2025-2026学年福建省福州市长乐区八年级（上）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年福建省福州市长乐区八年级（上）期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征.下面的小篆体字是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.点A(1,−2)与点B关于x轴对称，则点B的坐标是( )
A. (1,2)B. (−1,2)C. (−1,−2)D. (−2,1)
3.如图，AC=BC，AC⊥OA，CB⊥OB，则△AOC≌△BOC的依据是( )
A. SSS
B. SAS
C. AAS
D. HL
4.如图，已知△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
5.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30∘角，这棵树在折断前的高度为( )
A. 6米B. 9米C. 12米D. 15米
6.把一块质地均匀的三角形木板用一根绳子悬挂起来，若要使木板面呈水平位置，则这个绳子的挂钩应设在三角形( )
A. 三条高线的交点处B. 三条角平分线的交点处
C. 三条中线的交点处D. 三边垂直平分线的交点处
7.若一个三角形的三个内角度数的比为1：2：3，则这个三角形是( )
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形
8.下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成三角形的是( )
A. 1，2，3B. 1，12,13C. 0.1，0.2，0.3D. 1， 2， 3
9.下列命题的逆命题不成立的是( )
A. 全等三角形的对应边相等B. 等腰三角形的两个底角相等
C. 等边三角形是等腰三角形D. 直角三角形的两个锐角互余
10.如图，已知AB=CB，要使该图形成为一个轴对称图形，还需添加一个条件，这个条件不可以是( )
A. AD=CD
B. AC⊥BD
C. ∠ABD=∠CBD
D. ∠BAC=∠DAC
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.在建筑设计时，房屋的顶梁、大桥的钢架、索道的支架都采用了三角形结构，其中所运用的几何原理是 .
12.等腰三角形一个底角是30∘，则它的顶角是______度．
13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E，若BC=3，BD=2，则DE的长为______.
14.如图，已知AC=DF，AE=BD，点A，E，B，D在一条直线上，若添加一个条件使△ABC≌△DEF，则添加的条件是 .
15.如图是一台起重机的工作简图，吊杆前后两次位置OP1，OP2与线绳的夹角分别是36∘和70∘，则吊杆前后两次的夹角∠P1OP2= ∘.
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=3，BC=4，AB=5，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(−3,5)，B(−4,3)，C(−1,1).作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标.
18.(本小题8分)
如图，△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE=9，BC=6.求AE的长.
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠B=34∘，∠C=70∘，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线.求∠EAD的度数.
20.(本小题8分)
数学课上，郑老师布置如下任务：如图，∠MAN12+13，∴1，12，13不能组成三角形．故此选项不符合题意；
C.∵0.1+0.2=0.3，∴0.1，0.2，0.3，不能组成三角形．故此选项不符合题意；
D.∵1+ 2> 3，∴1， 2， 3能组成三角形．故此选项符合题意；
故选：D.
根据三角形三边关系定理，若两较小边之和大于较长边即能组成三角形，逐项验证即可．
本题考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系：任意两边之和大于第三边是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：A、全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的三角形是全等三角形，逆命题是真命题，故不符合题意；
B、等腰三角形的两个底角相等的逆命题是两个角相等的三角形是等腰三角形，逆命题是真命题，故不符合题意；
C、等边三角形是等腰三角形的逆命题是等腰三角形是等边三角形，逆命题是假命题，故符合题意；
D、直角三角形的两个锐角互余的逆命题是两个锐角互余的三角形是直角三角形，逆命题是真命题，故不符合题意；
故选：C.
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再根据全等三角形的判定、等腰三角形的判定、等边三角形的判定和直角三角形的判定判断．
本题考查的是命题与定理，把一个命题的条件和结论互换就得到原命题的逆命题．
10.【答案】A
【解析】解：∵AB=CB，
∴△ABC是等腰三角形，
故添加AD=CD，使△ACD与△ABC是同底的等腰三角形，则该图形成为一个轴对称图形，BD所在的直线就是它的对称轴．
故选：A.
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，再结合等腰三角形的性质解答即可．
本题考查轴对称图形以及等腰三角形的性质，熟练掌握其定义是解题的关键．
11.【答案】三角形的稳定性
【解析】解：在建筑设计时，房屋的顶梁、大桥的钢架、索道的支架都采用了三角形结构，这里运用的三角形的性质是三角形的稳定性．故答案为：三角形的稳定性．
根据三角形的稳定性解答即可．
此题考查的是三角形的稳定性，掌握三角形的稳定性是解决此题的关键．
12.【答案】120
【解析】解：因为等腰三角形的两个底角相等，已知一个底角是30∘，
所以它的顶角是180∘−30∘−30∘=120∘.
