高中数学人教A版 (2019)必修 第一册任意角和弧度制课后练习题

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考点一 角度制与弧度制的互换
【例1】把下列各角的弧度数化为度数，度数化为弧度数.
（1） ； （2） ； （3）1125° ； （4）-225°.
【答案】（1）105° （2）-390° （3）254π （4）- 54π
【解析】（1）根据弧度制与角度制的互化公式， ，可得： ；
（2）
（3） ；
（4） .
【一隅三反】
1．将210°化成弧度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】。 故答案为：D.
2．将120°转化为弧度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】， 故答案为：B.
3．角度化成弧度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意，。 故答案为：A.
考点二 终边相同的角
【例2】在与 角终边相同的角中，求满足下列条件的角．
（1）最大的负角；
（2）最小的正角；
（3）在 内的角．
【答案】见解析
【解析】（1）解：与 角终边相同的角为 ， .
由 且 ，可得 ，故所求的最大负角为
（2）解：由 且 ，可得 ，故所求的最小正角为
（3）解：由 且 ，可得 ，故所求的角为
【一隅三反】
1．在0~360°的范围内，下列与-510°终边相同的角是（ ）
A．330°B．210°C．150°D．30°
【答案】B
【解析】因为-510°=-720°+210°，则在0°~360°的范围内，与-510°终边相同的角是210° .故选：B
2.在，，，中，与终边相同的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】与终边相同的角为：； 当时，.故答案为：D.
3．下列各组角中，终边相同的是（ ）
A．43°和313°B．37°和787°
C．65°和-655°D．124°和-576°
【答案】C
【解析】 . 故答案为：C．
4.（多选）与角 终边相同的角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】与角 终边相同的角的集合是 ，
当 时， ，当 时， .故答案为：BD
考点三 角象限的判断
【例3-1】已知角，则角的终边落在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】因为，而是第三象限角，故角的终边落在第三象限.
故答案为：C.
【例3-2】角 的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】 ，则与 终边相同，故角 的终边所在的象限是
第三象限.故答案为：C
【一隅三反】
1.410°角的终边落在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】，故为第一象限角。 故答案为：A．
2．已知角，则角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】C
【解析】因为所以与是同一象限角，
因为是第三象限角，故为第三象限角．故答案为：C．
3．角的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】因为，所以角与角是终边相同的角，又，所以角的终边在第四象限.故选：D
考点四 概念的辨析
【例4】下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于90º的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为60º；⑥若，则是第四象限角．其中正确的题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】对于①：钝角是大于小于的角，显然钝角是第二象限角. 故①正确；
对于②：锐角是大于小于的角，小于的角也可能是负角. 故②错误；
对于③：显然是第一象限角. 故③错误；
对于④：是第二象限角，是第一象限角，但是. 故④错误；
对于⑤：时针转过的角是负角. 故⑤错误；
对于⑥：因为，所以，是第四象限角. 故⑥正确.
综上所述，①⑥正确.故答案为：B.
【一隅三反】
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．锐角是第一象限的角B．终边相同的角必相等
C．小于的角一定为锐角D．第二象限的角必大于第一象限的角
【答案】A
【解析】对于A中，根据锐角的定义，可得锐角满足是第一象限角，所以A正确；
对于B中，例如：与的终边相同，但，所以B不正确；
对于C中，例如：满足，但不是锐角，所以C不正确；
对于D中，例如：为第一象限角，为第二象限角，此时，所以D不正确.故选：A.
2．下列命题中正确的是（ ）．
A．终边与始边重合的角是零角B．90°～180°间的角不一定是钝角
C．终边和始边都相同的两个角相等D．第二象限的角大于第一象限的角
【答案】B
【解析】终边与始边重合的角还有360°角，720°角等，故A错误；
90°～180°间的角包括90°角，故90°～180°间的角不一定是钝角，故B正确；
终边和始边都相同的两个角相差，故C错误；
120°角是第二象限角，它小于第一象限的角400°角，故D错误．故选：B
3．下列说法正确的是（ ）
A．第二象限角大于第一象限角B．不相等的角终边可以相同
C．若是第二象限角，一定是第四象限角D．终边在轴正半轴上的角是零角
【答案】B
【解析】A选项，第一象限角，而是第二象限角，∴该选项错误；
B选项，与终边相等，但它们不相等，∴该选项正确；
C选项，若是第二象限角，则，
∴是第三象限角或第四象限角或终边在轴负半轴上的轴线角，∴该选项错误；D选项，角的终边在轴正半轴上，但不是零角，∴该选项错误.故选：.
