2025-2026学年福建省厦门市海沧区八年级（上）期中数学试卷

2025-2026学年福建省厦门市海沧区八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.商后母戊鼎又称司母戊鼎是已知中国古代最重的青铜器，鼎身四周铸有精巧的各类纹饰，下列纹饰中是轴对称图形的是(    ) A. 夔龙纹B. 牛角兽面纹C. 饕餮纹D. 虎噬人纹 2.如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则AD是△ABC的高的是(    ) A. B. C. D. 3.下列运算中，正确的是(    ) A. x2+x3=x5 B. x2⋅x3=x6 C. (3x)3=9x3 D. (x2)3=x6 4.如图，已知∠AOB与∠EO′F(∠AOB>∠EO′F)，分别以点O，O′为圆心，以同样长为半径画弧，分别交OA，OB于点A′，B′，交O′E，O′F于点E′，F′.以点B′为圆心，以E′F′长为半径画弧，在∠AOB的内部交弧A′B′于点H.下列结论正确的是(    ) A. ∠AOB=2∠EO′F B. ∠AOH=∠EO′FC. ∠AOH=∠BOH D. ∠HOB=∠EO′F 5.如图，在△ABC和△FED中，AC=FD，BC=ED，下列条件中用利用“SAS”的办法判定△ABC与△DEF全等的是(    ) A. AE=FBB. ∠CAB=∠DFEC. ∠D=∠CD. ∠ABC=∠DEF 6.如图，AE//CD，AC平分∠BCD，∠2=35∘，∠D=60∘，则∠B=(    ) A. 35∘B. 50∘C. 60∘D. 70∘ 7.如图，在△ABC中，点D、F分别在边BC、AC上，若BC=ED，AC=CD，AB=CE，且∠ACE=180∘−∠ABC−2m，对下列角中，大小为m的角是(    ) A. ∠CDFB. ∠ABCC. ∠CFDD. ∠CFE 8.如图，在△ABC中，AD为BC边上的高线，CE为AB边上的中线，AD，CE交于点F，连接BF，下列说法中错误的是(    ) A. 若CA=CB，则BF⊥ACB. 若AB=AC，则S△ABF=S△BCFC. 若FA=FB=FC，则FD=EFD. 若BA=BC，则∠ABF=∠CBF 9.若a，b是正整数，且满足 3a+3a+⋯+3a=9个3a相加 3b×3b×⋯×3b9个3b相乘，则a与b的关系正确的是(    ) A. a+2=9b B. 2a=9b C. a+2=b9 D. 2a=9+b 10.如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE交于点F，∠AFD=60∘.FG为△AFC的角平分线，点H在FG的延长线上，HG=CD，连接HA和HC.①BD=CE；②∠AHC=60∘；③FC=CG；④CF：AF=CG：AG；其中说法正确的是(    ) A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.计算：(1)x3+x3=______；(2)a2⋅a3=______；(3)(−a3)2=______；(4)(2x3)3=______. 12.如图，作线段AB的垂直平分线DE，交BC于点P，连接AP.若AC=3，BC=7，则△APC的周长为      .  13.如图，△ABC≌△EDF，BD=10，FC=4，BC=      .  14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，BD平分∠ABC，AB=6，S△ABD=12，则CD的长为      .  15.如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABN=∠MBC，BM=NM，则∠NBC的度数是       ∘.  16.如图，等边△ABC的边长为8，点E在BC上，CE=2，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，AF的长为      .  三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题8分)计算：(1)a2⋅a4+(a2)3；(2)(2x2)4+(−x2)3⋅x2−x3⋅x4⋅x. 18.(本小题6分)如图，AE//BC，AE=AB，∠EFA=∠ACB.求证：△ABC≌△EAF. 19.(本小题8分)如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,1)，B(4,2)，C(2,3).