北京市第五十七中学九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

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1. 一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ）
A. 3，-6，-1B. 3，-6，1C. 3，6，1D. 3，6，-1
【答案】B
【解析】
【分析】找出所求的系数及常数项即可．
【详解】一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是3，-6，-1．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
2. 若将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数“上加下减，左加右减”的平移规律进行求解．
【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为，
故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键．
3. 如图，，，是上的三个点．若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的知识点是圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，解题关键是熟练掌握圆心角定理．
观察图形可得是弧的圆心角，是弧的圆周角，根据圆周角定理得即可求解．
【详解】解：弧弧，
其中是弧的圆心角，是弧的圆周角，
．
故选：．
4. 如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（ ）
A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D
【答案】B
【解析】
【分析】如图：连接，作的垂直平分线，作的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心；掌握旋转中心的确定方法是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵绕某点旋转一定的角度，得到，
∴连接，作的垂直平分线，作的垂直平分线，
∴三条线段的垂直平分线正好都过B，即旋转中心是B．
故选：B．
5. 用配方法解方程，配方正确的是( )
A. B. (C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程中的配方法，熟练掌握解一元二次方程中的配方法的步骤是解题的关键．
【详解】解：∵，
移项得：，
配方法，方程左右同加得：，
∴，
故选：B．
6. 已知反比例函数上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，那么下列结论正确（ ）
A. y1＜y2B. y1＞y2C. y1=y2D. y1与y2之间的大小关系不能确定
【答案】D
【解析】
【详解】根据反比例函数的增减性解答即可，需注意应考虑两点在同一象限和不在同一象限时y的值的大小关系．
解：的图象位于第二、四象限，所以k＜0，在y=kx-2中，k＜0，b=-2＜0，图象过第二、三、四象限，故选D．
7. 二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的的取值范围是（ ）
A. 或B. 或
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象下方部分的x的取值范围即可．
【详解】由图可知，或时二次函数图象在一次函数图象下方，
所以，满足的x的取值范围是或．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，数形结合准确识图是解题的关键．
8. 已知⊙O1，⊙O2，⊙O3是等圆，△ABP内接于⊙O1，点C，E分别在⊙O2，⊙O3上．如图，
①以C为圆心，AP长为半径作弧交⊙O2于点D，连接CD；
②以E为圆心，BP长为半径作弧交⊙O3于点F，连接EF；
下面有四个结论：
①CD+EF＝AB；
②；
③∠CO2D+∠EO3F＝∠AO1B；
④∠CDO2+∠EFO3＝∠P；
所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②③④B. ①②③C. ②④D. ②③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理即可得到结论．
【详解】解：由题意得，AP＝CD，BP＝EF，
∵AP+BP＞AB，
∴CD+EF＞AB；
∵⊙O1，⊙O2，⊙O3是等圆，
∴弧AP=弧CD，弧BP=弧EF，
∵弧AP+弧BP=弧AB，
∴弧CD+弧EF=弧AB；
∴∠CO2D＝∠AO1P，∠EO3F＝∠BO1P，
∵∠AO1P+∠BO1P＝∠AO1P，
∴∠CO2D+∠EO3F＝∠AO1B；
∵∠CDO2＝∠APO1，∠BPO1＝∠EFO3，
∵∠P＝∠APO1+∠BPO1，
∴∠CDO2+∠EFO3＝∠P，
∴正确结论的序号是②③④，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，准确计算是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 点关于原点对称的点的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标；根据关于原点对称的两点的横纵坐标互为相反数得出答案．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
10. 若关于的方程有两个相等的实数根，则式子的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据根的判别式即可得出 Δ=(-m)2-4m=0，由此可得m2-4m=0的值，再代入变形后的代数式即可求出答案 ．
【详解】解：由题意可知， Δ=(-m)2-4m=0，
∴m2-4m=0，
∴=2(m2-4m) +1=1．
故答案为1.
【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解根的判别式的作用，本题属于基础题型．
11. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数为_____．

【答案】110°．
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的性质即可求解.
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，且∠B＝110°
∴∠ADE=∠B＝110°
故填：110°.
【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.
12. 抛物线与轴的公共点的个数是_________.
【答案】2
【解析】
【详解】∵抛物线解析式为：y=x2−x−1，
∴a=1，b=−1，c=−1，
∴△=b2−4ac=(−1)2−4×1×(−1)=1+4=5>0，
∴抛物线与x轴有两个交点，
故答案为2.
13. 半径为2且圆心角为90°的扇形面积为_______．
【答案】π
【解析】
【分析】根据扇形面积公式求出即可．
【详解】扇形的面积是=π，
故答案为π．
【点睛】本题考查了扇形面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键．
14. 已知抛物线经过点，则___．（填“＞”，“＝”，“＜”）
【答案】＞
【解析】
【分析】求出的值即可判断．
【详解】解：时，，
时，，
∴，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
15. 在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值：
根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于_______（结果保留小数点后一位小数）．
【答案】5.8
【解析】
【分析】根据表格的x，y的值，当y的值为0或接近0时，对应的x的值就是方程的一个实数根的近似值.
