专题5 整数的裂项和拆分-小升初数学模块化思维提升（人教版）练习含答案

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（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、整数的列项与分拆：就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆．整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想．在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等．
【典例一】小亮是一名中学生，他代表学校参加了全市数学竞赛，他说：“我的名次、得分和年龄的乘积是4074。”他的名次、得分和年龄之和是
A．97B．98C．114D．115
【分析】根据题意，把4074分解质因数，，小亮是个中学生，年龄在之间，可能的值只有（岁，名次是个位数，所以是第三名，据此解答。
【解答】解：
因为小亮是中学生，年龄介于岁之间；
可能的值只有（岁；
名次是个位数，所以是第三名；
因此李明得了97分。
他的名次、得分和年龄之和是：
。
故选：。
【点评】本题关键是分解质因数，然后再根据中学生的年龄阶段进一步解答。
【典例二】有四个自然数1、、、，满足，且，这四个小自然数两两求和可得到6个不同的数．把这6个数从小到大排列，求相邻两数的差，又得到5个数，这5个数恰都相等，则 ．
【分析】这六个数从小到大排列分别是，，，，，．因为“相邻的差，都相等”，就说明上面六个数是等差数列．那么取前三项，，得到
又已知，那么可得到：．取，，，得到，整理得，即，又，把代入可求出的值是多少．
【解答】解：把这六个数从小到大排列分别是，，，，，．
因为“相邻的差，都相等”，就说明上面六个数是等差数列．那么取前三项，，得到

．
取，，，得到

，
把代入



答：．
故答案为：889．
【点评】本题的关键是把两两相加得到的6个数按顺序排列大小，再根据相邻两数的差相等，确定是等差数列，再进行解答．
【典例三】已知、、、、、六人分别看了5、5、6、6、8、10场演出，每场演出票价不变．成人票的票价是儿童票的2倍，且均为整数元，已知这六人买演出票共支出了1026元．求成人票单价是多少元？
【分析】假设全部是成人场或儿童场，分别求出票价，从而确定票价的区间范围；然后将1026分解质因数，从而解答出本题．
【解答】解：（场，
当全部是成人场，那么成人票价为；当全部是儿童场时，那么成人票价为，成人票价就在之间．
，成人票的价格只能是27或是38，才能整除1026，儿童票价是整数，那么成人票价只能是38元，儿童票价是19元，
，，
成人场数应该是（场，
则儿童场是（场，
（元；
因此成人票价是38元．
答：成人票单价是38元．
【点评】本题主要考查了学生解决生活中实际问题的能力，要求学生熟练掌握这类题的解题方法，会利用分解质因数的相关知识解题．
一．选择题（共6小题）
1．一种钢笔有6支装和10支装两种不同的包装。李老师要买56支钢笔当作书法比赛的奖品，一共有多少种不同的买法？
A．2B．3C．4D．5
【分析】把56分成6的倍数与10的倍数的和，找出正好是56支的全部可能，从而解决问题。
【解答】解：
，买6盒6支装的和2盒10支装的；
，买1盒6支装的和5盒10支装的。
答：一共有2种不同的买法。
故选：。
【点评】本题主要考查了整数的拆分，把56分成6的倍数和10的倍数相加的和是解答的关键。
2．小亮是一名中学生，他代表学校参加了全市数学竞赛，他说：“我的名次、得分和年龄的乘积是4074。”他的名次、得分和年龄之和是
A．97B．98C．114D．115
【分析】根据题意，把4074分解质因数，，小亮是个中学生，年龄在之间，可能的值只有（岁，名次是个位数，所以是第三名，据此解答。
【解答】解：