考点五 扇形的弧长与面积
【例5】已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l．
（1）若α=60°，R=10cm，求扇形的弧长l；
（2）若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大；
（3）若α= ，R=2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．
【答案】见解析
（1）解：l=10× = （cm）．
（2）解：由已知得：l+2R=20，
所以S= lR= （20﹣2R）R=﹣（R﹣5）2+25．
所以R=5时，S取得最大值25，此时l=10，α=2rad．
（3）解：设弓形面积为S弓，由题知l= cm， S弓=S扇﹣S△= ×22×sin （cm2）．
【一隅三反】
1．若扇形的周长为，面积为，则其圆心角的弧度数是（ ）
A．1或4B．1或2C．2或4D．1或5
【答案】A
【解析】设扇形的半径为，弧长为，由题意得2R+l=1212Rl=8，解得l=4R=4或l=8R=2，
故扇形的圆心角的弧度数或 4．故答案为：A.
2．已知扇形的周长为30cm，圆心角为3rad，则此扇形的弧长为（ ）
A．6cmB．12cmC．18cmD．24cm
【答案】C
【解析】由题意得：扇形的半径为，圆心角为3rad，扇形的周长为：，解得所以扇形的弧长为：故答案为：C
3.（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；
（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
【答案】见解析
【解析】（1）解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，
由题意可得：2r+l=10， ×l×r=4，解得： ，或 ．
故扇形中心角的弧度数为 = ，或8（由于8＞2π，舍去）．
（2）解：设扇形的半径和弧长分别为r和l， 由题意可得2r+l=40，
∴扇形的面积S= lr= •l•2r≤ （ ）2=100，
当且仅当l=2r=20，即l=20，r=10时取等号，此时圆心角为α= =2，
∴当半径为10圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100．
考点六 实际应用
【例6】（多选）钟表在我们的生活中随处可见，高一某班的同学们在学习了“任意角和弧度制”后，对钟表的运行产生了浓厚的兴趣，并展开了激烈的讨论，若将时针与分针视为两条线段，则下列说法正确的是（ ）
A．小赵同学说：“经过了5 h，时针转了．”
B．小钱同学说：“经过了40 min，分针转了．”
C．小孙同学说：“当时钟显示的时刻为12：35时，时针与分针所夹的钝角为．”
D．小李同学说：“时钟的时针与分针一天之内会重合22次．”
【答案】ACD
【解析】经过了5 h，时针转过的角度对应的弧度数为，A符合题意．
经过了40 min，分针转过的角度对应的弧度数为，B不符合题意．
时钟显示的时刻为12：35，该时刻的时针与分针所夹的钝角为，C符合题意．
分针比时针多走一圈便会重合一次，设分针走了t min，第n次和时针重合，则，得，故，D符合题意．故答案为：ACD
【一隅三反】
1．如图所示，一圆形钟的时针长 ，2021年11月9日上午 至 ，时针的针头自点 处转动到点 处，则线段 的长为 .
【答案】
【解析】2021年11月9日上午7：00至11：00，时针的针头自点 处转动到点 处，
则时针转过的弧度数为 ，故 。故答案为： 。
2．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为 平方步.
【答案】120
【解析】由题意得：扇形的弧长为30，半径为8，所以扇形的面积为： ，所以这块田的面积为120平方步 。故答案为：120。
3．达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：（其中）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意，设． 则．，．
设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为．则，．故答案为：A．
4．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S1 ，圆面中剩余部分的面积为，当S1与的比值为 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】S1与所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设S1与所在扇形圆心角分别为，
则 ，又，解得故答案为：A
5.1 任意角与弧度制（精练）
1 角度制与弧度制的互换
1．角的弧度数为（ ）
A．40B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意，. 故答案为：B
2．把化为弧度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵，∴.故答案为：A
3．弧度等于（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【答案】B
【解析】因为，所以. 故答案为：B.
4．-320º用弧度制表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】。 故答案为：C．
5．930°=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】930°=930°×=． 故答案为：D
6．可以化为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，可以化为. 故答案为：C.