(1)在图中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1点坐标；(2)在x轴上找出一点P，使PB+PA1最短. 20.(本小题8分)如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=80∘，点D是BC的中点，E是AB上一点，满足BE=CD，求∠ADE的度数. 21.(本小题8分)若am=an(a>0且a≠1，m、n是正整数)，则m=n.利用上面的结论解决下面的问题：(1)如果3×9x×27x=326，求x的值；(2)已知m=63，n=54，用含m，n的式子表示3036. 22.(本小题11分)如图，△ABC与△ADE是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE.(1)求证：BD=CE；(2)如图，若点D在线段BE上，且BE=BC，请猜想∠ACB与∠ABE的数量关系，并说明理由. 23.(本小题11分)如图，在△ABC中，CD是∠ACG的角平分线.(1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线与射线CD交于点E(保留作图痕迹)；(2)过点E作EF⊥AC，若BC=8，CF=2，求AC的长度. 24.(本小题12分)如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点M(m,n)，且平行于x轴.给出如下定义：点P(x,y)先关于x轴对称得点P1，再将P1关于直线l对称得到点P2，则称点P2是P关于x轴和直线l的双反射点.(1)已知点M(0,3)，①若点P(0,−4)，则P关于x轴和直线l的双反射点P2的坐标是______；②若点Q(0,a)，其中a>3，点Q关于x轴和直线l的双反射点Q2，求线段QQ2的长度.(2)若点A(0,5)，B(4,3)，是否存在点M(m,n)，使得点A关于x轴和直线l的双反射点A2，满足A2M=A2B，∠MA2B=90∘.若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 25.(本小题14分)如图1，已知∠EAF=30∘，定点P在射线AE上，动点B在射线AF上，作四边形ABPC，使PC=PB，且∠CPB=150∘.(1)如图1，当∠PBA为锐角时.①若∠PBA=α，试用含α的式子表示∠CPA=______；②过点C作CH⊥AP于点H，求证：CH=12AP.(2)如图2，连接BC交AP于点Q，当点B运动到使PC//AB时，探究线段PC，PQ，AB之间的数量关系，并说明理由；(3)若点B关于直线AP的对称点为点D，连接DP，DC，当△DPC为等腰直角三角形时，请直接写出S△PACS△PCD的值. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：A、B，D选项中的图案都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C选项中的图案能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：C.根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2.【答案】D  【解析】解：选项D中的AD是△ABC的高，故选：D.根据AD为三角形的高，则AD⊥BC.所以∠ADB=90∘，然后对各选项进行判断．本题考查了三角形的角平分线、中线和高：正确理解三角形的角平分线、中线和高的定义是解决问题的关键． 3.【答案】D  【解析】解：A、x与x不是同类项，不能进行合并，故该项不正确，不符合题意；B、x2⋅x3=x5，故该项不正确，不符合题意；C、(3x)3=27x3，故该项不正确，不符合题意；D、(x2)3=x6，故该项正确，符合题意；故选：D.根据同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．本题考查同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4.【答案】D  【解析】解：连接HB′和E′F′，由作图过程可知，OH=O′E′，OB′=O′F′，B′H=F′E′.在△HOB′和△E′O′F′中，OH=O′E′OB′=O′F′B′H=F′E′，所以△HOB′≌△E′O′F′(SSS)，所以∠HOB=∠EO′F.