因为小亮是中学生，年龄介于岁之间；
可能的值只有（岁；
名次是个位数，所以是第三名；
因此李明得了97分。
他的名次、得分和年龄之和是：
。
故选：。
【点评】本题关键是分解质因数，然后再根据中学生的年龄阶段进一步解答。
3．下面4个数中，恰有一个数是两个相邻整数的乘积，这个数是
A．5096303B．5096304C．5096305D．5096306
【分析】由题意知，将5096303、5096304、5096305、5096306分解质因数即可判断．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了学生对知识的综合运用能力，此题主要运用分解质因数的方法解决问题．
4．在长度分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9的线段各1条，从中选出若干条组成正方形，那么不同的选法有 种．
A．6B．7C．8D．9
【分析】从题中可知，组成正方形，正方形特点是四条边都相等，只要把这9个数任选两个组成四组同样长的边即可．那就一一组合成不同得数．选8条的有三种，选用7条的6种，列出即可．
【解答】解：不同的选法有9种：
选用8条的3种：
第1种（不用 （边长为，
第2种（不用 （边长为，
第3种（不用 （边长为，
选用7条的6种：
第4种（不用1和 （边长为，
第5种（不用2和 （边长为，
第6种（不用3和 （边长为，
第7种（不用4和 （边长为，
第8种（不用4和 （边长为，
第9种（不用8和 （边长为，
选用6条一下的除了最大的一条边，其余最多剩5条组成不了另三条相等的边如：，还剩3没法组成6了．
所以：不同的选法有9种．
故选：．
【点评】此题关键是明白组成什么图形，边有什么特点，然后再根据题意把1到9这几个数进行组合即可．
5．如果三名同学的平均年龄是12岁，三人中没有一个人年龄小于10岁，那么三人中年龄最大的可能是 岁．
A．11B．15C．23
【分析】如果三名同学的平均年龄是12岁，则三人的年龄和是，三人年龄不等，没有一个人年龄小于10岁，假设1个人的年龄是10岁，一个人的年龄是11岁，那么三人中年龄最大的可能是岁，即可得解．
【解答】解：（岁，
（岁，
答：如果三名同学的平均年龄是12岁，三人中没有一个人年龄小于10岁，那么三人中年龄最大的可能是15岁．
故选：。
【点评】此题考查了整数的列项与分拆：就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆．整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想．在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等．
6．用一架天平和11个重量均为整数克的砝码，可以直接称出的所有整数克数的重量（称时砝码只能放在天平的一边），在这些砝码中，最重的一个为
A．1024B．979C．201D．256
【分析】要表示连续的自然数，这些数应是，，，，即是，据此解答．
【解答】解：据以上分析知，，所以最重的一个应为979克．
故选：．
【点评】本题考查了学生对连续自然数的表示方法．
二．填空题（共10小题）
7．两个连续奇数的和乘它们的差，积是304，这两个奇数分别是 75 和 ．
【分析】因为两个连续奇数的和乘它们的差，积是304，而两个连续的奇数相差2，所以两个奇数之和即可求出，那么两个奇数中间的偶数也可以求出，进而求出两个奇数．
【解答】解：因为，两个奇数的差是2．
所以，两个奇数之和是：，
两个奇数中间的偶数是：，
两个奇数分别是：，，
故答案为：75，77．
【点评】本题考查的奇数的意义，并且考查对连续奇数的理解．
8．将35分拆成若干个连续自然数的和，一共有 3 种不同的分法？
【分析】首先考虑两个相邻自然数的和：；
再根据，可知：35可以分拆成或，一共有两种方法．
