北京市第五十七中学上学期九年级期中数学试卷（解析版）-A4

这是一份北京市第五十七中学上学期九年级期中数学试卷（解析版）-A4，共26页。试卷主要包含了在答题卡上准确填写姓名和考号等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷共8页，共两部分，28道题，满分100分．考试时间120分钟．
2．在答题卡上准确填写姓名和考号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，用2B铅笔和黑色字迹签字笔作答．
第一部分 选择题
一、选择题（共30分，每题3分）第1-10题均有4个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列运动项目图片的设计中，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合．据此进行判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，故本选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
2. 中国古代建筑具有悠久的历史传统和光辉的成就，其建筑艺术也是美术鉴赏的重要对象．如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，则它的内角和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据多边形的内角和为，其中n为正多边形的边数，计算即可，此题考查的是求正八边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解决此题的关键．
【详解】解：正八边形的内角和为：
故选A．
3. 等腰三角形的一个角为 40°，则它的底角的度数为（ ）
A. 40°B. 70°C. 40°或 70°D. 80°
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：三角形内角和为180°，等腰三角形两个底角相等，当已知的40°角为底角时，顶角为100°；当已知角为顶角时，底角为70°，所以选C
考点：三角形内角和，等腰三角形性质
点评：基础题目，需掌握三角形内角和和等腰三角形两个底角相等，此题没有明确该角是顶角还是底角，故有两种情况，需要考生特别注意．
4. 要测量河两岸相的两点的距离，先在的垂线上取两点，使，再作出的垂线，使与在一条直线上（如图所示），可以测得的长就是的长（即测得河宽），可由得到，判定这两个三角形全等的理由是（ ）
A. 边角边B. 角边角C. 边边边D. 边边角
【答案】B
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【详解】解：∵证明在△EDC≌△ABC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，
∴用到的是两角及这两角的夹边对应相等即角边角这一方法．
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形全等的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时注意选择．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5. 如图，和关于直线l对称，连接，在直线l上任取一点O，连接，，下列结论中，不一定正确的是（ ）

A. B.
C. l垂直平分D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键；根据轴对称的性质及全等三角形的概念进行求解．
【详解】解：∵和关于直线l对称，
∴，l垂直平分，，
∴只有A选项不一定成立；
故选A．
6. 如图，在中，平分，，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角性质，直角三角形两锐角互余等知识，根据角平分线定义求得，根据直角三角形的两个锐角互余求得，再根据三角形的外角的性质即可求得的度数．
【详解】解：平分，，，
，
，
，
．
故选：B．
7. 如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积是( )

A. 36B. 24C. 12D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】过点作于，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：过点作于，
是的角平分线，，，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
8. 《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（蜨同“蝶”），如图为某蝶几设计图，其中和为“大三斜”组件（大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已某人位于点P处，点P与点A关于直线对称，连接．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的性质，等腰三角形的性质，由点与点关于直线对称求出，再由和等腰直角三角形求出和，进而计算出，最后利用三角形内角和即可求解，熟练掌握轴对称的性质，找出对应边和对应角是解题的关键．
【详解】解：∵点与点关于直线对称，，
∴，，
∵和为两个全等的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，即是等腰三角形，
∴，
故选：．
9. 如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线，交于点D，交于点E，连接．若，则的长为（ ）
A. 10B. 11C. 12D. 13
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，再用求出的值即可．
【详解】解：由作图可知：垂直平分，
∴，
∴．
10. 如图，中，，BF平分，，以下四个结论：①，②，③，④．正确的是（ ）
A. ①②③④B. ①②C. ①③④D. ①②④
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，由即可判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质即可证明，可判断②；不能证明与不一定全等，即可判断③；根据和互余，和互余，而，可得，即可判断④．
【详解】解：∵，
∴，故①正确；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，而与不一定垂直，
∴与不一定全等，
故与不一定相等，故③错误；
∵，
∴和互余，和互余，而，
∴，故④正确．
故选：D．
第二部分 非选择题
二、填空题（共20题，每题2分）
11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为___．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于轴对称点坐标变换规律“横坐标变为相反数、纵坐标不变”，熟练掌握关于轴对称点的坐标变换规律是解题关键．根据关于轴对称点的坐标变换规律求解即可得．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为，
故答案为：．
12. 小宇阅读了一篇《东方窗棂之美》文章，文章中有一张如图所示的图片，图中有许多不规则的多边形组成，代表一种自然和谐美．如图是从图图案中提取的由六条线段组成的图形，若，则的度数是____．

