专题7.1 锐角的三角函数【十大题型】-2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）

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\l "_Tc27498" 【题型1 正弦、余弦、正切的概念辨析】 PAGEREF _Tc27498 \h 2
\l "_Tc9883" 【题型2 根据定义直接求角的正弦、余弦、正切值】 PAGEREF _Tc9883 \h 2
\l "_Tc3209" 【题型3 根据正弦、余弦、正切的定义求边长】 PAGEREF _Tc3209 \h 3
\l "_Tc3825" 【题型4 特殊角的三角函数值的混合运算】 PAGEREF _Tc3825 \h 4
\l "_Tc15121" 【题型5 构造直角三角形求角的正弦、余弦、正切值】 PAGEREF _Tc15121 \h 5
\l "_Tc27870" 【题型6 根据特殊角的三角函数值求角的度数】 PAGEREF _Tc27870 \h 6
\l "_Tc1120" 【题型7 已知角度比较三角函数值的大小】 PAGEREF _Tc1120 \h 6
\l "_Tc2256" 【题型8 根据三角函数值判断锐角的取值范围】 PAGEREF _Tc2256 \h 7
\l "_Tc25997" 【题型9 利用同角三角函数关系求值】 PAGEREF _Tc25997 \h 7
\l "_Tc28763" 【题型10 三角函数的综合运用】 PAGEREF _Tc28763 \h 8
【知识点 锐角三角函数】
在Rt△ABC中，∠C=90°，则的三角函数如下表：
特殊角的三角函数值
【题型1 正弦、余弦、正切的概念辨析】
【例1】（2023秋·山东济宁·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于csB的是（ ）
A．CDACB．BDCBC．CDCBD．CBAB
【变式1-1】（2023秋·河北石家庄·九年级统考期末）已知Rt△ABC中，∠C=90°,b为∠B的对边，a为∠A的对边，若b与∠A已知，则下列各式正确的是（ ）
A．a=bsin∠AB．a=bcs∠AC．a=btan∠AD．a=b÷tan∠A
【变式1-2】（2023秋·安徽合肥·九年级统考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都缩小5倍，则sinA的值（ ）
A．放大5倍B．缩小5倍C．不变D．无法确定
【变式1-3】（2023秋·吉林长春·九年级校考期中）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC=α，下列关系式正确的是（ ）
A．sinα=ABBCB．sinα=BCABC．sinα=ABACD．sinα=ACAB
【题型2 根据定义直接求角的正弦、余弦、正切值】
【例2】（2023秋·重庆万州·九年级统考期末）直角三角形纸片ABC，两直角边BC=4，AC=8，现将△ABC纸片按如图那样折叠，使A与电B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是（ ）
A．12B．34C．1D．43
【变式2-1】（2023·内蒙古·二模）如图，在▱ABCD中，AD>AB，按如下步骤作图：①以点A为圆心，以AB的长为半径作弧，交AD于点E，②分别以点B，E为圆心，以大于号12BE的长为半径在BE右侧作弧，两弧交于点G，③射线AG交BC于点F．若AB=5，BE=6，则cs∠AFB的值为( )

A．34B．43C．35D．45
【变式2-2】（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）已知正方形ABCD中，AB=3，点E为直线BC上一点，BE=2EC，连接AE．则sin∠DAE的值为 ．
【变式2-3】（2023·福建龙岩·九年级统考自主招生）如图，在△ABC中，点F为其重心，连接AF、BF并延长分别交BC、AC于点D、E，且AB=AC=13，CD=5，则cs∠EBC= ．
【题型3 根据正弦、余弦、正切的定义求边长】
【例3】（2023·山西忻州·统考模拟预测）如图，四边形ABCD是边长为8的正方形，E是边CB延长线上的一点，BE=6．点F在该正方形的边上运动，当CF=AE时，设直线CF与直线EA相交于点H，则FH的长为 ．

【变式3-1】（2023秋·福建泉州·九年级福建省泉州第一中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点G为△ABC的重心，若AC=6，tan∠ABG=13，那么BC的长等于 ．

【变式3-2】（2023春·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE=3，BE=4，DE=5．

(1)求证：BE⊥CD；
(2)求sin∠DAE．
【变式3-3】（2023·甘肃兰州·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，且AE=DC，连接CE．
(1)求证：四边形ADCE是矩形：
(2)若AB=5，csB=35，求CE的长．
【题型4 特殊角的三角函数值的混合运算】
【例4】（2023·四川遂宁·射洪中学校考一模）计算：−32+π−20220−2cs45°−2+−12−1．
【变式4-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）先化简，再求代数式2a−2−1a+2÷a+6a+2的值，其中a=tan60°+2tan45°．
【变式4-2】（2023春·福建龙岩·九年级校考阶段练习）计算：
(1)2sin45°+tan60°−2cs30°；
(2)tan60°−tan45°1+tan60°⋅tan45°+2sin60°+6tan230°．
【变式4-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）先化简，再求代数式2a−2ba÷a−2ab−b2a的值，其中a=3tan30°+1；b=2sin45°．
【题型5 构造直角三角形求角的正弦、余弦、正切值】
【例5】（2023秋·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于点D，将△ ACD沿直线CD折叠，点A在AB边上的点E处，已知AC=5,DE=3，则sin∠BCE的值为（ ）

A．725B．35C．45D．2425
【变式5-1】（2023·内蒙古包头·二模）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE．若∠ADB=30°，则cs∠DEC的值为（ ）

