初中数学图形的位似学案设计

这是一份初中数学图形的位似学案设计，文件包含专题66图形的位似举一反三讲义数学苏科版九年级下册原卷版docx、专题66图形的位似举一反三讲义数学苏科版九年级下册解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共46页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc4915" 【题型1 位似图形的概念】 PAGEREF _Tc4915 \h 2
\l "_Tc8478" 【题型2 画位似图形】 PAGEREF _Tc8478 \h 4
\l "_Tc14898" 【题型3 求两个位似图形的相似比】 PAGEREF _Tc14898 \h 5
\l "_Tc5608" 【题型4 求位似图形的线段长度】 PAGEREF _Tc5608 \h 7
\l "_Tc32678" 【题型5 求两个位似图形的周长比】 PAGEREF _Tc32678 \h 8
\l "_Tc14017" 【题型6 求两个位似图形的面积比】 PAGEREF _Tc14017 \h 9
\l "_Tc13212" 【题型7 求位似图形的对应坐标】 PAGEREF _Tc13212 \h 10
\l "_Tc6386" 【题型8 找位似中心】 PAGEREF _Tc6386 \h 11
\l "_Tc19951" 【题型9 与位似有关的规律探究】 PAGEREF _Tc19951 \h 13
知识点1 位似图形的有关概念
1. 一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P'所在的直线都经过同一点O，且有OP'=k⋅OP(k≠0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形．点O叫做位似中心，k就是这两个相似多边形的相似比．位似中心可能在两个位似图形的同侧，也可能在两个位似图形的异侧，也可能在其中一个图形的边上，还可能在两个位似图形的内部．
2. 位似与相似的关系
知识点2 位似图形的性质
1. 位似图形对应顶点的连线所在直线必过位似中心．
2. 位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比．
3. 位似图形的对应线段所在直线平行（或共线），且对应线段之比相等．
4. 如果两个图形是位似图形，则两个图形必相似，其周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
知识点3 位似图形的画法
1. 利用位似图形的性质将一个图形进行放大或缩小的过程叫做位似变换．
2. 画位似图形的步骤
（1）确定位似中心O；
（2）分别连接位似中心和能代表原图形的关键点；
（3）按相似比找出所作位似图形的对应点；
（4）顺次连接上述各点，所得的图形就是所求的位似图形．
知识点4 平面直角坐标系中的位似变换
1. 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为k，即若原图形的某一顶点坐标为(x0，y0)，则其位似图形对应顶点的坐标为(kx0，ky0)或(−kx0，−ky0)．
2. 平移、轴对称、旋转、位似变换中坐标的变化规律
【题型1 位似图形的概念】
【例1】（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）方框中的两个图形不是位似图形的是（ ）
A． B．
C．D．
【变式1-1】如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，下列说法中，错误的是（ ）
A．△ABC∽△A′B′C′B．C，O，C′三点在同一条直线上
C．AB∥A′B′D．AO:AA′=1:2
【变式1-2】视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“ ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（ ）