2 终边相同的角
1．下列角的终边与角的终边在同一直线上的是（ ）
A．-37°B．143°C．379°D．-143°
【答案】D
【解析】与37°角的终边在同一直线上的角可表示为，， 当时，，所以，-143°角的终边与37°角的终边在同一直线上.故答案为：D．
2．（多选）在范围内，与-410°角终边相同的角是（ ）
A．-50°B．-40°C．310°D．320°
【答案】AC
【解析】因为，， 所以与角终边相同的角是-50°和310°，故答案为：AC．
3．下列各角中，与终边相同的角为（ ）
A．-120°B．160°C．-240°D．360°
【答案】C
【解析】与-600°终边相同角为，而时，，其它选项都不存在整数，使之成立。 故答案为：C．
4．下列各角中，与60º角终边相同的角是（ ）
A．-300ºB．-60ºC．150ºD．240º
【答案】A
【解析】根据终边相同角的表示，可得与60º角终边相同的角为，
当时，可得，即-300º角与60º角终边相同.故答案为：A.
5．下列各组角中，两个角终边不相同的一组是（ ）
A．-43º与677ºB．900º与-1260º
C．-120º与960ºD．150º与630º
【答案】D
【解析】对于A，因为 ，所以 与 终边相同；
对于B，因为 ，所以 与 终边相同；
对于C，因为 ，所以 与 终边相同；
对于D，若 ，解得 ，所以 与 终边不同.
故答案为：D.
6．与2020°角的终边相同的角可以表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 与 终边相同，由此可得与 角的终边相同的角可以表示为 。 故答案为：D．
3 角象限的判断
1．1130º角的终边落在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】因为 ，且 角的终边落在第一象限， 所以1130º角的终边落在第一象限.故答案为：A
2．以下各角中，是第二象限角的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对于A选项， ， 为第三象限角，则 为第三象限角；
对于B选项， ， 为第二象限角，则 为第二象限角；
对于C选项， 为第三象限角；对于D选项， 为第四象限角.故答案为：B.
3．2020° 是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】C
【解析】 ， 且 ，所以角 是第三象限角．
故答案为：C．
4．若 为第一象限角，则 是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角
【答案】D
【解析】因为 为第一象限角， 所以 ，所以 ，
当 时， ，属于第一象限角，排除B；当 时， ，属于第三象限角,排除AC；所以 是第一或第三象限角故答案为：D
5．2弧度的角的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】因为 ，故2弧度的角的终边所在的象限为第二象限， 故答案为：B.
6．已知角 为锐角，则下列各角中为第四象限角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为角 为锐角，所以 为第二象限角； 为第三象限角； 为第四象限角；
为第三象限角．故答案为：C
7．（多选）如果 是第四象限角，那么 可能是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】BD
【知识点】象限角、轴线角
【解析】【解答】由已知得 ， ，所以 ， ，当 为偶数时， 在第四象限，当 为奇数时， 在第二象限，即 在第二或第四象限．
故答案为：BD．
8．已知α是锐角，则（ ）
A．2α是小于180°的正角B．180°＋α是第三象限角
C． 只是锐角D．2α是第一或第二象限角
【答案】ABC
【解析】依题意知 ，所以 ，A符合题意； ，所以 是第三象限角，B符合题意； ，所以 是锐角，C符合题意；
， 不是第一或第二象限角，D不符合题意.故答案为：ABC.
4 概念的辨析
1．下列说法正确的是（ ）
A．终边相同的角一定相等
B． 是第二象限角
C．若角 ， 的终边关于 轴对称，则
D．若扇形的面积为 ，半径为2，则扇形的圆心角为
【答案】D
【解析】A： 两个角的终边相同，但是这两个角不相等，故本说法错误；
B： ，而 ，所以 是第三象限角，说法错误；
C：当 时，两个角的终边关于 轴对称，而 ，故本说法错误；
D：设扇形的弧长为 ，因为扇形的面积为 ，半径为2，所以有 ，因此扇形的圆心角为 .故答案为：D
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．第二象限的角是钝角
B．第三象限的角必大于第二象限的角
C．－831°是第二象限角
D．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角
【答案】D
【解析】【解答】对于A，取第二象限角 ，但该角不为钝角；
对于B，取第三象限角 及第二象限角 ，可知第三象限的角不一定大于第二象限的角；
对于C， ，可知其终边在第三象限；
对于D， ， ，
故 ， ， 终边相同，故答案为：D.
