北京市第五十七中学九年级上学期期中数学试卷（解析版）-A4

这是一份北京市第五十七中学九年级上学期期中数学试卷（解析版）-A4，共26页。试卷主要包含了11等内容，欢迎下载使用。
2024．11
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1. 函数的最小值是（）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数性质，掌握顶点式表达式的有关性质是解题关键．利用二次函数顶点式求函数的最小值即可．
【详解】解：∵，
∴当时，y的最小值是，
故选：D．
2. 如图，是的直径，是弦，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理直角三角形的两锐角互余，熟练掌握定理是解题的关键．根据圆周角定理及直角三角形的两锐角互余计算判断即可．
【详解】∵，
∴
∵是的直径，
∴
∴
∴，
故选∶B．
3. 抛物线y＝的对称轴是（ ）
A. 直线 B. 直线C. 直线D. 直线
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用y＝图象的性质得出其对称轴．
【详解】解：抛物线y＝的对称轴是直线
故选：C
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握简单二次函数的图象是解题关键．
4. 如图，是的直径，点C，D是圆上两点，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，可求得的度数，然后由圆周角定理，求得的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵．
故选：A．
【点睛】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的平移，根据二次函数图像的平移规律，左加右减，上加下减，即可得到答案．
【详解】解：抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为，
故选：B．
6. 如图，，，是⊙上的三个点，如果∠°，那么∠的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在弧AB上取一点D，连接AD,BD，利用圆周角定理可知,再利用圆内接四边形的性质即可求出∠的度数.
【详解】
如图，在弧AB上取一点D，连接AD,BD，
则
∴
故选C
【点睛】本题主要考查圆周角定理及圆内接四边形的性质，掌握圆周角定理及圆内接四边形的性质是解题的关键.
7. 定点投篮是同学们喜爱的体育项目之一，某位同学投出篮球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，篮球飞行的竖直高度(单位：)与水平距离(单位：)近似满足函数关系(a≠0)．下表记录了该同学将篮球投出后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出篮球飞行到最高点时，水平距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用待定系数法可求二次函数的表达式，从而可得出答案.
【详解】将代入中得
解得
∴
∵
∴当时，
故选C
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的最大值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
8. 抛物线经过点(1，0)，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①＜0； ②；③9a-3b+c=0；④若，则时的函数值小于时的函数值．其中正确结论的序号是（ ）

A. ①③B. ②④C. ②③D. ③④
【答案】D
【解析】
【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断；
②根据抛物线的对称轴方程即可判断；
③根据抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），即可判断；
④根据m＞n＞0，得出m﹣1和n﹣1的大小及其与﹣1的关系，利用二次函数的性质即可判断．
【详解】解：①观察图象可知：
a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，
所以①错误；
②∵对称轴为直线x＝﹣1，
即﹣＝﹣1，解得b＝2a，即2a﹣b＝0，
所以②错误；
③∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），
当a＝﹣3时，y＝0，即9a﹣3b+c＝0，
所以③正确；
∵m＞n＞0，
∴m﹣1＞n﹣1＞﹣1，
由x＞﹣1时，y随x的增大而减小知x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值，故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质及点的坐标特征．
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【详解】∵关于的一元二次方程没有实数根
∴
即
解得
故答案为
10. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是______；抛物线上，点关于对称轴的对称点的坐标为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了关于原点对称的坐标特点，二次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
根据关于原点对称的坐标纵横坐标互为相反数，二次函数的性质即可求解．
【详解】解：点关于原点对称点的坐标是，抛物线上，点关于对称轴的对称点的坐标为，
故答案为：，．
11. 直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽为8分米，则积水的最大深度为______分米．
【答案】2
【解析】
【分析】连接，先由垂径定理求出的长，再由勾股定理求出的长，进而可得出结论．
【详解】解：连接，如图所示：
∵的直径为分米，
∴分米，
由题意得：，分米，
∴分米，
∴（分米），
∴积水的最大深度（分米），
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，根据勾股定理求出的长是解答此题的关键．
12. 某学习平台三月份新注册用户为200万，五月份新注册用户为338万，设四、五两个月新注册用户每月平均增长率为，则可列出方程是_________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可直接列出方程．
【详解】解：由题意得：
；
故答案为．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
13. 已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则关于的一元二次方程的两个实数根是_______________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，求出对称轴，对称性，求出抛物线与轴的另一个交点的坐标，根据抛物线与轴的交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，
∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，
∴另一个交点的坐标为：，
∴关于的一元二次方程的两个实数根是；
故答案为：
14. 若a是关于x的方程的一个根，则的值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】依题意，把代入，得，再把代入中计算，即可作答．
【详解】解：∵a是关于x的方程的一个根，
∴把代入，得，
∴.