A．①和②B．②和③C．①和④D．②和④
【变式1-3】已知：△ABC∽△A'B'C'，下列图形中，△ABC与△A'B'C'不存在位似关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【题型2 画位似图形】
【例2】（24-25九年级上·河南南阳·期中）在如图方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O(0,0)，A(−2,−1)，B(−1,−3)，△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．
(1)在图中标出位似中心P的位置，直接写出点P的坐标 ；
(2)以O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2:1；
(3)在△OAB的内部取一点M(m,n)，则点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标为 ；
(4)判断△OA2B2能否看作是由△O1A1B1经过某种变换后得到的图形，若是，请直接写出图形变换过程；否则，说明理由．
【变式2-1】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在正方形网格中，△A1B1C1与△ABC的顶点都在格点上，并且这两个三角形是以点O为位似中心的位似图形．
(1)在正方形网格中画出点O；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)以点A为位似中心，在点A的左侧直接画出与△ABC位似的△AB2C2，使△ABC与△AB2C2的位似比为1:2．
【变式2-2】（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点坐标分别为A6,3，O0,0，B0,6．
(1)以原点O为位似中心，在第一象限内画△A1OB1，使△A1OB1与△AOB位似，且相似比为1:2；
(2)写出点A1、B1的坐标．
【变式2-3】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是O0,0，A2,4，B6,0．
(1)以原点O为位似中心，请画出△OAB的位似图形△OA1B1，使它与△OAB的相似比是1:2；
(2)写出点A1、B1的坐标；
(3)若△OAB关于点O的位似图形△OA2B2中，点A的对应点A2的坐标为−3,−6，则△OA2B2与△OAB的相似比为______；△OA2B2的面积为______．
【题型3 求两个位似图形的相似比】
【例3】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，且△DEF的面积是△ABC面积的9倍，则OC:OF=（ ）
A．1:2B．1:3C．1:4D．1:9
【变式3-1】（2025·广东·中考真题）如图，把△AOB放大后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比是 ．
【变式3-2】如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC与△DEF是位似图形，则△ABC与△DEF的相似比为（ ）．
A．12B．13C．22D．2
【变式3-3】如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，分别延长BD，CD到点E，F，连接EF．若EF∥BC，且△DEF与△DAO的相似比为12，则在图中，以点D为位似中心．△DEF和它位似的三角形的位似比为（ ）
A．12B．22C．32D．24
【题型4 求位似图形的线段长度】
【例4】如图，△ABC与△A′B′C′位似，点O为位似中心，若△ABC的周长等于△A′B′C′周长的14．AO=2，则OA′的长度为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【变式4-1】在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A1，2，B1，1，C3，1，以原点为位似中心画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且△DEF与△ABC的相似比为2:1，则线段DF的长度为 ．
【变式4-2】（2025·河北保定·一模）如图，这是物理学中的小孔成像，AB是物体，遮挡板MN上的小孔抽象成点O，AB透过小孔在光屏PQ上成的像是倒立放大的实像CD，△ABO和△DCO成位似图形，位似中心为点O，遮挡板MN和光屏PQ的水平距离为8cm，AB=6，此时，像CD的长为12，为了使像CD的长度变成AB的3倍，在物体AB和屏幕PQ位置不变的情况下，可以将遮挡板MN（ ）
A．水平向右移动1cmB．水平向左移动1cm
C．水平向右移动1.5cmD．水平向左移动1.5cm
【变式4-3】如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A8，0，O0，0，B8，−6．以点O为位似中心，把△AOB缩小为原来的12，得到△A′OB′，点M′为OB′的中点，则OM′的长为 ．
【题型5 求两个位似图形的周长比】
【例5】如图，以某点为位似中心，将△OAB进行位似变换得到△DFE，则△OAB与△DFE的周长比为（ ）
A．3:1B．2:1C．1:1D．1:2
【变式5-1】（2025·浙江宁波·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是位似图形，位似中心为点O．若点A3,9 的对应点为A′1,3，四边形ABCD的周长为27，则四边形A′B′C′D′的周长为（ ）
A．9B．6C．4D．3
【变式5-2】如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形．若OA:OA′=1:3，四边形ABCD的周长是3，则四边形A′B′C′D′的周长是（ ）
A．1B．3C．9D．27
【变式5-3】如图，正六边形OABCDE与正六边形OA′B′C′D′E′是关于原点О的位似图形，相似比为3:2，若点C′6,0，则正六边形OABCDE的周长为 ；
【题型6 求两个位似图形的面积比】
【例6】（2025·浙江金华·二模）如图在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O，若点A3,1的对应点D6,2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比是（ ）
A．12B．13C．14D．18
【变式6-1】（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC和△A'B'C'位似，位似中心为原点O．已知点A−1,1.5，点A'2,−3，若△ABC的面积为2，则△A'B'C'的面积是（ ）
A．2B．4C．8D．16
【变式6-2】如图，正方形ABCD和正方形EFOG是位似图形，其中点A与点E对应，点A的坐标为−4,2，点E的坐标为−1,1，则这两个正方形的面积之比为（ ）

