初中数学苏科版（2024）九年级下册用相似三角形解决问题一课一练

这是一份初中数学苏科版（2024）九年级下册用相似三角形解决问题一课一练，文件包含专题01相似三角形的八大模型举一反三专项训练数学苏科版九年级下册原卷版docx、专题01相似三角形的八大模型举一反三专项训练数学苏科版九年级下册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共80页， 欢迎下载使用。

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\l "_Tc9599" 【题型1 “A字”相似模型】 PAGEREF _Tc9599 \h 6
\l "_Tc22016" 【题型2 “8字”相似模型】 PAGEREF _Tc22016 \h 7
\l "_Tc12641" 【题型3 “一线三等角”相似模型】 PAGEREF _Tc12641 \h 8
\l "_Tc25468" 【题型4 “射影定理”模型】 PAGEREF _Tc25468 \h 10
\l "_Tc8097" 【题型5 “飞鱼”模型】 PAGEREF _Tc8097 \h 11
\l "_Tc22081" 【题型6 “手拉手”相似模型】 PAGEREF _Tc22081 \h 12
\l "_Tc2533" 【题型7 “十字架”相似模型】 PAGEREF _Tc2533 \h 14
\l "_Tc24155" 【题型8 “对角互补型”相似模型】 PAGEREF _Tc24155 \h 16
模型一 A字模型
（一）模型特征
（二）模型拓展
模型二 8字模型
（一）模型特征
（二）模型拓展
模型三 一线三等角模型
（一）模型特征
（二）模型拓展
模型四 射影定理模型
模型特征
模型五 飞鱼模型
（一）模型特征
（二）模型拓展
模型六 手拉手模型
（一）模型特征
（二）模型拓展
模型七 十字架模型
模型特征
模型八 对角互补模型
模型特征
【题型1 “A字”相似模型】
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，D是AB上一点，点E在BC上，连接CD，AE交于点F，若∠CFE=45°，BD=2AD，则CE= ．
【变式1-1】如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠ADE=∠C，如果AD=3，△ADE的面积为9，四边形BDEC的面积为16，则AC的长为 ．
【变式1-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在▱ABCD中，BD为▱ABCD的对角线，请用尺规作图法在BD的延长线上找一点E，使得△CDB∽△ECB．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式1-3】如图，P为▱ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2．若S=3，则S1+S2的值是（ ）

A．24B．12C．6D．10
【题型2 “8字”相似模型】
【例2】如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点．
（1）求证：∠BDE=∠ACD；
（2）若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG；
（3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2．
①求证：AB·BE=AD·BC；
②若DE=4DF，请直接写出SΔABC:SΔDEC的值．
【变式2-1】如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE，交AC于点O，交AD于点F．求证：BO2=EO⋅FO．
【变式2-2】如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．
（1）求证：△PCQ∽△RDQ；
（2）求BP：PQ：QR的值．
【变式2-3】如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，连接AE，若AE的延长线和BC的延长线相交于点F．
（1）求证：BC=CF；
（2）连接AC和BE相交于点为G，若△GEC的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．
【题型3 “一线三等角”相似模型】
【例3】如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接PB，过点P作PE⊥PB，交DC于点E，已知AD=3，AC=5．设AP的长为x．
(1)AB=___________；当x=1时，求PEPB的值；
(2)试探究：PEPB是否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；
(3)当△PCE是等腰三角形时，请求出x的值．
【变式3-1】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D, E分别在边BC, AC上，∠ADE=∠ABC．
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)如果AB=8，BC=6，AE=7，求DC的长．
【变式3-2】如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE；
(1)求证：△ABE∽△ECD；
(2)若AB=4，AE=BC=5，求CD的长；
(3)当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由．
【变式3-3】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线AB与y轴交于点A，与x轴交于点B，OA=2，△AOB的面积为2．
(1)如图1，求直线AB的解析式．
(2)如图2，线段OA上有一点C，直线BC为y=kx−2k(k