数学九年级下册用相似三角形解决问题导学案

这是一份数学九年级下册用相似三角形解决问题导学案，文件包含专题62平行线分线段成比例举一反三讲义数学苏科版九年级下册原卷版docx、专题62平行线分线段成比例举一反三讲义数学苏科版九年级下册解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共55页， 欢迎下载使用。
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\l "_Tc18496" 【题型1 判断比例式正误】 PAGEREF _Tc18496 \h 2
\l "_Tc27828" 【题型2 “#”字型】 PAGEREF _Tc27828 \h 3
\l "_Tc21904" 【题型3 “X”字型】 PAGEREF _Tc21904 \h 4
\l "_Tc20099" 【题型4 “A”字型】 PAGEREF _Tc20099 \h 5
\l "_Tc26242" 【题型5 “8”字型】 PAGEREF _Tc26242 \h 6
\l "_Tc32179" 【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】 PAGEREF _Tc32179 \h 7
\l "_Tc9094" 【题型7 平行线分线段成比例与三角形的重心的综合】 PAGEREF _Tc9094 \h 8
\l "_Tc5384" 【题型8 多次利用平行线分线段成比例求解】 PAGEREF _Tc5384 \h 9
\l "_Tc26629" 【题型9 作垂线构造平行线分线段成比例】 PAGEREF _Tc26629 \h 11
\l "_Tc18226" 【题型10 作平行线构造平行线分线段成比例】 PAGEREF _Tc18226 \h 12
知识点 平行线分线段成比例
1. 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
2. 数学语言描述：如图，已知直线l1∥l2∥l3，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，则ABBC=DEEF，ABAC=DEDF，BCAC=EFDF，⋯．
3. 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例．
如图（1）、图（2）所示，BC∥DE，则有ABBD=ACCE，ABAD=ACAE，⋯．
【题型1 判断比例式正误】
【例1】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点D、E、F分别在△ABC的边AB、AC、BC上，连接DE、EF、AF，AF交DE于点G，四边形BFED为平行四边形，则下列式子一定正确的是（ ）
A．ADBD=DECFB．AEAC=BCDEC．ADAE=DGEGD．AGFG=DEBC
【变式1-1】（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，AB∥CD∥EF,AF与BE相交于点G，若AG=1,GD=2,DF=3，则下列结论中错误的是（ ）
A．BGGC=12B．BGBE=15C．BCBE=12D．ABEF=15
【变式1-2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E，F在AC上，且DE∥BC，DF∥BE，则下列结论中，错误的是（ ）
A．AFAE=AEACB．DEBC=DFBEC．ADAB=FEECD．AFAD=DEBE
【变式1-3】如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G．则下列结论中一定正确的是（ ）
A．ADAB=AEECB．AGGF=AEBDC．BDAD=CEAED．AGGF=ACEC
【题型2 “#”字型】
【例2】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在AB上，EF∥AD交CD于点F，若AE:AB=1:3，DF=3，则FC的长为（ ）
A．6B．4C．5D．4.5
【变式2-1】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，AD∥BE∥CF，若ABBC=2，则DEDF为（ ）
A．23B．32C．2D．3
【变式2-2】如图，直线a∥b∥c，点A，B在直线a上，点C，D在直线c上，线段AC，BD分别交直线b于点E，F，则下列线段的比与AEAC一定相等的是（ ）
A．CEACB．BFBDC．BFFDD．ABCD
【变式2-3】（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，直线AB∥CD∥EF，若AC=3，CE=4，则BDBF的值是（ ）
A．47B．43C．37D．34
【题型3 “X”字型】
【例3】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，a∥b∥c，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若AB=6，BC=4，EF=3，则线段DE的长为（ ）
A．1.5B．4.5C．7.5D．10.5
【变式3-1】（24-25八年级下·重庆·期末）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，若AG=DF=3，GD=1，则BCBE的值为（ ）
A．34B．23C．37D．47
【变式3-2】（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线AC分别与直线l1、l2、l3交于A、B、C三点，直线DF分别与直线l1、l2、l3交于D、E、F三点，AC与DF交于点O，若BC=AB，DE=3，则DF的长是 ．
【变式3-3】已知三条互相平行的直线l1，l2，l3分别截直线l4于点A，B，C，截直线l5于点D，E，F，直线l4与l5相交于点O，且AB=32，BC=50，EF=8，EO=2．
(1)求DE的长；
(2)求OB的长．
【题型4 “A”字型】
【例4】（2025·河南南阳·模拟预测）如图，△ABC沿BC边向右平移得到△DEF，若EC=2BE=6，CG=4，则DF的长为（ ）
A．6B．8C．9D．10
【变式4-1】（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，在△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，且EF∥BC．若AE=2，BE=4，AF=1，则FC的长是（ ）
A．12B．1C．2D．3
【变式4-2】（2025·河南·中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边BA、CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为（ ）