故选：D.连接HB′和E′F′，利用全等三角形的判定及性质即可解决问题．本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定与性质是解题的关键． 5.【答案】C  【解析】解：在△ABC与△FED中，AC=FD∠ACB=∠EDFBC=ED，∴△ABC≌△FED(SAS)，故选：C.直接利用全等三角形的判定方法得出答案．此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 6.【答案】B  【解析】解：∵AE//CD，∴∠1=∠2=35∘，∵AC平分∠BCD，∴∠DCB=2∠1=70∘∵∠D=60∘，∴∠B=180∘−∠D−∠DCB=50∘.故选：B.由平行线的性质推出∠1=∠2=35∘，由角平分线的定义得到∠DCB=2∠1=70∘，由三角形内角和定理求出∠B=50∘.本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，关键是由平行线的性质推出∠1=∠2. 7.【答案】A  【解析】解：在△ABC和△CED中，BC=DEAC=DCAB=EC，∴△ABC≌△CED(SSS)，∴∠EDC=∠BCA，∠ABC=∠DEC，∠FDC=∠FCD，∵∠ACE=180∘−∠ABC−2m，∴∠ACE+∠ABC=180∘−2m，∵∠DFC=∠DEC+∠ACE，∴∠DFC=180∘−2m，∵∠DFC+∠FDC+∠FCD=180∘，∴∠FDC=m.故选：A.根据SSS证明△ABC≌△CED，可得∠EDC=∠ACB，∠ABC=∠DEC，∠FDC=∠FCD，由∠DFC=∠DEC+∠ACE可得结论．本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 8.【答案】D  【解析】解：若CA=CB，∵CE为中线，∴CE⊥AB，∵AD为BC边上的高线，且三角形的三条高线交于一点，∴BF⊥AC，故A正确；若AB=AC，∵AD为BC边上的高线，∴S△ABD=12S△ABC，∵CE为AB边上的中线，∴S△BCE=12S△ABC，∴S△BCE=S△ABD，∴S△BCE−S四边形BDFE=S△ABD−S四边形BDFE，∴S△AEF=S△CDF，∴S△BEF=S△BDF，故B正确；若FA=FB=FC，∴点F是△ABC的三条垂直平分线的交点，∴BD=CD，CE⊥AB，由题意可得：AB=AC，AC=BC，即AB=AC=BC，∴点F是△ABC的三条角平分线的交点，∴BF是△ABC的角平分线，∴FD=FE，故C正确；若BA=BC，∵AD为BC边上的高线，CE为AB边上的中线，∴无法得到点F的位置，无法得到∠ABF与∠CBF的关系．故D错误；故选：D.根据等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，逐项判断，即可求解．本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 9.【答案】A  【解析】解：根据题意得3a×9=(3b)9，3a×32=39b，3a+2=39b，∴a+2=9b，故选：A.根据题意得3a×9=(3b)9，再根据幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则计算即可得出a与b的关系．本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 10.【答案】B  【解析】解：①∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACE=60∘，BC=AC，∵∠AFD=∠CAE+∠ACD=60∘，∠BCD+∠ACD=∠ACB=60∘，∴∠BCD=∠CAE，在△BCD和△CAE中，∠B=∠ACEBC=AC∠BCD=∠CAE，∴△BCD≌△CAE(ASA)，∴BD=CE，故①正确，符合题意；②如图，作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，∵∠EFC=∠AFD=60∘，∴∠AFC=120∘，∵FG为△AFC的角平分线，∴∠CFH=∠AFH=60∘，∴∠CFH=∠CFE=60∘，∵CM⊥AE，CN⊥HF，∴CM=CN，∵∠CEM=∠ACE+∠CAE=60∘+∠CAE，∠CGN=∠AFH+∠CAE=60∘+∠CAE，∴∠CGN=∠CEM，在△ECM和△GCN中，∠CGN=∠CEM∠CME=∠CNG