【详解】由表格可知：当x=5时，y=-1.10；x=6时，y=-0.14；
∴方程的一个实数根大约是5.8.
故答案是：5.8
【点睛】本题主要考查利用表格的数据，根据二次函数和一元二次方程的关系得出方程的近似根是解题关键.
16. 如图，矩形中，，，是边的中点，点在边上，设，若以点为圆心，为半径的与线段只有一个公共点，则所有满足条件的的取值范围是________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质．特别注意和线段有一个公共点，不一定必须相切，也可以相交，但其中一个交点在线段外．首先计算圆与线段相切时，的值，在画出圆过时，半径的值，确定的值，半径比这时大时符合题意，根据图形确定的取值范围．
【详解】解：如图，当与相切时，设切点为，连接，
，
，，
，
，
，
，
当过点时，如图，与线段有两个公共点，连接，此时，
当以为圆心，为半径的与线段只有一个公共点时，满足的条件：或；
故答案为：或．
三、解答题（本题共68分，第17题6分，第18-19题，每小题5分，第20题4分，第21-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）
17. 解方程：
（1）．
（2）．
【答案】（1），；
（2），．
【解析】
【分析】（1）根据因式分解法求解即可得到答案；
（2）先移项，然后配方，最后两边开平方即可得到答案．
【小问1详解】
解：方程左边因式分解得，
，
即或，
∴，；
【小问2详解】
解：移项得，
，
配方得，
，
即，
两边开平方得，
，
∴，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是选择适当的方法求解．
18. 如图，在正方形中，点E在边上，将点E绕点D逆时针旋转得到点F，若点F恰好落在边的延长线上，连接．
（1）判断的形状，并证明；
（2）若，则的面积为___________．
【答案】（1）是等腰直角三角形，证明见解析
（2）8
【解析】
【分析】（1）证明，进而可得，，根据旋转的性质可得，即可证明是等腰直角三角形；
（2）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，进而即可求得的面积．
【小问1详解】
是等腰直角三角形．
证明：在正方形中，，．
∵ F落在边的延长线上，
∴ ．
∵ 将点E绕点D逆时针旋转得到点F，
∴．
∴，
∴．
∵ ，
∴，即．
∴是等腰直角三角形．
【小问2详解】
∵是等腰直角三角形，
∴，
，，
∴，
∴的面积为．
故答案为：
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，证明是解题的关键．
19. 已知m是方程x2﹣3x+1＝0一个根，求（m﹣3）2+（m+2）（m﹣2）的值．
【答案】3.
【解析】
【分析】把x＝m代入方程得：m2﹣3m+1＝0，即m2﹣3m＝﹣1，再整体代入原式＝m2﹣6m+9+m2﹣4＝2（m2﹣3m）+5可得．
【详解】解：∵m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，
∴m2﹣3m+1＝0，即m2﹣3m＝﹣1，
∴（m﹣3）2+（m+2）（m﹣2）＝m2﹣6m+9+m2﹣4＝2（m2﹣3m）+5＝3．
【点睛】本题考查的是一元二次方程，已知方程的根则代入满足方程.
20. 如图，四边形内接于⊙O，，是对角线．点E在的延长线上，且，判断与⊙O的位置关系，并说明理由．
【答案】与⊙O相切，理由见详解
【解析】
【分析】连接，，根据得到B、O、D在同一直线，在根据与都是弧所对的角得到，再即可得到，即可得到答案．
【详解】解：与⊙O相切，理由如下，
连接，，
∵，
∴B、O、D在同一直线，
∴
∴
∵与都是弧所对的角，
∴，
又
∴
∴，
∴与⊙O相切．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是作辅助线及根据得到B、O、D在同一直线．
21. 如图，在四边形中，，对角线，交于点，点在边上，连接交线段于点，．求证：；
【答案】见解析
【解析】
【分析】由得，再由即可得到，则，又由平行线的性质得到，即可得到结论．此题考查了相似三角形的判定和性质、平行线的性质，证明是解题的关键．
【详解】证明：∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
22. 下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图，⊙O及⊙O上一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：如图，作射线OP；
① 在直线OP外任取一点A，以A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；
②连接并延长BA与⊙A交于点C；
③作直线PC；
则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵ BC是⊙A的直径，
∴ ∠BPC=90° （填推理依据）．
∴ OP⊥PC．
又∵ OP是⊙O的半径，
∴ PC是⊙O的切线 （填推理依据）．
【答案】（1）见解析；（2）直径所对的圆周角是直角；过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【解析】
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据圆周角定理得到∠BPC=90°，根据切线的判定定理即可得到结论．
【详解】解：（1）补全图形如图所示，则直线PC即为所求；
（2）证明：∵BC是⊙A的直径，
∴∠BPC=90°（圆周角定理），
∴OP⊥PC．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线（切线的判定）．
故答案为：圆周角定理；切线的判定．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．
23. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
求实数m的取值范围；
是否存在实数m，使得成立？如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由．
【答案】(1) m