所以一共有3种不同的方法．
【解答】解：；
答：一共有3种不同的方法．
故答案为：3．
【点评】本题根据分解质因数的方法，找出可以分成几个数的和进行求解，不要漏了这一组合．
9．有四个自然数1、、、，满足，且，这四个小自然数两两求和可得到6个不同的数．把这6个数从小到大排列，求相邻两数的差，又得到5个数，这5个数恰都相等，则 889 ．
【分析】这六个数从小到大排列分别是，，，，，．因为“相邻的差，都相等”，就说明上面六个数是等差数列．那么取前三项，，得到
又已知，那么可得到：．取，，，得到，整理得，即，又，把代入可求出的值是多少．
【解答】解：把这六个数从小到大排列分别是，，，，，．
因为“相邻的差，都相等”，就说明上面六个数是等差数列．那么取前三项，，得到

．
取，，，得到

，
把代入



答：．
故答案为：889．
【点评】本题的关键是把两两相加得到的6个数按顺序排列大小，再根据相邻两数的差相等，确定是等差数列，再进行解答．
10．学生学军打靶，每打一发子弹中靶的环数是0，1，2，，10环中的一种，某学生打了五发子弹，共中45环，那么这个学生五发子弹中环的环数分别是 10，10，9，9，7或10，10，9，8，8 ．（已知无三发子弹所中环数相同）
【分析】平均每发子弹打出的环数是：（环，由于最多是10环，如果只有一发10环，那么另外4环中要有一个8环，剩下的3环，都是9环，这与题干相矛盾；所以必须要有2个10环，那么剩下的3环可以是：9，9，7或9，8，8，据此解答．
【解答】解：平均每发子弹打出的环数是：（环，
由于最多是10环，如果只有一发10环，那么另外4环中要有一个8环，剩下的3环，都是9环，这与题干相矛盾；
所以必须要有2个10环，那么剩下的3环可以是：9，9，7或9，8，8，
因此这个学生五发子弹中环的环数分别是：10，10，9，9，7或10，10，9，8，8
故答案为：10，10，9，9，7或10，10，9，8，8．
【点评】本题关键是根据最多是10环，确定10环的个数．
11．五年级（2）班同学在一次课外活动中，被划分为5个组，第一组到第五组的人数分别是12，6，10，13，7人．其中有一个小组需要留在教室内画板报，其余各组去操场分别参加跳绳和跑步活动．若参加跑步的学生人数比参加跳绳的学生人数的2倍还多5人．则留在教室的小组是第 第三、或四、或五 组．
【分析】先求出5个小组一共的人数，再根据“4个小组去操场分别参加跳绳和跑步活动，参加跑步的学生人数比参加跳绳的学生人数的2倍还多5人；”知道总人数在扣除一个小组的人数后再减5必须是的倍数，由此即可得出答案．
【解答】解：，
，
，
那么剩下这个小组的人数必定除以3也余1，
因为，
，
，
所以剩下的那个组的人数是：4、7、10、，
而3、4、5组的人数分别为10、13、7，
所以留在教室的小组可能是第三、或四、或五小组，
答：留在教室的小组是第三、或四、或五组．
故答案为：第三、或四、或五．
【点评】解答此题的关键弄清题意，知道总人数在扣除一个小组的人数后再减5必须是的倍数，由此得出答案．
12．请你在下面算式的括号中填上四个连续奇数，使等式成立 499 ．
【分析】因为是四个连续奇数，设最小的奇数为，其它依次为、、，于是可列等式，解出即可．
【解答】解：设最小的奇数为，由题意得：
，
，
，
；
则，，；
这四个连续奇数是499、501、503、505．
故答案为：499、501、503、505．
【点评】此题考查了奇数的概念，以及列式计算的能力．
13．将150个苹果分给10个小朋友，每个小朋友都分到苹果，且分到的苹果个数互不相同，那么，分得苹果个数最多的小朋友，至少得到 20 个苹果
【分析】每个小朋友的苹果个数互不相同，要使一位小朋友分的最多，还要是至少是几个，就要把150平均分，，因为10是偶数，所以中间两个是14和16，故，共有10个加数，每个小朋友的苹果个数互不相同，所以分得苹果个数最多的小朋友，至少得到20个苹果。
【解答】解：（个