A．12B．1C．2D．3
【变式4-3】（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，在3×4的正方形网格中，A、B、C为格点，连接CD，交过点A的水平格线于点E．若小正方形边长为1，则CE= ．
【题型5 “8”字型】
【例5】（2025·安徽亳州·三模）如图，▱ABCD中，E为对角线BD上一点，过点E的直线MN分别交边AB，BC于点F，G，交射线DA，DC于点M，N．若MF=3，EF=2，则EG⋅EN的值为（ ）
A．6B．8C．10D．15
【变式5-1】如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F，AB=3，FD=2，则EFFB的值为（ ）
A．25B．38C．37D．35
【变式5-2】如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上，已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是（ ）
A．1r+1q=1pB．1p+1q=2rC．1p+1q=1rD．1q+1r=2p
【变式5-3】如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为AD上一点，EF与AC交于点H，FH=3cm，EH=6cm，AH=4cm，则HC的长为（ ）

A．22cmB．20cmC．18cmD．16cm
【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】
【例6】（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=3,D是线段BC上一点，连接AD,∠BAD=15°，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接BE交AC于点F，则CF的长度为 ．
【变式6-1】（24-25八年级下·湖南郴州·期末）在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE∥CD．若OE=4，则线段CD的长为 ．
【变式6-2】（2025·内蒙古·模拟预测）如图，BD是△ABC的角平分线，E是AB的中点，连接CE交BD于点F，若CE⊥BD，CE=2BD=8，则线段AB的长为 ．
【变式6-3】如图，DE、NM分别是△ABC、△ADE的中位线，NM的延长线交BC于点F，则S△DMN：S四边形MFCE等于（ ）
A．1：5B．1：4C．2：5D．2：7
【题型7 平行线分线段成比例与三角形的重心的综合】
【例7】如图，G是△ABC的重心，延长BG交AC于点D，延长CG交AB于点E，P，Q分别是△BCE和△BCD的重心，BC长为12，则PQ的长为（ ）
A．2B．2．5C．3D．4
【变式7-1】如图，点G为△ABC的重心，∠C=90°，∠B=30°，连接CG并延长交AB于点D，作DE⊥CB于点E，过点G作GF∥AD交AC于点F，则GFDE的值为（ ）
A．1B．43C．32D．233
【变式7-2】如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GF∥AB交BC于点F，那么EFEC=（ ）
A．13B．12C．14D．15
【变式7-3】如图，在矩形ABCD中，AB=6，P是AD边上一点，将△PCD沿CP折叠，若点D的对应点E恰好是△ABC的重心，则PD的长为 ．
【题型8 多次利用平行线分线段成比例求解】
【例8】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一条直线上，且AB=3，BC=3，BF分别交AC，DC，DE于点M，N，H．解答下列问题：
(1)FGBG的值为__________；
(2)求证：FGBG=EGFG=33；
(3)求：BM:MN:NF的值．
【变式8-1】如图，在△ABC和△ACG中，D、E、F分别在线段AB、AC、AG上，连接DE、EF，DE∥BC，EF∥CG，ADAB=13,AF=3，求AG的长．

【变式8-2】如图，点D是△ABC边BC上一点，连接AD，过AD上点E作EF∥BD，交AB于点F，过点F作FG∥AC交BC于点G，已知AEED=32，BG=4．
(1)求CG的长；
(2)若CD=2，在上述条件和结论下，求EF的长．
【变式8-3】（24-25八年级下·吉林长春·期中）小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：如图，在ΔABC中，点D是BC的中点，点E是AC中点．连结AD，BE交于点G，求AGDG的值．
（1）小明发现，过点D作DH∥BE交AC于H，根据平行线分线段成比例即可得到问题的答案．下面是小明的部分解题过程：
解：如图1，过点D作DH∥BE交AC于H，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
∴CDBD=CHEH=1，
请你补全余下的解题过程．
【尝试应用】
（2）如图2，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AC分别交DE、BF于M、N，则MNAC=_______．
【拓展提高】
（3）如图3，点E是AC边的中点，DC=2BD,AD、BE交于F,AD=10，BE=6, AD⊥BE，直接写出四边形CDFE的面积．
【题型9 作垂线构造平行线分线段成比例】
【例9】（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，AC,BD相交于点O，E为BA延长线上一点，连接OE交AD于点F，若AE=1，则OE的长度为（ ）
A．412B．272C．262D．52
【变式9-1】（2025·浙江宁波·三模）如图，在△ABC中，CD是△ABC的中线，延长CB至点E，使BE=3BC，连接AE，若∠EAB=∠BDC=45°，AB=62，则BC的长为（ ）
A．23B．3C．522D．13
【变式9-2】（2025·广东清远·二模）如图1，将边长为4的等边△ABC沿其BC边上的高AD剪开，再把△ADC向左平移得到△A′D′C′，当D′是BD的中点时，如图2，两个三角形重叠部分面积为 ．
【变式9-3】如图，在四边形ABDE中，∠B=∠D=90°，点C是边BD上一点，且AC=CE，AC⊥CE，取CE的三等分点FCF