数学九年级下册用相似三角形解决问题导学案

这是一份数学九年级下册用相似三角形解决问题导学案，文件包含专题61相似图形比例线段举一反三讲义数学苏科版九年级下册原卷版docx、专题61相似图形比例线段举一反三讲义数学苏科版九年级下册解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共26页， 欢迎下载使用。
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\l "_Tc30318" 【题型1 识别相似图形】 PAGEREF _Tc30318 \h 2
\l "_Tc28223" 【题型2 由相似形的性质求值】 PAGEREF _Tc28223 \h 3
\l "_Tc28619" 【题型3 成比例线段】 PAGEREF _Tc28619 \h 6
\l "_Tc23004" 【题型4 由比例的性质判断结论正误】 PAGEREF _Tc23004 \h 7
\l "_Tc4734" 【题型5 由比例的性质求值】 PAGEREF _Tc4734 \h 10
\l "_Tc31564" 【题型6 比例的应用】 PAGEREF _Tc31564 \h 11
\l "_Tc25399" 【题型7 由黄金分割求值】 PAGEREF _Tc25399 \h 14
\l "_Tc29992" 【题型8 黄金分割的应用】 PAGEREF _Tc29992 \h 16
知识点1 相似多边形
1.定义：把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者说是相似形. 两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边长度的比相等,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似
比或相似系数.
知识点2 比例线段
1.定义：如果a:b=c:d（或ab=cd ），那就说a, b, c, d成比例。两条线段的长度的比叫做两条线段的比.
对于四条线段a, b, c, d, 如果 a:b=c:d（或表示为ab=cd ），那么a, b, c, d叫做成比例线段，简称比例线段．这时，线段a，d是比例外项，线段b，c是比例内项.
性质：
基本性质：ab=cd ⟺ad=bc, ba=dc , ca=db
合比性质：ab=cd ⟺a+bb=c+dd, ab=cd ⟺a−bb=c−dd
等比性质：ab=cd=k ⟺a+cb+d=ab=cd=k
知识点3 黄金分割
如果点P把线AB 分割成AP和PB（AP＞PB）两段，其中AP是AB 和PB的比例中项，即这种分割为黄金分割，点P称为线段AB 的黄金分割点.
AP与PB的比值5−12称为黄金分割数（简称黄金数）.黄金分割数是一个无理数，在应用时取其接近值0.618。
【题型1 识别相似形】
【例1】（24-25八年级下·重庆江北·阶段练习）下列选项中，是相似图形的是（ ）
A． B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同．根据形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可．
【详解】解：A、两个图形形状相同，相似，符合题意；
B、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意；
C、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意；
D、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意。
故选：A．
【变式1-1】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，用放大镜将平遥古城旅游图标放大，则放大前后两个图形之间属于图形的 ．（从平移、轴对称、相似、旋转中选）
【答案】相似
【分析】本题考查相似的应用，根据题意可知，将图标放大，图形大小发生了变化，结合平移、轴对称和旋转不改变图形大小可以确定，这两个图是相似关系，从而得到答案．
【详解】解：根据相似的定义及性质可知，用放大镜将平遥古城旅游图标放大，两个图形的形状相同，大小不同，因此这两个图形的关系是相似，
故答案为：相似．
【变式1-2】（24-25九年级上·河南郑州·期末）人们出行方式越来越丰富，以下四组LOGO中，不相似的一组是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查的知识点是相似图形的定义，解题关键是熟练掌握相似图形的定义．
结合相似图形的定义对选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，A选项错误；
B选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，B选项错误；
C选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，C选项错误；
D选项，两个图形形状不同，不符合相似定义，符合题意，D选项正确．
故选：D．
【变式1-3】（24-25九年级上·河北邯郸·期末）下列各选项中，平行于原正多边形一边的直线将其分成两部分，其中阴影部分多边形与原多边形相似的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了相似多边形的判定，根据相似多边形的定义逐项进行判断即可．
【详解】解：A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意；
B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；
C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；
D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；
故选：A．
【题型2 由相似形的性质求值】
【例2】（24-25九年级上·全国·假期作业）在学校的科技活动中，同学们使用复印机放大图片．如图，小雨将一张长为5cm，宽为3cm的矩形图片放大，其中放大后的矩形的宽为9cm，那么放大后的矩形的长为（ ）
