，则称点是关于点的“旋转定点”，称点是点关于的“旋转中心”．如果线段绕点顺时针旋转后，正好是的弦，则称线段是关于点的“旋转定弦”，称点是线段关于的“旋转中心”．例如
若是坐标原点，半径为2，
（1）如图1，在点中，可以作为关于点的“旋转定点”的是_____；
（2）如图2，已知点
①若点是关于点的“旋转定点”，并且旋转后刚好落在，求点的坐标；
注意事项
1．本试卷共7页，共两部分，28道题，满分100分．考试时间120分钟．
2．在试卷和答题纸上准确填写学校名称、姓名和准考证号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效．
4．在答题纸上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答．
x (单位：m)
y (单位：m)
3.05
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y=ax2+bx+c
…
t
m
-2
-2
n
…
浸泡时长
P含量衣物
甲类
乙类
0
80
79
2
37
32
4
31
25
6
29
21
8
28
18
10
27
17
12
27
16