3．（多选）下列说法错误的是（ ）
A．若角 ，则角 为第二象限角
B．将表的分针拨快 分钟，则分针转过的角度是
C．若角 为第一象限角，则角 也是第一象限角
D．若一扇形的圆心角为 ，半径为 ，则扇形面积为
【答案】BCD
【解析】A选项： ，A正确，不符合题意；
B选项：拨快是顺时针旋转，转过的角度是负角，B错误，符合题意；
C选项： 时， 为第一象限角，但 不是第一象限角，C错误，符合题意；
D选项： ， ，D错误，符合题意.
故答案为：BCD.
4．（多选）下列表示中正确的是（ ）
A．终边在x轴上的角的集合是{a|a=kp，k∈Z}
B．终边在y轴上的角的集合是
C．终边在坐标轴上的角的集合是
D．终边在直线y=x上的角的集合是
【答案】ABC
【解析】A. 终边在x轴上的角的集合是 {a|a=kp，k∈Z}，A符合题意；
B. 结合终边在 轴上角，则终边在y轴上的角的集合是 ，B符合题意；
C. 结合AB，终边在坐标轴上的角的集合是 ，C符合题意；
D. 结合A，终边在直线y=x上的角的集合是 ，D不符合题意．
故答案为：ABC．
5 扇形的弧长与面积
1．一扇形的周长为20，半径为5，则该扇形的面积为（ ）
A．30B．25C．45D．50
【答案】B
【解析】因为扇形的周长为20，半径为5，所以扇形的弧长为10， 故该扇形的面积为 。故答案为：B
2．已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形所在圆的半径为 .
【答案】2
【解析】因为，所以扇形的面积为， 所以，即，答案为：2
3．半径为2cm，中心角为的扇形的弧长为 cm．
【答案】
【解析】圆弧所对的中心角为即为弧度，半径为弧长为．故答案为：．
4．屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为3.6m，内环弧长为1.2m，径长（外环半径与内环半径之差）为1.2m，则该扇环形屏风的面积为 ．
【答案】2.88
【解析】设扇形的圆心角为，内环半径为，外环半径为，则，由题意可知，所以，所以该扇环形屏风的面积为：
。故答案为：2.88。
5．如果圆心角为的扇形所对的弦长为，则扇形的面积为 .
【答案】
【解析】如下图所示，作，已知，，则，，
设扇形的半径为，则，因此，该扇形的面积为。故答案为：。
6 实际应用
1．时针经过四个小时，转过了（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】时针顺时针旋转，转过一圈（12小时）的角度为，则时针经过四个小时，转过了。故答案为：B.
2．砀山被誉为“酥梨之乡”，每逢四月，万树梨花开，游客八方来．如图1，梨花广场的标志性建筑就是根据梨花的形状进行设计的，建筑的五个“花瓣”中的每一个都可以近似看作由两个对称的弓形组成，图2为其中的一个“花瓣”平面图，设弓形的圆弧所在圆的半径为，弦长为，则一个“花瓣”的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为弓形的圆弧所在圆的半径为，弦长为，所以弓形的圆弧所对的圆心角的大小为，
所以弓形的面积，所以一个“花瓣”的面积为。故答案为：B.
3．如图，时钟显示的时刻为12：55，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的锐角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由图可知，该时刻的时针与分针所夹的锐角为。故答案为：B.
4．如图所示的复古时钟显示的时刻为10：10，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】表有12个刻度，相邻两个刻度所对的圆心角为 ； 当时针指向10，分针指向2时，时针与分针夹角为 ；但当分针指向2时，时针由10向11移动了 ； 该时刻的时针与分针所夹钝角为 .故答案为：B.
5．某学校大门口有一座钟楼，每到夜晚灯光亮起都是一道靓丽的风景，有一天因停电导致钟表慢10分钟，则将钟表拨快到准确时间分针所转过的弧度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】分针需要顺时针方向旋转 ，即弧度数为 。 故答案为：A.
6．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，已知D为OA的中点，，，则此扇面（扇环ABCD）部分的面积是 ．
【答案】
【解析】。 故答案为：。
7．木雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统木雕精致细腻､气韵生动､极富书卷气．如图是一扇环形木雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分．已知，，，则该扇环形木雕的面积为 ．
【答案】
【解析】环形面积.故答案为：．
8．亲爱的考生，本场考试需要2小时，则在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为 .
【答案】
【解析】【解答】由题意知 ， 因为是顺时针，故钟表的时针转过的弧度数为 .
故答案为： .