故答案为：120.
根据已知可得到另一底角度数，根据三角形内角和定理即可求得顶角的度数．
此题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的运用．本题给出了底角是30∘，问题就变得比较简单，属于基础题．
13.【答案】1
【解析】解：∵BC=3，BD=2，
∴CD=1，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，AC⊥CD，
∴DE=CD=1，
故答案为：1.
根据角平分线的性质得出DE=CD，即可求解．
本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
14.【答案】BC=EF(或∠A=∠D或AC//DF)
【解析】解：∵AE=BD，
∴AE+EB=BD+EB，
即AB=DE，
∵AB=DE，AC=DF，
∴当添加BC=EF时，△ABC≌△DEF(SSS)，
当添加∠A=∠D或AC//DF时，△ABC≌△DEF(SAS).
故答案为：BC=EF(或∠A=∠D或AC//DF).
由于已知了两组对应边相等，则可根据“SSS”或“SAS”添加条件使△ABC≌△DEF.
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
15.【答案】34
【解析】解：如图，设经过点P1、P2的线绳所在的直线分别为P1A、P2B，P1A交OP2于点C，
∵P1A、P2B都与地面垂直，
∴P1A//P2B，
∴∠OCA=∠OP2B=70∘，
∵∠OCA=∠P1OP2+∠P1，且∠P1=36∘，
∴∠P1OP2=∠OCA−∠P1=70∘−36∘=34∘，
故答案为：34.
设经过点P1、P2的线绳所在的直线分别为P1A、P2B，P1A交OP2于点C，则P1A//P2B，所以∠OCA=∠OP2B=70∘，而∠P1=36∘，所以∠P1OP2=∠OCA−∠P1=34∘，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行线的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
16.【答案】2.4
【解析】解：如图，作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′，CQ′，过点C作CH⊥AB于点H.
∵AD是△ABC的角平分线，Q与Q′关于AD对称，
∴点Q′在AB上，PC+PQ=PC+PQ′≥CH，
∵AC=3，BC=4，AB=5，12⋅AC⋅BC=12⋅AB⋅CH，
∴CH=2.4，
∴CP+PQ≥2.4，
∴PC+PQ的最小值为2.4.
故答案为：2.4.
如图，作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′，过点C作CH⊥AB于点H.利用垂线段最短解决问题即可．
本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握角平分线的性质，找到C点关于AD的对称点，再由垂线段最短是求解的关键．
17.【答案】如图所示，△A1B1C1即为所求．A1(3,5).

【解析】解：如图所示，△A1B1C1即为所求．A1(3,5).
根据轴对称的性质作图写出点的坐标即可．
本题考查了作图-轴对称变换，熟记轴对称变换的性质是解题的关键．
18.【答案】3.
【解析】解：∵△ABC≌△DEB，DE=9，BC=6，
∴AB=DE=9，BC=BE=6，
∴AE=AB−BE=9−6=3.
由△ABC≌△DEB，可得AB=9，BE=6，从而可得答案．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
19.【答案】∠EAD的度数为18∘.
【解析】解：∵∠B=34∘，∠C=70∘，
∴∠BAC=180∘−∠B−∠C=76∘，
∵AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，
∴AD⊥BC于点D，∠BAE=∠CAE=12∠BAC=38∘，
∴∠ADC=90∘，
∴∠CAD=90∘−∠C=20∘，
∴∠EAD=∠CAE−∠CAD=18∘，
∴∠EAD的度数为18∘.
由∠B=34∘，∠C=70∘，根据三角形内角和定理求得∠BAC=76∘，则∠BAE=∠CAE=38∘，而AD⊥BC于点D，所以∠CAD=90∘−∠C=20∘，求得∠EAD=∠CAE−∠CAD=18∘.
此题重点考查三角形的内角和等于180∘、直角三角形的两个锐角互余等知识，求得∠BAE=∠CAE=38∘，∠CAD=20∘是解题的关键．
20.【答案】
DB；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；∠BDC；等边对等角
【解析】(1)如图所示．
(2)证明：∵直线l为线段AB的垂直平分线，
∴DA=DB(垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等).
∴∠A=∠ABD.
∴∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A.
∵BC=BD，
∴∠ACB=∠BDC(等边对等角).
∴∠ACB=2∠A.
故答案为：DB；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；∠BDC；等边对等角．
(1)按照作图步骤作图即可．
(2)结合线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质填空即可．
本题考查作图-复杂作图、垂线段最短、线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】已知：如图，△ABC≌△EFC，AD、EH分别是△ABC和△EFC的对应边BC、FG上的高．
求证：AD=EH.