答：分得苹果个数最多的小朋友，至少得到20个苹果。
故答案为：20。
【点评】完成本题要注意抓住“苹果个数互不相同”就可以看作是几个不同加数的和，来进行分析解答。
14．七名学生在一次数学竞赛中共得110分，各人得分互不相同，其中得分最高的是19分，那么最低得分至少是 11 分．
【分析】根据题干，得分最高为19分，要求得分最少的选手至少得多少分，那么可以将其余五个人的得分最大化：即分别得分为：18，17，16，15，14，由此即可得出最少得分。
【解答】解：
（分
答：那么最低得分至少是11分。
【点评】抓住本题特点：其他选手的得分最大化，则剩下的选手得分最少；六个人的得分越接近平均得分，最少的那个选手的得分就越多。
15．为方便网上直播教学，孙武湖实验小学计划购入28个直播架。超市的直播架有2个装和3个装两种不同的包装，有 5 种不同的买法。
【分析】把28拆分成2的积与3的积的和，据此求解即可。
【解答】解：
所购买2个装的有14包，2个装的有2包和3个装的有8包，2个装的有5包和3个装的有6包，2个装的有8包和3个装的有4包，2个装的有11包和3个装的有2包；共5种方法。
答：有5种不同的买法。
故答案为：5。
【点评】解答本题的关键是根据整数的拆分，把28拆分成2的积与3的积的和。
16．从某物流园区开出6辆货车，这6辆货车的平均装货量为62吨，已知每辆货车载重量各不相同且均为整数，最重的装载了71吨，最轻的装载了54吨。问这6辆货车中装货第三重的卡车至少装载了 60 吨。
【分析】根据题意，已知每辆货车载重量各不相同且均为整数，若要装货第三重的卡车装载最少，则其他卡车应该装载尽可能多，即第二重卡车装载70吨。设第三重卡车装载吨，则第四重装载吨，第五重装载吨，最轻的装载了54吨。据此列出方程求解即可。
【解答】解：设第三重卡车装载吨，最重的装载了71吨，第二重货车装载70吨，则第四重装载吨，第五重装载吨，据题意列方程得：
答：这6辆货车中装货第三重的卡车至少装载了60吨。
故答案为：60。
【点评】解答本题的关键是明确题意，设第三重卡车装载吨，找出等量关系列方程。
三．解答题（共9小题）
17．
如果每条船坐满，可以怎样租船？
【分析】把22拆分为几个6与几个4的和即可。
【解答】解：
所以如果每条船坐满，可以租1条大船和4条小船；或租3条大船和1条小船。
【点评】本题考查了整数的拆分，注意拆分要全面。
18．小华有50元和20元两种人民币若干张，他要取出470元买几套《数学真奇妙》寄给贫困山区的孩子。他有多少种不同的取法？你能列表找出答案吗？请你试一试。
【分析】把50元的张数由张分情况讨论，找出符合题意的即可。
【解答】解：（1），所以50元的1张，20元的21张；
（2），所以50元的3张，20元的16张；
（3），所以50元的5张，20元的11张；
（4），所以50元的7张，20元的6张；
（5），所以50元的9张，20元的1张；
因此，共有5种不同的取法．
答：他有5种不同的取法。
【点评】本题考查了整数的裂项与拆分，关键先确定50元的张数的范围，在分情况讨论。
19．希望小学六年级有216名同学要去长沙植物园研学旅行，请你根据以下信息，写出你的派车方案．（至少要写出三种）
【分析】根据题意把216拆分为几个24的和与几个36的和即可，要注意尽量不要有空座；据此解答即可．
【解答】解：方案一：，即中巴车派出9辆，大巴车派出0辆；
方案二：，即中巴车派出6辆，大巴车派出2辆；
方案三：，即中巴车派出3辆，大巴车派出4辆；
方案四：，即中巴车派出0辆，大巴车派出6辆．
【点评】最优化问题不仅具有趣味性，而且由于解题方法灵活，技巧性强，因此对于开拓解题思路，增强数学能力很有益处．但解决这类问题需要的基础知识相当广泛，很难做到一一列举．
20．李叔叔和张伯伯家一共养了106只鸡，李叔叔家的鸡中有是公鸡，张伯伯家的鸡有是母鸡，他们两家一共养了多少只母鸡？