A．1:2B．1:3C．1:4D．1:9
【变式6-3】如图，平行于地面的三角形纸片ABC上方有一灯泡（看作一个点O），灯泡发出的光线照射△ABC后，在地面上形成阴影△DEF．已知灯泡距离地面2m，灯泡距离纸片1m，若△ABC的面积为4，则阴影部分的面积为 ．

【题型7 求位似图形的对应坐标】
【例7】（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，矩形OABC的顶点O在坐标原点，A点坐标为−4,0，C点坐标为0,6，若矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的14，则点B′的坐标是（ ）
A．2,−3B．−2,3
C．3,−2或 −2,3D．−2,3或 2,−3
【变式7-1】如图，已知矩形ABCO与矩形ODEF是位似图形，M是位似中心，若点B的坐标为4,3，点E的坐标为−2,32，则图中点M的坐标为 .
【变式7-2】（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABO为等腰直角三角形，∠A=90°，点B坐标−22,0．以点O为位似中心，作△OCD与△ABO位似，点C坐标2,0，则点D坐标为（ ）
A．1,1B．1,−1C．2,2D．22，−22
【变式7-3】（2025·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的顶点O0,0，B2,0，已知△OA′B′与△OAB位似，位似中心是原点O，位似比是2，则点A对应点A′的坐标为（ ）
A．12,32或−12,−32B．2,23或−2,−23
C．4,43或−4,−43D．4,43或−43,−4
【题型8 找位似中心】
【例8】如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ．
【变式8-1】（2025·辽宁铁岭·二模）如图8×6的方格中，点A，B，C，D是格点，线段CD是由线段AB位似放大得到的，则它们的位似中心是（ ）
A．点P1B．点P2C．点P3D．点P4
【变式8-2】如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 ．

【变式8-3】如图，在边长为1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在小正方形的顶点，且两个三角形是位似图形，点O和点P也在小正方形的顶点，则这两个三角形的位似中心是点 ．

【题型9 与位似有关的规律探究】
【例9】（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为6,32，△ABC的顶点A的坐标为4,3．以点P为位似中心作△A1B1C1与△ABC位似，相似比为2，且与△ABC位于点P同侧；以点P为位似中心作△A2B2C2与△A1B1C1位似，相似比为2，且与△A1B1C1位于点P同侧……按照以上规律作图，点A3的坐标为 ．
【变式9-1】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图所示，由位似的正△A1B1C1，正△A2B2C2，正△A3B3C3，…正△AnBnCn组成的相似图形，点O为位似中心，其中第一个△A1B1C1的边长为1，点O是B1C1的中点，B2是OB1的中点，B3是OB2的中点…Bn是OBn−1的中点，顶点B2，B3，…，Bn和C2，C3，…，Cn都在B1C1边上．则正△A5B5C5的边长是（ ）
A．112B．116C．132D．164
【变式9-2】如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6……按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为P−3,0，A1−2,1，A2−1,0，A3−2,−1，则顶点A2024的坐标为（ ）
A．1347,0B．672,−675C．672,675D．1350,0
【变式9-3】（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，以O为位似中心，将边长为8的等边三角形OAB作n次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形OA1B1，其边长OA1缩小为OA的12，经第二次变换后得到等边三角形OA2B2，其边长OA2缩小为OA1的12，经第三次变换后得到等边三角形OA3B3，其边长OA3缩小为OA2的12，…，按此规律，经第n次变换后，所得等边三角形OAnBn的顶点An的坐标为128,0，则n的值是 ．
位似
相似
形状
完全相同
完全相同
对应角
相等
相等
对应边
成比例
成比例
位置关系
对应点所在直线都经过同一点
任意摆放
联系
位似是相似的特殊情况
名称
规律
平移变换
对应点的横坐标或纵坐标加上（或减去）平移的单位长度
轴对称变换
若以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数
旋转变换
将一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数
位似变换
当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值都等于相似比