=90∘CM=CN，∴△ECM≌△GCN(AAS)，∴CE=CG，EM=GN，∠ECM=∠GCN，∴∠MCN=∠ECG=60∘，由①知△BCD≌△CAE(ASA)，∴AE=CD，∵HG=CD，∴AE=HG，∴AE+EM=HG+GN，即AM=HN，在△AMC和△HNC中，AM=HN∠AMC=∠HNC=90∘CM=CN，∴△AMC≌△HNC(SAS)，∴∠ACM=∠HCN，AC=HC，∴∠ACM−∠ECM=∠HCN−∠GCN，即∠ACE=∠HCG=60∘，∴△ACH是等边三角形，∴∠AHC=60∘，故②正确，符合题意；③由②知，∠CFH=∠AFH=60∘，若FC=CG，则∠CGF=60∘，从而∠FCG=60∘，这与∠ACB=60∘相矛盾，故③错误，不符合题意；④∵∠ECF=∠GAF，∠CFE=∠AFG=60∘，∴△ECF∽△GAF，∴CF：AF=CE：AG=CG：AG，故④正确，符合题意；综上所述，正确的有①②④，故选：B.证明∠BCD=∠CAE，从而得出△BCD≌△CAE(ASA)，即可判断①；作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，可证明△ECM≌△GCN(AAS)，得到CE=CG，EM=GN，∠ECM=∠GCN，即可证明△AMC≌△HNC(SAS)得到AC=HC，从而得出△ACH是等边三角形，即可判断②；由∠CFH=∠AFH=60∘，若FC=CG，则∠CGF=60∘，从而∠FCG=60∘，这与∠ACB=60∘相矛盾，即可判断③；证明△ECF∽△GAF，推出CF：AF=CE：AG=CG：AG，即可判断④．本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 11.【答案】2x3；  a5；  a6；  8x9  【解析】解：(1)x3+x3=2x3；(2)a2⋅a3=a5；(3)(−a3)2=a6；(4)(2x3)3=8x9.故答案为：(1)2x3；(2)a5；(3)a6；(4)8x9.(1)根据合并同类项法则计算即可；(2)根据同底数幂的乘法法则计算即可；(3)根据幂的乘方与积的乘方法则计算即可；(4)根据幂的乘方与积的乘方法则计算即可．本题考查了合并同类项法则、同底数幂的乘法法则和幂的乘方与积的乘方，熟练掌握这些运算法则是关键． 12.【答案】10  【解析】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AP=BP，∵AC=3，BC=7，∴AP+CP+AC=BP+CP+AC=BC+AC=7+3=10，即△APC的周长为10，故答案为：10.先根据线段垂直平分线的性质可得AP=BP，再根据三角形的周长公式计算即可得．本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 13.【答案】7  【解析】解：∵△ABC≌△EDF，∴BC=DF，∴BF=CD=12×(BD−CF)=12×(10−4)=3，∴BC=BF+CF=7，故答案为：7.根据全等三角形的性质即可得到结论．本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 14.【答案】4  【解析】解：作DE⊥AB于点E，∵S△ABD=12AB⋅ED=12，且AB=6，∴12×6ED=12，∴ED=4，∵∠C=90∘，∴CD⊥BC于点C，∵BD平分∠ABC，CD⊥BC于点C，DE⊥AB于点E，∴CD=ED=4，故答案为：4.作DE⊥AB于点E，由S△ABD=12AB⋅ED=12，且AB=6，得12×6ED=12，求得ED=4，由BD平分∠ABC，CD⊥BC于点C，得CD=ED=4，于是得到问题的答案．此题重点考查角平分线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键． 15.【答案】60  【解析】解：设∠A=x∘，∠ABN=∠MBC=y∘，∴∠BNM=∠A+∠ABN=(x+y)∘，∵BM=NM，∴∠BNM=∠NBM=(x+y)∘(等边对等角)，∴∠ABC=∠ABN+∠NBM+∠CBM=(x+3y)∘，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=(x+3y)∘(等边对等角)，∵∠ACB+∠ABC+∠A=180∘，∴x+x+3y+x+3y=180，整理得，x+2y=60，∴∠NBC=∠NBM+∠CBM=(x+2y)∘=60∘，即∠NBC的度数为60∘，故答案为：60.