2025秋九年级数学上册第2章一元二次方程综合素质评价试卷（含解析湘教版）

这是一份2025秋九年级数学上册第2章一元二次方程综合素质评价试卷（含解析湘教版），共13页。
第2章综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1.[教材P29习题T5]　下列方程是一元二次方程的是(　　)A．ax2＋bx＋c＝0 B．x2－y＋1＝0 C．x2＝0 D．x＋eq \f(1,x2)－1＝02．方程2(x2－1)＋1＝3x(x－1)中，二次项系数、一次项系数和常数项分别是(　　)A．1，－3，1 B．－1，－3，1 C．1，3，－1 D．1，3，13．如果关于x的方程(x－9)2＝m＋4可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是(　　)A．m＞3 B．m≥3 C．m＞－4 D．m≥－44．[2025娄底月考]用配方法解方程x2－4x＋1＝0，配方后的方程是(　　)A．(x－2)2＝3 B．(x＋2)2＝3 C．(x＋2)2＝5 D．(x－2)2＝55．若关于x的一元二次方程(a－2)x2＋2 013x＋a2－4＝0的一个根是0，则a的值是(　　)A．2 B．－2 C．2或－2 D．06.《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹抵地”问题，大意为：“一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”(备注：1丈＝10尺)如果设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为(　　)A．x2＋42＝(10－x)2 B．(10－x)2＋42＝x2 C．x2＋(10－x)2＝42 D．x(10－x)＝427．已知m，n是一元二次方程x2＋x－2 026＝0的两个实数根，则代数式m2＋2m＋n的值为(　　)A．2 025 B．2 026 C．2 027 D．2 0288．若菱形两条对角线的长度是方程x2－6x＋8＝0的两个根，则该菱形的边长为(　　)A.eq \r(5) B．4 C．25 D．59. 若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是(　　)10．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有下列说法：①若方程有两实数根为1，－2，则ax2＋bx＋c分解因式得a(x＋1)(x－2) ；②若ac＜0 ，则方程有两个不相等的实数根；③若a－b＋c＝0，则方程一定有一个根为－1；④若方程有两个不等于0的实数根x1，x2，则方程cx2＋bx＋a＝0一定有两实数根eq \f(1,x1) ，eq \f(1,x2).其中正确的有(　　)A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④二、填空题(每题3分，共24分)11．若方程(a－2)xa ²－2＋4x＋3＝0是关于x的一元二次方程，则a的值为____________．12. 已知一个一元二次方程有一个根为－1，且常数项为0，请写出一个满足要求的方程：____________．13. 若关于x的一元二次方程ax2＋bx－3＝0的一个根是x＝1，则代数式2 027－a－b的值为____________．14．一个两位数，其个位上的数与十位上的数的和等于6，而个位与十位上的数的积等于这个两位数的三分之一，则这个两位数为________．15．[2025无锡期末]若方程x2－4 096 576＝0的两根为x1＝2 024，x2＝－2 024，则方程x2－2x－4 096 575＝0的两根为______________________．16．为了节省材料，某农场水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为120米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，且这三块矩形区域的面积都为225平方米，则图中a的值为________．17.[教材P57复习题T14]　已知a，b，c是△ABC的三边长，若方程(a－c)x2＋2bx＋a＋c＝0有两个相等的实数根，则△ABC是______三角形．18.已知关于x的一元二次方程 m(x－a)2 ＋b＝0与n(x－a)2 ＋b＝0，称其为“同族二次方程”．如2(x－1)2 ＋3 ＝0 与6(x－1)2 ＋3＝0 是“同族二次方程”．若关于x的一元二次方程2(x－1)2 ＋1 ＝0 与(a＋6)x2－(b ＋8)x＋6 ＝0 是“同族二次方程”，则代数式 ax2 ＋bx ＋2 025能取得的最大值是____________．三、解答题(19，20题每题6分，21，22题每题8分，23，24题每题9分，25，26题每题10分，共66分)19.[教材P56复习题T3]　 解方程：(1)(2x＋3)2＝81；　　　　　(2)x2－4x＋1＝0；　　　　(3)3x2＋4x－1＝0.20. 下面是小刚在作业本中做的一道题，老师说小刚的方法有问题，可是小刚不明白，你能帮帮他吗？