A．15cmB．18cmC．20cmD．25cm
【答案】A
【分析】本题考查相似多边形，熟练掌握相似图形的相似比等宽的比、长的比是解题的关键．
利用相似多边形的性质求解．
【详解】解：设放大后的长为xcm．
由题意：93=x5，
解得：x=15．
所以放大后的矩形的长为15cm．
故选：A．
【变式2-1】（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不变的是（ ）
A．每条边的长度B．每个内角的度数C．面积D．周长
【答案】B
【分析】本题考查的知识点是相似多边形的性质，解题关键是熟练掌握相似多边形的性质．根据相似多边形的性质即可得解．
【详解】解：由题意得：用放大镜看到的多边形与原多边形相比较是相似的关系，
用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，周长、面积、每条边的长度的长度均增大了，但每个内角的度数保持不变．
故选：B．
【变式2-2】（24-25九年级上·天津南开·期末）如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，点A, B, C, D的对应点分别为E, F, G, H，则下列结论正确的是（ ）
A．∠D=81°B．∠F=83°C．∠G=78°D．∠H=91°
【答案】A
【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形对应角相等是解题的关键．利用相似多边形的对应角相等性质，再结合四边形的内角和为360°，求出每一个内角的角度，即可得出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，
∴∠F=∠B=78°，∠G=∠C=83°，∠A=∠E=118°，∠D=∠H，
又∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴∠H=∠D=360°−∠A−∠B−∠C=81°．
故选：A．
【变式2-3】（2025九年级下·全国·专题练习）2024年10月1日，是伟大祖国75周年华诞，全国各地都升起了鲜艳的五星红旗——国旗．国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面不符合标准，这面国旗是 ．

【答案】（2）
【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟知似多边形对应边的比相等是解题的关键．利用相似多边形对应边的比相等求解即可．
【详解】解∶∵160240=23，120160=34，96144=23，6496=23，
∴160240=96144=6496≠120160，
则（2）不符合标准，
故答案为∶（2）．
【题型3 成比例线段】
【例3】（24-25八年级下·吉林长春·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．a=4cm，b=6cm，c=5cm，d=10cm
B．a=2cm，b=3cm，c=4cm，d=6cm
C．a=2cm，b=3cm，c=4cm，d=1cm
D．a=2cm，b=3cm，c=2cm，d=3cm
【答案】B
【分析】本题考查比例线段的概念．注意掌握在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．
由题意根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，依次对各选项进行分析判断．
【详解】解：
A．5×6≠4×10，这四条线段不成比例，故不符合题意；
B．3×4=2×6，这四条线段成比例；符合题意；
C．3×4≠1×2，这四条线段不成比例，故不符合题意；
D．2×3≠2×3，这四条线段不成比例，故不符合题意；
故选：B．
【变式3-1】（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）已知c是a，b的比例中项，a=2，c=4，则b= ．
【答案】8
【分析】此题考查了比例中项的定义，如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即ca=bc或c2=ab，那么线段c叫做线段a、b的比例中项． 根据比例中项的定义即可求解．
【详解】解：∵c是a，b的比例中项，
∴c2=ab，
∵a=2，c=4，
∴b=422=8，
故答案为：8
【变式3-2】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知线段a=1,b=9，线段c是线段a、b的比例中项，则c=（ ）
A．1B．3C．5D．9
【答案】B
【分析】本题考查了比例中项，成比例线段，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据题意得到ac=cb，得出c2=ab，求出c=3，即可得到答案．
【详解】解：∵线段a=1,b=9，线段c是线段a、b的比例中项，
∴ac=cb，
∴c2=ab，
∴c2=1×9，
∴c=±3，
∵c是线段，
∴c>0，
∴c=3，
故选：B．
【变式3-3】（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）已知a，b，c，d是比例线段，若a=2，b=3，c=4，则d的长可能是（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】D
【分析】此题考查了成比例线段的定义．由a、b、c、d四条线段是成比例线段，根据成比例线段的定义，可得ab=cd，又由a=2，b=3，c=4，即可求得d的值．
【详解】解：∵a、b、c、d是成比例线段，a=2，b=3，c=4
∴ab=cd，
即24=3d，
∴d=6．
故选：D．
【题型4 由比例的性质判断结论正误】
【例4】已知四条线段a，b，c，d满足ab=cd，则下列等式一定成立的是（ ）
A．ad=cbB．a+cb+d=abC．a2b=c2bD．2a+c2d+b=ad
【答案】B
【分析】根据比例的性质得到ad＝bc，可判断A，根据分式的性质可判断C，根据分式的和比性质可判断B，D．
【详解】解：A、由已知ab=cd得ad＝bc，故选项不符合题意；