【答案】##300度
【解析】
【分析】本题考查了多边形的外角，根据外角和为即可求解．
【详解】多边形的外角和等于
故答案为：．
13. 已知的边长两边长为2和4，第三边长为偶数，则第三边的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得，可得x的范围，然后再确定x的值即可．
【详解】解：设第三边长为x，由题意得：
，
解得：，
∵第三边长为偶数，
∴，
∴第三边的长为．
故答案为：．
14. 等腰三角形的两边长分别为4，6，则它的周长为________．
【答案】14或16
【解析】
【分析】此题考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系．此题难度不大，解题的关键是注意分类讨论思想的应用，避免漏解．
由等腰三角形两边长为4、6，分别从等腰三角形的腰长为4或6去分析即可求得答案，注意分析能否组成三角形．
【详解】解：①若等腰三角形的腰长为4，底边长为6，
∵，
∴能组成三角形，
∴它的周长是：；
②若等腰三角形的腰长为6，底边长为4，
∵，
∴能组成三角形，
∴它的周长是：，
综上所述，它的周长是：14或16．
故答案为：14或16．
15. 如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角性质，等角对等边，由等边三角形的性质可得，，，再根据三角形外角性质可得，得到，进而即可求解，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵为等边三角形，，
∴，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
16. 如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，若．则的最小值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离，垂线段最短，根据直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离得出点到的距离为，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等得出点到的距离为，根据从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，得出当时，的值最小是2．
【详解】解：根据题意可得：线段的长表示点到的距离，
∵平分，于点，
∴点到的距离等于点到的距离，
即点到的距离为，
故当时，的值最小，
∴的最小值是2．
故答案为：．
17. 如图，在中，，是的垂直平分线，则________．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理；先求出，，根据是的垂直平分线，可求出，再根据等腰三角形的性质求出，最后由即可求出答案．
【详解】解：中，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
故答案是：．
18. 如图，在中，，点E在的延长线上，于点P，交于点F，若，则的长度为_____．
【答案】7
【解析】
【分析】根据△ABC中，AB=AC，EP⊥BC，可以得到∠E=∠EFA，然后根据角相等得出边相等即可求得答案．
【详解】解：在中，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴．
故答案为：7．
【点睛】此题是等腰三角形的性质，主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解本题的关键是灵活运用等腰三角形的性质．
19. 如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．延长至，使，连接，根据证明，则，根据可得，由此可得，即可得出，然后利用线段的和差即可求出的长．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【详解】
如图，延长至G，使，连接，
在和中
，
，
．
，，
，
，
，
．
，
，
．
故答案为：
20. 如图，等腰三角形的底边长为3，面积是12，腰的垂直平分线分别交边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，即可求解．
本题考查了等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线的性质，利用轴对称求最短路径，解题的关键是：掌握轴对称的性质．
【详解】解：连接，
是等腰三角形，点是边的中点，
，，
，
解得：,
是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为的长为，
的周长最小值，
故答案为：．
三、解答题（共50分，第21-22题，每题5分，第2324题每题6分，第25-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
21. 两所大学A、B与两条马路公路m，n位置如图所示，为了方便同学们收取快递，准备在C处修建一个快递接收站，要求快递站到两个大学A、B的距离必须相等，到两条马路，的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图-应用于设计作图，角平分线的性质及作法，线段的垂直平分线的性质及作法，作角平分线，作线段的垂直平分线，得到两个交点即为所求．
【详解】解：如图，点即为所求．
22. 如图，在平面直角坐标系中，．
（1）在图中作出关于轴的对称图形；
（2）写出点的坐标；
（3）的面积为________．
【答案】（1）图见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中关于轴对称的图形， 解题的关键是熟练掌握关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，利用割补法求三角形得面积．
（1）先在平面直角坐标系中描出点关于轴的对称点，再依次连接即可；
（2）关于轴对称的点坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数可求坐标；
（3）割补法求面积，如图2，过作，，，由题意知，计算求解即可．
【小问1详解】
解：如图1，根据的点坐标，找到对应的，依次连接即可．
【小问2详解】
解：∵是关于轴的对称点，
∴的坐标为．
【小问3详解】
解：如图2，过作，，，
∴，
，
．
∴的面积为．
23. 如图，在中，于点与交于点．