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值，求代数式的值等知识内容，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
15. 函数的图象如图所示，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的图象和性质，由与平行可得当时，直线与原图象只有一个交点，将与直线联立方程组，使，此时只有一个交点．熟练掌握二次函数和一次函数的相关知识是解决本题的关键．
【详解】解：与平行，
当时，直线与原图象只有一个交点，
联立，
，即，，
只有一个交点，
，
，
的取值范围为：或．
16. 如图，抛物线．将该抛物线在轴和轴上方的部分记作，将轴下方的部分沿轴翻折后记作和构成的图形记作．关于图形，给出甲、乙、丙、丁四位同学的结论：
甲：图形关于轴成轴对称；
乙：图形有最小值，且最小值为0；
丙：当时，图形的函数值都是随着的增大而减小的；
丁：时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）．
以上四位同学的结论中，所有正确结论的是_____________________．
【答案】甲乙丁
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，数形结合是解题的关键．
画出翻折后的图形，然后根据图形即可判断．
【详解】解：甲：由图形可知，图形关于轴成轴对称，故甲正确；
乙：图形有最小值，且最小值为0，故乙正确；
丙：当时，图形的函数值先随着的增大而减小，再随的增大而增大，故丙错误；
丁：当时，图形恰好经过，，，，共个整点，故丁正确；
故答案为：甲乙丁 ．
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 解方程：
（1）
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查因式分解法与公式法解一元二次方程，正确使用适合的方法是解题的关键．
（1）利用因式分解法即可解得此一元二次方程；
（2）利用公式法即可解得此一元二次方程．
【小问1详解】
解：因式分解，得，
于是得或，
解得，．
【小问2详解】
解：，，，
，
，
解得，．
18. 下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程.
已知：如图1，及上一点P.
求作：直线PQ，使得PQ与相切.
作法：如图2，
①连接PO并延长交于点A；
②在上任取一点B（点P，A除外），以点B为圆心，BP长为半径作，与射线PO的另一个交点为C.
③连接CB并延长交于点Q.
④作直线PQ；
所以直线PQ就是所求作的直线.
根据小石设计的尺规作图的过程.
（1）使用直尺和圆规，补全图形：（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：∵CQ是的直径，
∴________（________________）（填推理的依据）
∴.
又∵OP是的半径，
∴PQ是的切线（________________）（填推理的依据）
【答案】（1）补图见解析；（2）90，圆周角定理，切线的判定定理.
【解析】
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据圆周角定理可得∠CPQ=90°，根据切线的判定定理即可得结论.
【详解】（1）补全图形如图所示：PQ即为所求，
（2）∵CQ是的直径，
∴90_°（圆周角定理）
∴.
又∵OP是的半径，
∴PQ是的切线（切线的判定定理）
故答案为：90，圆周角定理，切线的判定定理
【点睛】本题考查了切线的判定及圆周角定理，正确作出图形是解题关键.
19. 二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
根据以上列表，回答下列问题：
（1）直接写出c的值和该二次函数图象的对称轴；
（2）写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=t的根；
（3）若m=-1，求此二次函数的解析式．
【答案】（1）c=-2，对称轴为直线；（2）-2,3是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=t的根；（3）
【解析】
【分析】(1)根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与y轴的交点，即可求得c的值;
(2)根据二次函数的对称性即可求得;
(3)根据待定系数法求得即可.
【详解】（1）c=-2，对称轴为直线.
（2）由对称性可知，-2,3是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=t的根.
（3） 由题意知，二次函数的图象经过点（-1，-1），（0，-2），（1，-2）.
∴
解得
∴ 二次函数的解析式为
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，能熟练求解函数对称轴是解题的关键.
20. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）一次函数的图象也经过点A，B，结合图象，直接写出不等式的解集．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与不等式组．
（1）把、的坐标代入，根据待定系数法求得即可；
（2）根据图象即可求得一次函数图象在二次函数图象上方的的取值范围．
【小问1详解】
解：二次函数图象经过点，，
，
解得，
二次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：由图象可知，不等式的解集为．
21. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到交于点．若，求的长．
【答案】2
【解析】
【分析】根据旋转的性质可得，可得，，根据含角的直角三角形的性质，可得，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∵将绕点顺时针旋转得到，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理的运用，掌握旋转的性质，含角的直角三角形的性质是解题的关键．
22. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根均为负数，求的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据根的判别式可得出答案；
（2）由求根公式可求出方程的两根，由题意得出的不等式组，则可得出答案．
【详解】解：（1）证明：依题意，得== 4．
∵ ，
∴ 该方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵，
∴
∴，．
∵ 方程的两个根均为负数，
∴
解得．
【点睛】本题主要考查了根的判别式、解一元一次不等式等知识，掌握根的判别式、解一元一次不等式是解题关键．
23. 如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，连接，作，交的延长线于点．求证：是的切线．

【答案】见解析
【解析】
【分析】连接，利用圆周角定理可得，利用角平分线的性质及等量代换可得，利用等边对等角性质可得，进而可得，进而可求证结论．
【详解】证明：连接，如图所示：

是的直径，
，即，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
又是的半径，
是的切线．
【点睛】本题考查了圆周角定理、角平分线的性质、切线的判定，熟练掌握其基础知识是解题的关键．
24. 如图，为的直径，点在的延长线上，与相切于，过点作交于点，连接，，．若，求的半径．
【答案】
【解析】
【分析】连接，交于点，由切线的性质得，证明，得，，，根据直径所对圆周角是直角得，从而证明是等腰直角三角形，利用勾股定理即可得解．
【详解】解：连接，交于点，如图，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
是直径，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
的半径为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，切线的性质定理，圆周角定理，熟练掌握垂径定理，切线的性质定理是解题的关键．
25. 为了去除衣物上的某种有害物质（记作“P”），某小组研究了衣物上的含量（单位：）与浸泡时长（单位：）的关系，该小组选取甲，乙两类服装样品，将样品分成多份，进行浸泡处理，检测处理后样品中P的含量，所得数据如下：
（1）设浸泡时长为，甲，乙类衣物中的含量分别为，，在平面角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，，并画出函数，的图象；
（2）结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当浸泡时长为时，甲、乙两类衣物中P的含量的差约为_____mg/kg（精确到0.1）；
（3）根据衣物中的含量（单位：）将衣物分为级（含量）、级（含量）和类（含量）．若浸泡时长不超过，其中一类衣物经过浸泡处理后可能达到级标准，该类衣物达到A级标准至少需要浸泡_____h（精确到0.1）．另一类衣物若不能达到级标准，可以添加一种液体去除的含量，设加入液体后的浸泡时间为，去除衣物的含量为，它们之间的关系式为：，则这类衣物经过浸泡处理后可能达到A级标准，该类衣物达到A级标准至少还需要_____
【答案】（1）见解析 （2）6.5
（3）；
【解析】
【分析】本题主要考查了画函数图象，从函数图象获取信息：
（1）先描点，再连线画出对应的函数图象即可；
（2）根据函数图象求解即可；
（3）根据表格中的数据可知当浸泡时长不超过，只有乙的P含量可能低于20，则经过浸泡处理后可能达到A级标准的衣物为乙，再结合函数图象求出浸泡时间即可，当浸泡时长时，甲含P含量是27，要想达标到A级标准需加入液体去除的含量，
该类衣物达到A级标准至少还需要：，解的即可得到结果．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求
【小问2详解】
解：由函数图象可知当浸泡时长为时，甲、乙两类衣物中P的含量的差约为，
故答案为：；
小问3详解】