解一元二次方程：(2x－1)2＝4x－2 .解：原方程变形为 (2x－1)2＝2(2x－1)，…………①两边同时除以(2x－1)，得2x－1＝2，…………②移项、合并，得2x＝3，…………③系数化为1，得x＝eq \f(3,2).…………④上述解法中，第一步采用的是____________法解方程，第二步的依据是____________，你认为第____________步有问题，问题在于____________，请你将该方法正确的过程写出来．21．已知关于x的一元二次方程x2－(m＋4)x＋m＋3＝0.(1)求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根；(2)若方程两个根均为正整数，求负整数m的值．22．[2025合肥模拟]高乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和灰色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题：(1)图①中的灰色正方形有：1＋1＝1＋eq \f(1×（1＋1）,2)(个)；图②中的灰色正方形有：1＋1＋2＝1＋eq \f(2×（1＋2）,2)(个)；图③中的灰色正方形有：1＋1＋2＋3＝1＋eq \f(3×（1＋3）,2)(个)；图④中的灰色正方形有：1＋1＋2＋3＋4＝1＋eq \f(4×（1＋4）,2)(个)；…；图中的灰色正方形有：__________________________．(2)图①中，白色正方形比灰色正方形多1个；图②中，白色正方形比灰色正方形多2个；图③中，白色正方形比灰色正方形多3个；…；则图中的白色正方形有________个．(3)若图中灰色正方形的个数比等边三角形的个数多45，求图中白色正方形的个数．23.湖南长沙是一个充满文化底蕴的城市，拥有着丰富的旅游特色纪念品．随着国庆小长假旅游旺季的到来，某市某店铺购进了一批旅游纪念品，“文创T恤”和“纪念湘绣”，进货价和销售价如下表： (1)该店铺购进“文创T恤”和“纪念湘绣”共80件，且进货总价不高于4 900元，若进货后能全部售出，则分别购进“文创T恤”和“纪念湘绣”多少件，才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少？ (2)该店铺为了在国庆假期中尽快售完“文创T恤”，打算调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售8件，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，能使“文创T恤”平均每天销售利润为256元？ 24．[2025衡阳二中模拟]如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6厘米，BC＝8厘米．点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动．P，Q两点分别从A，B两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动．设移动时间为t秒(t＞0)．(1)经过几秒时，△PBQ的面积等于△ABC面积的三分之一？(2)经过几秒时，P，Q相距6厘米？25．阅读理解并解答：【方法呈现】(1)配方法在代数式求值、解方程、解决最值问题中都有着广泛的应用．例如：x2＋2x＋3＝(x2＋2x＋1)＋2＝(x＋1)2＋2.∵(x＋1)2≥0，∴(x＋1)2＋2≥2.则代数式x2＋2x＋3的最小值为____________，这时相应的x的值是____________；【尝试应用】(2)求代数式x2－8x＋10的最小值或最大值；【拓展提高】(3)已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2＋b2＝10a＋8b－41，求c的取值范围．26．根据以下素材，完成探索任务： 答案一、1.C　2.A　3.D　4.A　5.B　6.A　7.A　8．A【点拨】解方程x2－6x＋8＝0，得x1＝2，x2＝4.如图，四边形ABCD为菱形，AC>BD，∴AC＝4，BD＝2.∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOD＝90°，AO＝CO＝2，BO＝DO＝1.由勾股定理得AD＝eq \r(AO2＋DO2)＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5)，即菱形的边长为eq \r(5).故选A.9．B10．C　【点拨】若方程有两实数根为1，－2，则ax2＋bx＋c分解因式得a(x－1)(x＋2)，故①错误；若ac0，则方程有两个不相等的实数根，故②正确；当x＝－1时，ax2＋bx＋c＝a－b＋c，∴若a－b＋c＝0，则方程一定有一个根为－1，故③正确；∵方程有两个不等于0的实数根x1，x2，∴x1＋x2＝－eq \f(b,a)，x1x2＝eq \f(c,a)≠0.∴c≠0.∴方程cx2＋bx＋a＝0为一元二次方程．