B、根据分式的合比性质，等式一定成立，故选项符合题意；
C、根据分式的性质可知该等式不成立，故选项不符合题意；
D、根据分式的合比性质，等式不一定成立，故选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了比例线段，比例的性质，熟练掌握比例线段的定义是解题的关键．
【变式4-1】（24-25六年级下·上海·阶段练习）将等式120×15=125×14改写成比例式，正确的是（ ）
A．120:14=125:15B．14:15=125:120
C．125:14=120:15D．15:125=120:14
【答案】A
【分析】本题考查了比例的性质，理解两内项之积等于两外项之积是解答解答关键．
根据两内项之积等于两外项之积来进行改写即可．
【详解】解：根据比例的性质可得
将等式120×15=125×14改写成比例式为：120：14=125：15．
故选：A．
【变式4-2】已知2a=3b，则下列式子正确的是（ ）
A．ab=23B．a−bb=13C．a+bb=52D．a+2b+2=45
【答案】C
【分析】本题考查了比例是性质，根据内项之积等于外项之积，对各个选项进行整理化简，即可求解；掌握性质“若ab=cd，则ad=bc．”是解题的关键．
【详解】解：A.整理得3a=2b，结论错误，故不符合题意；
B.整理得3a=4b，结论错误，故不符合题意；
C.整理得2a=3b，结论正确，故符合题意；
D.整理得5a=4b−2，结论错误，故不符合题意；
故选：C．
【变式4-3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）若ab=cd=ef=57（b、d、f均为正数），则下列式子不一定成立的是（ ）
A．a+ba−b=−6B．2a+c−e2b+d−f=57
C．c+ed+f=a+5b+7D．a+c+e+5b+d+f+7=57
【答案】B
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键．对于实数a，b，c，d，且b、d、f均为正数，如果ab=cd，则a+cb+d=ab．由ab=cd=ef=57，b、d、f均为正数，可得：a=57b，c=57d，e=57f，a≠b，b+d+f+7≠0，再结合比例的性质逐项分析即可．
【详解】解：∵ab=cd=ef=57，b、d、f均为正数，
∴a=57b，c=57d，e=57f，a≠b，b+d+f+7≠0，
A． a+ba−b=57b+b57b−b=5b+7b5b−7b=−6，故不符合题意；
B． ∵ab=cd=ef=57，
∴2a2b=cd=−e−f=57，
当2b+d−f≠0时
∴2a+c−e2b+d−f=57，故符合题意；
C． ∵ab=cd=ef=57，
∴c+ed+f=57，a+5b+7=57，
∴c+ed+f=a+5b+7，故不符合题意；
D． ∵ab=cd=ef=57，b、d、f均为正数，b+d+f+7≠0，
∴a+c+e+5b+d+f+7=57，故不符合题意；
故选B．
【题型5 由比例的性质求值】
【例5】已知2ab+c=2ba+c=2ca+b=k，则k=（ ）
A．1B．±1C．1或−2D．2
【答案】C
【分析】本题考查了比例的性质，熟悉等比性质是解题的关键．分两种情况进行讨论：①当a+b+c≠0时，根据等比性质计算得出结果；②当a+b+c=0时，则a+b=−c，代入k=2ca+b计算得出结果．
【详解】解：分两种情况：
①当a+b+c≠0时，得k=2a+2b+2cb+c+a+c+a+b=1；
②当a+b+c=0时，
则a+b=−c，k=2ca+b=−2；
综上所述，k的值为1或−2．
故选：C．
【变式5-1】若ab=cd=13（b+d+3≠0），则a+c+1b+d+3＝ ．
【答案】13．
【分析】利用等比的性质求解．
【详解】解：∵ab=cd=13（b+d+3≠0），
∴a+c+1b+d+3＝13．
故答案为13．
【点睛】此题考查了比例线段：灵活应用比例的性质进行计算．
【变式5-2】若ab=cd=ef=13且b−2d+3f≠0，则a−2c+3eb−2d+3f的值为（ ）
A．16B．13C．12D．56
【答案】B
【分析】先利用分式的基本性质得到ab=−2c−2d=3e3f=13，然后根据等比性质解决问题．
【详解】解：∵ab=cd=ef=13，
∴ab=−2c−2d=3e3f=13，
又b−2d+3f≠0，
∴a−2c+3eb−2d+3f=13
故选B
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的系数是解题的关键．
【变式5-3】已知ab=cd=nm=23，则当b+d﹣m≠0时，a+c−nb+d−m＝（ ）
A．﹣1B．1C．−23D．23
【答案】D
【分析】根据已知条件ab=cd=nm=23写出a=23b，c=23d，n=23m，代入a+c−nb+d−m化简得到23(b+d−m)b+d−m，结合b+d−m≠0，求出a+c−nb+d−m的值为23．
【详解】解：∵ab=cd=nm=23，
∴a=23b，c=23d，n=23m，
∵b+d−m≠0，
∴a+c−nb+d−m=23b+23d−23mb+d−m=23(b+d−m)b+d−m=23．
故选：D
【点睛】本题考查了比例的基本性质，解决问题的关键是熟练掌握比例的基本性质，运用比例的基本性质把比例式变形，代入所求式子，提公因式化简．
【题型6 比例的应用】
【例6】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）小明坐汽车，小刚骑自行车，同时从甲地匀速驶往乙地．已知汽车经过两地中点时，自行车行驶了全程的25；当汽车到达终点时，自行车行驶了24km．甲、乙两地相距多少千米？（用比例解）
【答案】甲乙两地相距30千米
【分析】本题考查了比例的应用，理解题意是解题关键．根据行驶时间列比例，再解比例即可．
【详解】解：设甲、乙两地相距x千米，
则12:25=x:24，
25x=24×12，
25x=12，
x=30，
答：甲、乙两地相距30千米．
【变式6-1】已知杠杆平衡条件公式F1F2=L2L1，其中F1,F2, L1，L2均不为零，用F1,F2,L2的代数式表示L1正确的是( )
A．L1=F1F2L2B．L1=L2F1F2
C．L1=F2L2F1D．L1=F1F2L2
【答案】C
【分析】根据比例的性质改写即可.