证明：∵△ABC≌△EFC，
∴AB=EF，∠B=∠F，
∵AD、EH分别是△ABC和△EFC的对应边BC、FG上的高，
∴∠ADB=∠EHF=90∘，
在△ABD和△EFH中
∠ADB=∠EHF∠B=∠FAB=EF，
∴△ABD≌△EFH(AAS)，
∴AD=EH.
【解析】根据图形写出已知，求证，根据全等三角形的性质求出AB=EF，∠B=∠F，根据全等三角形的判定求出△ABD≌△EFH即可．
此题主要考查学生对全等三角形的性质及判定的理解及运用能力．注意命题的证明的格式、步骤．
22.【答案】BC=EF.
理由：∵EH=DH=2.5米，
∴ED=5米，
∴AB=DE，
由题意可知四边形CADH为矩形，
∴CA=DH=2.5米，
∵DF=2.5米，
∴AC=DF，
在△ABC和△DEF中，
AB=DE∠CAB=∠FDE=90∘AC=DF，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴BC=EF，即BC和EF的长相等；
BC⊥EF.
理由：延长BC交EF于点M，
∵∠EDF=90∘，
∴∠DFE+∠EDF=90∘，
∵△ABC≌△DEF(SAS)，
∴∠B=∠DEF，
∴∠B+∠DFE=90∘，
∴∠BMF=90∘，
∴EF⊥BM
【解析】(1)BC=EF.
理由：∵EH=DH=2.5米，
∴ED=5米，
∴AB=DE，
由题意可知四边形CADH为矩形，
∴CA=DH=2.5米，
∵DF=2.5米，
∴AC=DF，
在△ABC和△DEF中，
AB=DE∠CAB=∠FDE=90∘AC=DF，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴BC=EF，即BC和EF的长相等．
(2)BC⊥EF.
理由：延长BC交EF于点M，
∵∠EDF=90∘，
∴∠DFE+∠EDF=90∘，
∵△ABC≌△DEF(SAS)，
∴∠B=∠DEF，
∴∠B+∠DFE=90∘，
∴∠BMF=90∘，
∴EF⊥BM.
(1)证明△ABC≌△DEF(SAS)，由全等三角形的性质得出BC=EF；
(2)延长BC交EF于点M，由全等三角形的性质得出∠BMF=90∘，则可得出结论．
此题主要考查了全等三角形的应用，直角三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应边相等．
23.【答案】∠DBC=36∘；
证明：∵DE是AB的垂直平分线，DF⊥BC于点F，
∴∠DEB=∠DFB=90∘，
由 知∠DBC=∠DBE=36∘，
在△BDE和△BDF中，
∠DEB=∠DFB∠DBC=∠DBEBD=BD，
∴△BDE≌△BDF(AAS)，
∴DE=DF，BE=BF，
∴BD垂直平分EF
【解析】(1)解：∵AB=AC，∠A=36∘，
∴∠ABC=∠C=180∘−36∘2=72∘，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=36∘，
∴∠DBC=36∘；
(2)证明：∵DE是AB的垂直平分线，DF⊥BC于点F，
∴∠DEB=∠DFB=90∘，
由(1)知∠DBC=∠DBE=36∘，
在△BDE和△BDF中，
∠DEB=∠DFB∠DBC=∠DBEBD=BD，
∴△BDE≌△BDF(AAS)，
∴DE=DF，BE=BF，
∴BD垂直平分EF.
(1)由AB=AC，∠A=36∘求出∠ABC，再利用垂直平分线的性质得出∠A=∠ABD=36∘即可求解；
(2)证明△BDE≌△BDF得出DE=DF，BE=BF即可得证．
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，现代垂直平分线的性质和判定，熟练运用以上知识是解题关键．
24.【答案】∵△ABC和△BEF都是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABE+∠EBC=60∘，BE=BF，∠CBF+∠EBC=60∘，
∴∠ABE=∠CBF，
在△ABE和△CBF中，
AB=BC∠ABE=∠CBFBE=BF，
∴△ABE≌△CBF(SAS)；
150∘或105∘或60∘；
32
【解析】(1)证明：∵△ABC和△BEF都是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABE+∠EBC=60∘，BE=BF，∠CBF+∠EBC=60∘，
∴∠ABE=∠CBF，
在△ABE和△CBF中，
AB=BC∠ABE=∠CBFBE=BF，
∴△ABE≌△CBF(SAS)；
(2)解：∠BDF的大小为150∘或105∘或60∘，理由如下：
①FD=FC时，
∵∠BCF=30∘，
∴∠CDF=∠DCF=30∘，
∴∠BDF=180∘−∠CDF=150∘；
②CD=CF时，则∠CDF=12×(180∘−∠DCF)=75∘，
∴∠BDF=180∘−∠CDF=105∘；
③DC=DF时，则∠CFD=∠DCF=30∘，
∴∠BDF=∠DCF+∠CFD=60∘；
综上，∠BDF的大小为150∘或105∘或60∘；
(3)解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=4，∠BAC=60∘，
∵AD⊥BC，
∴CD=12BC=3，∠BAD=12∠BAC=30∘，
由(2)知△ABE≌△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=30∘，
∴当DF⊥CF时，DF最小，最小值为DF=12CD=32.