解：由表格中的数据结合函数图象可知，当浸泡时长不超过时，甲含P的最低量大于20，乙的最低含量可以小于20，
∴经过浸泡处理后可能达到A级标准的衣物为乙，
观察函数图象可知，该类衣物达到A级标准至少需要浸泡，
当浸泡时长时，甲含P含量是27，要想达标到A级标准需加入液体去除的含量，
该类衣物达到A级标准至少还需要：，解得
故答案为：；1．
26. 在平面直角坐标系中，抛物线过点，设抛物线的对称轴为，
（1）求的值；
（2）如果点，，是抛物线上的点，且总有，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）把代入求出得到抛物线的对称轴为直线，即可得到答案；
（2）根据二次函数的性质得到抛物线开口向上，得出，分情况讨论即可得到答案．
【小问1详解】
解：抛物线过点，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
【小问2详解】
解：点，，是抛物线上的点，
，
抛物线开口向上，且总有，
，
，
当时，，不成立；
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，不成立；
的取值范围是．
27. 如图1，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与C、D重合，过点A作的垂线交延长线于点F，连接．
（1）计算的度数；
（2）如图2，过点A作，垂足为G，连接．用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）
（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）先证明，再利用等腰直角三角形的性质得出结论；
（2）连接，先证明，得出，取的中点M，连接，证明，从而得出结论．
【小问1详解】
解：四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形
；
【小问2详解】
．
理由：如图，取的中点，连接，，

是等腰直角三角形，，
是的中点，
，
同理，在中，，
，
，，
，
，
，
；
∵，
为的中位线，
，，
，
在中，，
为等腰三角形，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，作出合适的辅助线是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系中，给定，如果点绕点顺时针旋转，正好落在上，则称点是关于点的“旋转定点”，称点是点关于的“旋转中心”．如果线段绕点顺时针旋转后，正好是的弦，则称线段是关于点的“旋转定弦”，称点是线段关于的“旋转中心”．例如
若是坐标原点，的半径为2，
（1）如图1，在点中，可以作为关于点的“旋转定点”的是_____；
（2）如图2，已知点
①若点是关于点“旋转定点”，并且旋转后刚好落在，求点的坐标；
②点，若线段为关于点的“旋转定弦”，直接写出的坐标．
【答案】（1）P2、P3
（2）①；②或
【解析】
【分析】（1）分别求出绕点顺时针旋转得到的对应点，再利用勾股定理得出对应点与原点的距离，结合的半径为2，逐个判断即可得出结论；
（2）①设点绕点顺时针旋转得到点，则，过点作轴的平行线，且满足，，通过证明得到，，设，，根据坐标系得出关于的方程组，解出的值即可求出点的坐标；
②设线段绕点顺时针旋转得到线段，分别求出点绕原点顺时针旋转得到的对应点，根据图形变换的性质可得线段可以通过平移线段得到，设，，由题意得，得到关于的方程组，解出的值，得出点的坐标，同理①中的方法即可求出点的坐标．
【小问1详解】
解：绕点顺时针旋转，得到点，
绕点顺时针旋转，得到点，
绕点顺时针旋转，得到点，
绕点顺时针旋转，得到点，
，，，，
又半径为2，
点和在上，
可以作为关于点的“旋转定点”的是、．
故答案为：、．
【小问2详解】
解：①设点绕点顺时针旋转得到点，则，
由题意得，，，且点在的上方，
如图，过点作轴的平行线，且满足，，
，，
，
，
，
，
，即，
，
，，
设，，
由坐标系可得，
解得：，
点向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到点，
点的坐标为．
②设线段绕点顺时针旋转得到线段，
点绕原点顺时针旋转，得到点，
点绕原点顺时针旋转，得到点，
由图形变换的性质可知，线段可以通过平移线段得到，
设，，
由题意得，线段是的弦，
，
，
，
解得：或，
当时，则，即点绕点顺时针旋转得到点，
同理①中的方法可得，点的坐标为；
当时，则，即点绕点顺时针旋转得到点，
同理①中的方法可得，点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或．
注意事项
1．本试卷共7页，共两部分，28道题，满分100分．考试时间120分钟．
2．在试卷和答题纸上准确填写学校名称、姓名和准考证号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效．
4．在答题纸上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答．
x (单位：m)
y (单位：m)
3.05
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y=ax2+bx+c
…
t
m
-2
-2
n
…
浸泡时长
P含量衣物
甲类
乙类
0
80
79
2
37
32
4
31
25
6
29
21
8
28
18
10
27
17
12
27
16