∵x1＋x2＝－eq \f(b,a)，x1x2＝eq \f(c,a)≠0，∴eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)＝eq \f(x1＋x2,x1x2)＝－eq \f(b,c)，eq \f(1,x1)·eq \f(1,x2)＝eq \f(a,c)，∴方程cx2＋bx＋a＝0一定有两实数根eq \f(1,x1)，eq \f(1,x2)，故④正确．故选C.二、11.－2　12.x2＋x＝0(答案不唯一)　13.2 024 14．24或1515．x1＝2 025，x2＝－2 023 【点拨】x2－2x－4 096 575＝0，则x2－2x＝4 096 575.∴(x－1)2＝4 096 576.∴x－1＝±2 024.∴x1＝2 025，x2＝－2 023.16．30　17.直角18．2 026　【点拨】由“同族二次方程”的定义，可知(a＋6)x2－(b＋8)x＋6＝0可以转化为(a＋6)(x－1)2＋1＝0.∵(a＋6)(x－1)2＋1 ＝(a＋6)x2－2(a＋6)x＋a＋6＋1，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（a＋6）＝b＋8，,a＋6＋1＝6，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a ＝－1，,b＝2.))则ax2＋bx＋2 025＝－x2＋2x＋2 025＝－(x2－2x＋1)＋1＋2 025＝－(x－1)2＋2 026≤2 026，∴代数式ax2＋bx ＋2 025能取得的最大值是 2 026.三、19.【解】(1)(2x＋3)2＝81，2x＋3＝±9，解得x1＝3，x2＝－6.(2)x2－4x＋1＝0，x2－4x＝－1，x2－4x＋4＝－1＋4，(x－2)2＝3，x－2＝±eq \r(3)，解得x1＝2＋eq \r(3)，x2＝2－eq \r(3).(3)方程3x2＋4x－1＝0中，a＝3，b＝4，c＝－1，Δ＝42－4×3×(－1)＝28，∴x＝eq \f(－4±\r(28),2×3)＝eq \f(－4±2\r(7),6)＝eq \f(－2±\r(7),3)，∴x1＝eq \f(－2＋\r(7),3)，x2＝eq \f(－2－\r(7),3).20．【解】因式分解；等式的性质；②；2x－1可以为0正确解法：(2x－1)2＝4x－2，原方程变形为(2x－1)2＝2(2x－1)，移项，得(2x－1)2－2(2x－1)＝0，∴(2x－1)(2x－1－2)＝0，∴2x－1＝0或2x－1－2＝0，∴x1＝eq \f(1,2)，x2＝eq \f(3,2).21．(1)【证明】∵Δ＝b2－4ac＝[－(m＋4)]2－4(m＋3)＝ (m＋2)2≥0，∴无论实数m取何值，方程总有两个实数根．(2)【解】∵x2－(m＋4)x＋m＋3＝0，∴x＝eq \f(（m＋4）±\r(（m＋2）2),2)，解得x＝1或x＝m＋3.∵方程的两个根均为正整数，∴m＋3>0，即m>－3.又∵m是负整数，∴m＝－1或m＝－2.22．【解】(1)1＋1＋2＋3＋…＋n＝1＋eq \f(n（1＋n）,2)(个)(2)eq \f(（n＋2）（n＋1）,2)(3)由题图可知，图中等边三角形的个数为(n＋1)．∵图中灰色正方形比等边三角形多45个，∴1＋eq \f(n（1＋n）,2)＝n＋1＋45，解得n＝10或n＝－9(舍去)．当n＝10时，eq \f(（n＋2）（n＋1）,2)＝eq \f(12×11,2)＝66，∴图中白色正方形的个数为66.23．【解】(1)设购进“文创T恤”x件，则购进“纪念湘绣”(80－x)件，根据题意得59x＋66(80－x)≤4 900，解得x≥eq \f(380,7)，设利润为w元，则w＝(79－59)x＋(88－66)(80－x)＝－2x＋1 760，要使利润最大，则x取最小值．∵x≥eq \f(380,7)，x为正整数，∴x＝55.∴当购进“文创T恤”55件，“纪念湘绣”25件时，有最大利润，最大利润为1 760－2×55＝1 650(元)．(2)设“文创T恤”销售价定为每件a元，(a－59)[2(79－a)＋8]＝256，解得a1＝75，a2＝67.∵为尽快售完，∴a＝67.答：“文创T恤”销售价定为每件67元，能使“文创T恤”平均每天销售利润为256元．24．【解】(1)根据题意，得eq \f(1,2)×2t(6－t)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×6×8，解得t＝2或t＝4.由题意易知0＜t≤4，则t＝2或t＝4均符合题意．答：经过2秒或4秒时，△PBQ的面积等于△ABC面积的三分之一．(2)根据题意，得(6－t)2＋(2t)2＝62，解得t＝0(不合题意，舍去)或t＝eq \f(12,5).答：经过eq \f(12,5)秒时，P，Q相距6厘米．25．【解】(1)2；－1(2)x2－8x＋10＝x2－8x＋16－6＝(x－4)2－6.∵(x－4)2≥0，∴(x－4)2－6≥－6，∴代数式x2－8x＋10有最小值－6.(3)∵a，b，c是△ABC 的三边长，满足a2＋b2＝10a＋8b－41，∴a2 ＋b2－10a－8b＝－41.∴易得(a－5)2＋(b－4)2＝0.∴a－5＝0，b－4＝0.∴a＝5，b＝4.∵a－b