【详解】∵F1F2=L2L1
∴F1L1=F2L2，
∴L1=F2L2F1 .
故选C.
【点睛】本题考查了比例的基本性质，如果a∶b=c∶d或ab=cd，那么ad=bc，即比例的内项之积与外项之积相等；反之，如果ad=bc，那么a∶b=c∶d或ab=cd（bd≠0）.
【变式6-2】一间教室要用方砖铺地．用边长是3分米的正方形方砖，需要960块，如果改用边长为2分米的正方形方砖，需要多少块？
【答案】2160块
【分析】由题意可知：教室的地面面积是一定，则方砖的面积与所需要方砖的块数成反比，据此即可列比例求解．
【详解】解：设需要这样的方砖x块，
2×2×x=3×3×960
4x=8640
x=2160
答：需要这样的方砖2160块．
【点睛】本题考查了比例的应用，解题的关键是由题意列出方程．
【变式6-3】（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，复合轮系由42齿的齿轮B和18齿的齿轮C叠接而成．齿轮A（30齿）与齿轮B啮合，齿轮C与齿轮D（60齿）啮合．若齿轮A的转速为7000圈/分．求
(1)齿轮D的转速；
(2)整个系统的降速率（精确到0.1%）
【答案】(1)1500圈/分
(2)78.6%
【分析】本题考查齿轮传动中转速与齿数的比例关系及降速率计算，解题关键是依据啮合齿轮同时间齿数转过相同列比例式，利用叠接齿轮转速相等过渡求解，准确用降速率公式计算．
（1）根据齿轮传动原理，相互啮合的齿轮，其转速与齿数成反比例关系，即齿数越多，转速越慢，且转速与齿数的乘积是一个定值，列出比例解答即可；
（2）根据降速率=VA−VDVA×100%即可解答．
【详解】（1）解：设齿轮B的转速为x圈/分．
因为，齿轮A与齿轮B啮合，
所以，A的转速与A的齿数的乘积等于B的转速与B的齿数的乘积，列比例式得：
7000×30=42x
x=7000×3042=5000（圈/分）
因为，由于齿轮B和齿轮C叠接，它们的转速相同，所以齿轮C的转速也是5000圈/分．
设齿轮D的转速为y圈/分．齿轮C与齿轮D啮合， C的转速与C的齿数的乘积等于D的转速与D的齿数的乘积，列比例式得：
5000×18=60y
y=5000×1860=1500（圈/分）．
（2）解：因为齿轮A转速为7000圈/分，D转速为1500圈/分，
根据题意得：7000−15007000×100%=55007000×100%≈78.6% ．
【题型7 由黄金分割求值】
【例7】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）点C、D是线段AB的两个黄金分割点，若AB=2，则CD的长为（ ）
A．3−5B．22−4C．25−4D．3−2
【答案】C
【分析】本题考查了黄金分割，线段的和差，由题意可得AC=BD=5−12AB=5−1，再由线段的和差计算即可得解．
【详解】解：如图：
，
∵点C、D是线段AB的两个黄金分割点，
∴AC=BD=5−12AB=5−1，
∴CD=AC+BD−AB=5−1+5−1−2=25−4，
故选：C．
【变式7-1】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，点C，点D是线段AB的两个黄金分割点，点C （填是或不是）线段AD的一个黄金分割点．
【答案】是
【分析】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB:AC=AC:BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=5−12AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
利用黄金分割的定义得到AD=5−12AB,BC=5−12AB，可判断AD=BC，AC=BD，再表示出AC=AB−BC=3−52AB，然后计算出AC:AD=5−12，从而可判断点C是AD的黄金分割点．
【详解】解：∵点C，点D是线段AB的两个黄金分割点，
∴AD=5−12AB,BC=5−12AB，
∴AD=BC，
∴AD−CD=BC−CD，
即AC=BD，
∴AC=AB−BC=AB−5−12AB=3−52AB，
∴AC:AD=3−52AB:5−12AB=5−12，
∴点C是AD的黄金分割点．
故答案为：是．
【变式7-2】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）宽与长的比是5−12的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形(AB