A．32B．33C．277D．72
【变式5-2】（2023春·湖南永州·九年级校考开学考试）如图，在2×4的方格中，两条线段的夹角（锐角）为∠1，则tan∠1= ．

【变式5-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）在△ABC中，∠ABC=60°，点D是直线BC上一点，若AB=16，BD=10BC>BD，sin∠BAD的值为
【题型6 根据特殊角的三角函数值求角的度数】
【例6】（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）在△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且tanB−3+2csA−32=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
【变式6-1】（2023秋·上海青浦·九年级校考期中）在△ABC中，若AB=AC=2，BC=23，则∠A= 度．
【变式6-2】（2023秋·云南昆明·九年级云大附中校考期末）若菱形的周长为82，高为2，则菱形两邻角的度数比为（ ）
A．6：1B．5：1C．4：1D．3：1
【变式6-3】（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）在△ABC中，AB=6，∠B为锐角且csB=12，tanC=33．
(1)求∠B的度数．
(2)求BC的长．
(3)求△ABC的面积．
【题型7 已知角度比较三角函数值的大小】
【例7】（2023秋·湖南衡阳·九年级湖南省衡南县第一中学校考阶段练习）三角函数sin40°、cs16°、tan50°之间的大小关系是（ ）
A．tan50°>cs16°>sin40°B．cs16°>sin40°>tan50°
C．cs16°>tan50°>sin40°D．tan50°>sin40°>cs16°
【变式7-1】（2023春·九年级课时练习）已知∠B是△ABC中最小的内角，则tanB的取值范围是 ．
【变式7-2】（2023春·九年级单元测试）在Rt△ABC中，如果一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的15，那么锐角A的各个三角函数值（ ）
A．都缩小15B．都不变C．都扩大5倍D．无法确定
【变式7-3】（2023·上海静安·校考一模）如果0°<∠A<60°，那么sinA与csA的差（ ）．
A．大于0B．小于0C．等于0D．不能确定
【题型8 根据三角函数值判断锐角的取值范围】
【例8】（2023春·九年级单元测试）若∠A是锐角，cs∠A>32，则∠A应满足 ．
【变式8-1】（2023春·九年级课时练习）已知32＜csA＜sin70°，则锐角A的取值范围是
【变式8-2】（2023·上海·九年级假期作业）已知sinα−122=12-sinα，则锐角α的取值范围是 ．
【变式8-3】（2023秋·全国·九年级专题练习）已知sinα＜csα，则锐角α的取值范围是 ．
【题型9 同角三角函数关系】
【例9】（2023春·九年级单元测试）在△ABC中，∠C=90°，则sinA+csA的值（ ）
A．大于1B．等于1C．小于1D．不确定，与∠A的值有关
【变式9-1】（2023秋·福建泉州·九年级校考期中）三角函数sin70°，cs70°，tan70°的大小关系是（ ）
A．sin70°>cs70°>tan70°B．tan70°>cs70°>sin70°
C．tan70°>sin70°>cs70°D．cs70°>tan70°>sin70°
【变式9-2】（2023春·全国·九年级专题练习）求证：若α为锐角，则sin2α+cs2α=1．要求：
(1)如图，锐角α和线段m，用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角，∠ACB为90°的Rt△ABC（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)根据（1）中所画图形证明该命题．
【变式9-3】（2023春·九年级单元测试）已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：

如图1：sin2∠A1+sin2∠B1=
如图2：sin2∠A2+sin2∠B2=
如图3：sin2∠A3+sin2∠B3=
①观察上述等式，猜想：如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2∠A+sin2∠B= ；
②如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；
③已知：∠A+∠B=90°，且sin∠A=0.7，求sin∠B．
【题型10 三角函数综合运用】
【例10】（2023秋·上海浦东新·九年级校考阶段练习）如图，已知在△ABC中，AD是边BC上的高，E是边AC的中点，BC=AD=20，csB=35．求：

(1)线段BD的长；
(2)∠EDC的余切值．
【变式10-1】（2023秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）如图，在平直角坐标系中，OB=10，cs∠AOB=45，点A的坐标为20,0．

(1)求点B的坐标；
(2)求sin∠OAB的值．
【变式10-2】（2023·福建莆田·校考模拟预测）如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E是AB上靠近点A的三等分点，连接DE，延长EA至点F，使得AF=AE，连接CF．

(1)试判断DE与CF的位置关系，并说明理由；
(2)CE与AD交于点G，若∠CED=90°，求证：G是AD的中点；
(3)在（2）的条件下，连接BG，求sin∠CBGsin∠ABG的取值范围．
【变式10-3】（2023·山东滨州·九年级统考自主招生）在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=1，∠A=α，求sin2α（用含sinα，csα的式子表示）．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取AB的中点O，连接OC，过点C作CD⊥AB于点D，则∠COB=2α，然后利用锐角三角函数在Rt△ABC中表示出AC，BC，在Rt△ACD中表示出CD，则可以求出
sin2α=CDOC=sinα⋅AC12=sinα⋅csα12=2sinα⋅csα．

阅读以上内容，回答下列问题：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=1．
(1)如图3，∠ACB=90°，AB=1，若BC=12，则sinα=______，sin2α=______；
(2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出tan2α的表达式（用含sinα，csα的式子表示）．定 义
表达式
取值范围
关 系
正弦
(∠A为锐角)
余弦
(∠A为锐角)
正切
(∠A为锐角)
三角函数
30°
45°
60°
1