设∠A=x∘，∠ABN=∠MBC=y∘，由三角形外角的定义及性质可得∠BNM=(x+y)∘，由等边对等角可得∠BNM=∠NBM=(x+y)∘，∠ACB=∠ABC=(x+3y)∘，再由三角形内角和定理求出x+2y=60，即可得解．本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质，等腰三角形的性质，关键是相关性质和定理的熟练掌握． 16.【答案】3  【解析】解：如图，作E点关于CD的对称点E′，连接PE′，E′F，过E′作E′F′⊥AB于点F′，则E′P=EP，∴EP+FP=E′P+PF≥E′F≥E′F′，即当EP+FP的值最小时，点F位于F′处．∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60∘，∵E′F′⊥AB，∴∠F′E′B=30∘，∵等边△ABC的边长为8，CE′=CE=2，∴BE′=BC+CE=8+2=10，∴BF′=12BE′=5，∴AF=8−5=3，∴当EP+FP的值最小时，BF的长为3，故答案为：3.作E点关于CD的对称点E′，连接PE′，E′F，过E′作E′F′⊥AB于点F′，可证得EP+FP的值最小时，点F位于F′处，再求出BF′的长，进而即可解决问题．本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，能够确定当EP+FP的值最小时，点F的位置是解题的关键． 17.【答案】2a6；  14x8  【解析】(1)a2⋅a4+(a2)3=a6+a6=2a6；(2)(2x2)4+(−x2)3⋅x2−x3⋅x4⋅x=16x8+(−x6)⋅x2−x8=16x8−x8−x8=14x8.(1)先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答；(2)先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答．本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 18.【答案】见解答．  【解析】证明：∵AE//BC，∴∠EAF=∠B，在△ABC和△EAF中，∠ACB=∠EFA∠B=∠EAFAB=AE，∴△ABC≌△EAF(AAS).先根据平行线的性质得到∠EAF=∠B，然后根据“AAS”证明△ABC≌△EAF.本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 19.【答案】A1(−1,1)，B1(−4,2)，C1(−2,3)；   【解析】(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．由图知，A1(−1,1)，B1(−4,2)，C1(−2,3)；(2)如图所示，点P即为所求．(1)分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；(2)作点B关于x轴的对称点B′，连接A1B′，与x轴的交点即为所求．本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质． 20.【答案】25∘.  【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=80∘，∴∠B=∠C=50∘，∵点D是BC的中点，AB=AC，∴BD=CD，AD⊥BC，∵BE=CD，∴BE=BD，∴∠BDE=∠BED=65∘，∴∠ADE=∠ADB−∠BDE=25∘.根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=50∘，∠ADB=90∘，计算即可．本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的“三线合一“是解决问题的关键． 21.【答案】5；  m12n9  【解析】(1)∵3×9x×27x=326，∴3×32x×33x=31+5x=326，∴1+5x=26，∴x=5；(2)∵m=63，n=54，∴3036=(6×5)36=636×536=(63)12×(54)9=m12n9.(1)根据幂的乘方与积的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可；(2)根据幂的乘方与积的乘方法则计算即可．本题考查了幂的乘方与积的乘方和同底数幂的乘法，熟练掌握这些运算法则是关键． 22.