（1）求的度数；
（2）若平分平分，试说明．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用三角形的内角和定理求解，再结合垂直的定义，三角形的内角和定理可得答案；
（2）求解．，可得，从而可得结论．
【小问1详解】
解： ，，
，
．
，
，
．
．
小问2详解】
平分，
，
．
平分，
．
，
．
．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的角平分线的含义，平行线的判定，熟记三角形的内角和定理并灵活应用是解本题的关键．
24.
如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．
（1）求证：AB＝DC；
（2）试判断△OEF的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）等腰三角形，理由见解析
【解析】
详解】证明：（1）∵BE＝CF，
∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE．
又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AB＝DC．
（2）△OEF为等腰三角形
理由如下：∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC．
∴OE=OF．
∴△OEF为等腰三角形．
25. 如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、．
求证：
（1），
（2）与的位置关系如何．
【答案】（1）证明见解析
（2）垂直
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，涉及垂直定义、对顶角相等、三角形全等的判定定理、三角形全等的性质、三角形外角性质、垂直判定等知识、熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
（1）由垂直于，垂直于，利用垂直的定义得，由得对顶角相等得，所以．再由，，利用可得出与全等，由全等三角形的对应边相等可得出；
（2）利用全等得出，再利用三角形的外角性质得到，又，利用等量代换可得出，即与垂直．
【小问1详解】
证明：，，
，
又，
，
在和中
，
，
（全等三角形的对应边相等）；
【小问2详解】
解：位置关系是，
理由如下：
，
，
又，，
，
．
26. 如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接．
（1）求证：；
（2）若的周长为，，则的长为多少？
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质：
（1）根据线段垂直平分线的性质可得，，等量代换可得；
（2）先根据已知条件得出，再通过等量代换得出，进而得出，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵的周长为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
27. 如图，在等边中，点D是线段上一点作射线，点B关于射线的对称点为E，连接延长，交射线于点F．

（1）补全图形；
（2）求度数；
（3）用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）
（3），见解析
【解析】
【分析】（1）根据轴对称的基本作图画图即可．
（2） 连接，设，利用等边三角形的性质，对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理解答即可．
（3） 如图，在上截取使得，判定是等边三角形，证明，根据对称性得到，代换证明即可．
【小问1详解】
如图，作于点G，延长到点E，使得，连接延长，交射线于点F．

则E，F为所求点．
【小问2详解】
连接，设，

∵点B关于射线的对称点为E，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，，
∴，
∴．
【小问3详解】
线段、、之间的数量关系为，理由如下：
如图，在上截取使得，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又根据对称性得到，
∴，

∴，
∴，
故．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，轴对称性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，轴对称性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
28. 对于平面直角坐标系内的任意两点，定义它们之间的“直角距离”为．
对于平面直角坐标系内的任意两个图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的“直角距离”有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“直角距离”，记作D（M，N）．
（1）已知，则＝________，＝________；
（2）已知，若，则t的取值范围是________；
（3）已知A（1，0），若坐标平面内的点P满d（P，A）＝1，则在图中画出所有满足条件的点P所构成的图形，该图形的面积是_________；
（4）已知，直线过点且垂直于y轴，若直线上存在点Q满足，则t的取值范围是________．
【答案】（1）3，1；（2）或；（3）画图见解析，2；（4）．
【解析】
【分析】（1）根据“直角距离”的公式代入即可求出的值；利用待定系数法求出AB的表达式，根据题意表示出，最后根据一次函数的增减性即可求解；
（2）首先根据“直角距离”的公式表示出点O和y=-x+1的“直角距离”，然后根据，可判断出，进而可求出t的取值范围；
（3）首先设出点P的坐标为（x，y），根据题意代入表示出d（P，A）＝1，可得出关于x和y的方程，分情况讨论画出所有满足条件的点P所构成的图形，最后求解面积即可．
（4）设点Q的坐标为（x，t），根据题意代入，得到，然后分情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
设AB的表达式为，
将，代入得：，解得，
∴，
∴设线段AB上一点的坐标为（x，-2x+2），且，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴随x的增大而减小，
∵，
∴当时，有最小值，最小值，
∴．
故答案为：3，1；
（2）∵设经过点A和点的表达式为，
代入得：，解得：，
∴．
∴点O和“直角距离”，
∵，
∴，
∴或；
（3）设点P的坐标为（x，y），
∵A（1，0），
∴代入足d（P，A）＝1，得: ，
即．
当时，，即，
当时，；
当时，；
当时，，即，
当时，；
当时，；
∴如图所示，正方形ABCD即所有满足条件的点P所构成的图形，
∴，
∴S正方形ABCD= ；
（4）设点Q的坐标为（x，t），
∵，
∴，即．
∴当时， ，解得：，应舍去；
当时， ，解得：；
∴当时， ，解得：，应舍去；
∴当时， ，解得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：；
∴当时， ，解得：，
∴综上所述，t的取值范围是．