(1)通过SAS证明全等即可；
(2)分三种情况进行讨论即可；①FD=FC时，②CD=CF时，③DC=DF时；
(3)根据等边三角形性质得到BC=6，∠BAC=60∘，根据AD⊥BC，得到CD=3，∠BAD=30∘，根据全等三角形性质得∠BCF=30∘，得到当DF⊥CF时，DF最小．
本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，分类讨论等，掌握全等三角形的性质与判定及分类讨论是解题的关键．
25.【答案】依题意补全图形如下：
∠AED=120∘.理由如下：
如图，在BE上取点F，使∠FCE=60∘，连接CD，设AD与CP交于点H，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60∘.
∴∠ACB−∠ACF=∠FCE−∠ACF，
∴∠BCF=∠ACE，
∵点A和点D关于射线CP的对称，
∴PC是AD的垂直平分线，
∴AC=DC，AE=DE，∠ACE=∠DCE.
∴∠CAD=∠CDA，∠EAD=∠EDA，
∴∠CAE=∠CDE，
∵BC=AC=DC，
∴∠CBF=∠CDE，
∴∠CBF=∠CAE，
在△CBF和△CAE中，
∠CBF=∠CAECB=CA∠BCF=∠ACE，
∴△CBF≌△CAE(ASA)，
∴CF=CE，
∵∠FCE=60∘，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠CEF=60∘，
∴∠AEH=∠DEH=∠CEF=60∘，
∴∠AED=2∠AEH=120∘；
结论：BD=2AE+CE.理由如下：
由 知，AE=DE，
∵△CBF≌△CAE，
∴BF=AE，
∴BF=AE=DE，
∵△CEF是等边三角形，
∴CE=EF，
∴BD=BF+FE+ED=CE+2AE
【解析】(1)依题意补全图形如下：
(2)∠AED=120∘.理由如下：
如图，在BE上取点F，使∠FCE=60∘，连接CD，设AD与CP交于点H，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60∘.
∴∠ACB−∠ACF=∠FCE−∠ACF，
∴∠BCF=∠ACE，
∵点A和点D关于射线CP的对称，
∴PC是AD的垂直平分线，
∴AC=DC，AE=DE，∠ACE=∠DCE.
∴∠CAD=∠CDA，∠EAD=∠EDA，
∴∠CAE=∠CDE，
∵BC=AC=DC，
∴∠CBF=∠CDE，
∴∠CBF=∠CAE，
在△CBF和△CAE中，
∠CBF=∠CAECB=CA∠BCF=∠ACE，
∴△CBF≌△CAE(ASA)，
∴CF=CE，
∵∠FCE=60∘，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠CEF=60∘，
∴∠AEH=∠DEH=∠CEF=60∘，
∴∠AED=2∠AEH=120∘；
(3)结论：BD=2AE+CE.理由如下：
由(2)知，AE=DE，
∵△CBF≌△CAE，
∴BF=AE，
∴BF=AE=DE，
∵△CEF是等边三角形，
∴CE=EF，
∴BD=BF+FE+ED=CE+2AE.
(1)根据题意画出图形即可；
(2)在BE上取点F，使∠FCE=60∘，连接CD，设AD与CP交于点H，根据已知条件证明△CBF≌△CAE(ASA)，可得CF=CE，得△CEF是等边三角形，进而可得∠AEB的度数；
(3)根据△CBF≌△CAE，可得BF=AE=DE，根据△CEF是等边三角形，进而可得线段AE，BD，CE之间的数量关系．
本题是三角形的综合题，主要考查了作图-轴对称变换，列代数式，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．课题
探究两个滑梯的长度是否相等
测量工具
长度为4米的卷尺
测量步骤
在地面上测量出两滑梯底部到主体房的距离
测量数据
DF=2.5米，AB=5米