【答案】∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD=CE；  ∠ACB与∠ABE的数量关系是：3∠ACB+∠ABE=180∘，理由如下：设∠ACB=α，∠ABE=β，∵△ABC是等腰三角形，且AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=α，∴∠CBE=∠ABC−∠ABE=α−β，由  可知：△BAD≌△CAE，∴∠ABE=∠ACE=β，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=α+β，在△BCE中，BE=BC，∴∠BEC=∠BCE=α+β，由三角形内角和定理得：∠CBE+∠BEC+∠BCE=180∘，∴α−β+α+β+α+β=180∘，∴3α+β=180∘，∴3∠ACB+∠ABE=180∘  【解析】(1)证明：∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD=CE；(2)解：∠ACB与∠ABE的数量关系是：3∠ACB+∠ABE=180∘，理由如下：设∠ACB=α，∠ABE=β，∵△ABC是等腰三角形，且AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=α，∴∠CBE=∠ABC−∠ABE=α−β，由(1)可知：△BAD≌△CAE，∴∠ABE=∠ACE=β，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=α+β，在△BCE中，BE=BC，∴∠BEC=∠BCE=α+β，由三角形内角和定理得：∠CBE+∠BEC+∠BCE=180∘，∴α−β+α+β+α+β=180∘，∴3α+β=180∘，∴3∠ACB+∠ABE=180∘.(1)根据∠BAC=∠DAE得∠BAD=∠CAE，进而可依据“SAS”判定△BAD和△CAE全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论；(2)设∠ACB=α，∠ABE=β，由AB=AC得∠ABC=∠ACB=α，进而得∠CBE=α−β，由△BAD和△CAE全等得∠ABE=∠ACE=β，由BE=BC得∠BEC=∠BCE=α+β，再由三角形内角和定理得∠CBE+∠BEC+∠BCE=180∘，则α−β+α+β+α+β=180∘，即3α+β=180∘由此即可得出∠ACB与∠ABE的数量关系．此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 23.【答案】图形如图所示：  10  【解析】(1)图形如图所示：(2)过点E作EH⊥BC于点H，连接EA，EB.∵点E在线段AB的垂直平分线上，∴EA=EB，∵CD平分∠ACG，EF⊥AC，EH⊥BG，∴EF=EH，∵∠EAF=∠EHB=90∘，∴Rt△AEF≌Rt△BEH(HL)，∴BC=AF=8，AC=AF+FC=8+2=10.(1)根据要求作出图形即可；(2)过点E作EH⊥BC于点H，连接EA，EB.证明Rt△AEF≌Rt△BEH(HL)，推出BC=AF=8，可得结论．本题考查作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 24.【答案】①(0,2)；②6；  M(0,−1)或(−16,−9)  【解析】(1)①点P(0,−4)关于x轴对称点P1为(0,4)，P1(0,4)关于直线y=3对称点为P2(0,2)；故答案为：(0,2)；②∵Q(0,a)，设Q1是Q关于x轴对称的点，∴Q1(0,−a)设直线l与y轴相交于M点，∵M(0,3)，a>3，∴MQ1=3−(−a)=3+a，∴Q2的纵坐标为3+3+a=6+a，∴QQ2=6+a−a=6；(2)如图，过点B作BE⊥y轴，过点M作MF⊥y轴，∴∠A2EB=∠A2FM=90∘，∠2+∠3=90∘，∵∠MA2B=90∘，∴∠1+∠2=90∘，∴∠1=∠3，在△A2BE和△MA2F中，∠3=∠1∠A2EB=∠A2FMA2B=A2M，∴△A2BE≌△MA2F(AAS)，∴A2F=BE，A2E=MF，∵A(0,5)，∴A的双反射点A2(0,5+2n)，∵B(4,3)，E(0,3)，F(0,n)，M(m,n)，∴A2F=|5+2n−n|=|5+n|，BE=4，A2E=|5+2n−3|=|2+2n|，MF=|m|，∴|5+n|=4，|2+2n|=|m|，∴n=−1或−9，当n=−1时，|m|=0，故m=0，当n=−9时，|m|=16，故m=±16，∵(16,−9)时，∠MA2B≠90∘，∴(16,−9)(舍去)，∴M(0,−1)或(−16,−9).(1)①依据题干操作直接得解即可；②先得Q1(0,−a)，再得MQ1=3−(−a)=3+a，进而可知Q2的纵坐标为3+3+a=6+a，据此求解即可；(2)过点B作BE⊥y轴，过点M作MF⊥y轴，易证△A2BE≌△MA2F(AAS)，由题可知A2F=|5+2n−n|=|5+n|，BE=4，A2E=|5+2n−3|=|2+2n|，MF=|m|，进而建立方程求解即可．本题主要考查了以对称为背景的新定义题型，正确理解题意是解题的关键． 25.【答案】①α；②证明：如图1中，过点P作PT⊥AB于点T，∵CH⊥AP，∴∠CHP=∠PTB=90∘，∵∠CPA=α，∠ABP=α，∴∠CPH=∠PBT，∴PC=PB，∴△CPH≌△PBT(AAS)，∴CH=PT，∵∠ATP=90∘，∠PAT=30∘，∴PA=2PT，∴CH=PT=12AP；  解：结论：AB−PC=2PQ.理由：如图，过点Q作KJ⊥AP交AB于点J.∵PC//AB，∴∠APC=∠PAB=30∘，∵PC=PB，∠CPB=150∘，∴∠PCB=∠PBC=15∘，∴∠PCB=∠ABC=15∘，∴∠QBP=∠QBJ，∵∠PQB=∠QPC+∠PCQ=30∘+15∘=45∘，∠PQJ=90∘，∴∠BQP=∠BQJ=45∘，∵BQ=BQ，∴△BQP≌△BQJ(ASA)，∴PQ=JQ，PB=BJ，∵∠AQJ=90∘，∠QAJ=30∘，∴AJ=2QJ=2PA，∴AB−PC=AB−PB=AB−BJ=AJ=2PQ. S△PACS△PCD=12或32  【解析】(1)①解：如图1中，∵∠APB=180∘−∠PAB−∠ABP=180∘−30∘−α=150∘−α，∵∠CPB=150∘，∴∠CPA=∠CPB−∠APB=150∘−(150∘−α)=α；故答案为：α；②证明：如图1中，过点P作PT⊥AB于点T，∵CH⊥AP，∴∠CHP=∠PTB=90∘，∵∠CPA=α，∠ABP=α，∴∠CPH=∠PBT，∴PC=PB，∴△CPH≌△PBT(AAS)，∴CH=PT，∵∠ATP=90∘，∠PAT=30∘，∴PA=2PT，∴CH=PT=12AP；(2)解：结论：AB−PC=2PQ.理由：如图，过点Q作KJ⊥AP交AB于点J.∵PC//AB，∴∠APC=∠PAB=30∘，∵PC=PB，∠CPB=150∘，∴∠PCB=∠PBC=15∘，∴∠PCB=∠ABC=15∘，∴∠QBP=∠QBJ，∵∠PQB=∠QPC+∠PCQ=30∘+15∘=45∘，∠PQJ=90∘，∴∠BQP=∠BQJ=45∘，∵BQ=BQ，∴△BQP≌△BQJ(ASA)，∴PQ=JQ，PB=BJ，∵∠AQJ=90∘，∠QAJ=30∘，∴AJ=2QJ=2PA，∴AB−PC=AB−PB=AB−BJ=AJ=2PQ.(3)解：①如图3中，当点C在点D的左侧时，∵△PCD是等腰直角三角形，∴∠CPD=90∘，∵∠CPB=150∘，∴∠CPD+∠CPB=240∘，由翻折的性质可知，∠DPE=∠BPE=60∘，∴∠CPA=30∘=∠PAB，∴CP//AB，由(2)可知，PA=PB=PC=PD，过点C作CH⊥PA于点H，则CH=12PC=12PA，∴S△PACS△PCD=12PA⋅CH12PC⋅PD=12PA2PA2=12；②如图4中，当点C在点D的右侧时，由∠DPC=90∘，∠BPC=150∘，得到∠BPD=60∘，∵B，D关于AP对称，∴PD=PB，∴△PDB是等边三角形，∴∠APB=∠APD=30∘，∵∠PAB=30∘，∴DPA=∠PAB=∠APB，∴PD//AF，AB=PB，延长CP交AF于点H.则∠BPH=30∘，∠PHB=90∘，设BH=a，则AB=PB=DP=PC=2a，∴AH=3a，∴S△PACS△PCD=12⋅2a⋅3a12⋅2a⋅2a=32，综上所述，S△PACS△PCD=12或32.(1)①利用三角形内角和定理以及角的和差定义解决问题即可；②如图1中，过点P作PT⊥AB于点T，证明△CPH≌△PBT(AAS)，推出CH=PT，可得结论；(2)如图，过点K作KJ⊥AP交AB于点J.证明△BKP≌△BKJ(ASA)，推出PK=JK，PB=BJ，可得结论；(3)分两种情形：①当点C在点D的左侧时，首先证明CP//AB，由(2)可知，PA=PB=PC=PD，过点C作CH⊥PA于点H，则CH=PC=PA，利用三角形面积公式，可得结论．②当点C在点D的右侧时，同法可得．考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．