【分析】李叔叔家的鸡中有是公鸡，张伯伯家的鸡有是母鸡，鸡是动物，数量应是自然数，那么总数106只，应该能分成一个是8的倍数，一个是11的倍数，只能是李叔叔有40只鸡，张伯伯有66只鸡，因此得解．
【解答】解：，
，
，
，
（只；
答：他们两家一共养了67只母鸡．
【点评】根据题目要求，把106拆分成两个整数的和，是解决此题的关键．
21．有5个人都是3月30日出生的，都属龙，今年他们岁数的连乘积为1353625，今年他们的岁数之和是多少岁？（注：假设今年是龙年，今年出生的虚岁为1岁，属龙）
【分析】本题可先将1353625分解质因数，然后根据同属相的人如果不是出生在同一年，则相差岁数应是12的整数倍，进行分析即可。
【解答】解：
则这5年人的年龄分别是：这六个人分别年龄是1，13，25，49，85．
年龄之和（岁
答：今年他们的岁数之和是173岁。
【点评】明确同属相的人如果不是出生在同一年，则相差岁数应是12的整数倍是完成本题的关键。
22．用每节载重8吨和每节载重12吨的火车车皮往香港运蔬菜96吨．需每节载重8吨和每节载重12吨的火车车皮各多少节？
【分析】因为，由此得出需每节载重8吨和每节载重12吨的火车车皮数量．
【解答】解：因为，
所以需要每节载重8吨的火车车皮3节，和每节载重12吨的火车车皮6节；
答：需要每节载重8吨的火车车皮3节，和每节载重12吨的火车车皮6节．
【点评】解答此题的关键是把96进行合理的裂项，即将96分成8的整数倍和12的整数倍的和．
23．仓库里有六桶油，分别盛有菜籽油、棉籽油和一桶桐油，各桶分别标明盛油16千克、23千克、19千克、21千克、13千克、15千克，可是不知哪一桶盛的是什么油，只知棉籽油的重量是菜籽油的2倍，请你通过计算把盛桐油的桶区别出来．
【分析】因为棉籽油是菜籽油重量的2倍，所以这两种油的重量和要能被3整除．而6桶油共重107千克，所以1桶桐油的重量应是被3除余2，所以23千克的是桐油．
【解答】解：因为棉耔油的重量是菜耔油的2倍，那么棉籽油和菜籽油的重量之和应该是3的倍数．
又已知桐油只有一桶，所以，6桶油中除去一桶桐油之后，剩下的5桶的重量之和必定是3的倍数，
6桶油的重量之和为：（千克），且：
，不是3的倍数，
，是3的倍数，
，不是3的倍数，
，不是3的倍数，
，不是3的倍数，
，不是3的倍数，
所以，桐油桶的重量为23千克；
此外，（千克），所以，菜籽油是13千克、15千克两桶； 棉籽油是16、19、21千克三桶．
故23千克的是桐油．
【点评】此题应认真分析，运用数的整除等知识，解决问题．
24．在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛，如图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以的到相应的分数，若恰好投在两块（或三块）区域的交界线上，则得两块（或三块）区域中分数最高区域的分数，如果比赛规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中 10 次飞镖．
【分析】要想获奖至少需要投中的次数必须尽量投中17分和11分，然后利用整数的裂项与拆分，把120分两种情况讨论解答即可．
【解答】解：，
所以，，没有1分的区域，
所以，，没有能组成18分的区域，
所以，，
可得：投中17分的5次，投中11分的1次，投中4分的6次，
要想获奖至少需要投中：（次；
继续拆分：，
可得：投中17分的4次，投中11分的4次，投中4分的2次，
要想获奖至少需要投中：（次；
，
所以，，没有能组成10分的区域，
；
可得：投中11分的9次，投中17分的1次，投中4分的1次，
要想获奖至少需要投中：（次；
综合上述，至少需要10次．
故答案为：10．
【点评】本题属于数字问题中的整数的裂项与拆分，就是通过拆分把120尽量用较大的数表示出来，把余数用较小的数表示，通过不断的调整得出符合要求的结论．
25．
李老师用840元钱买了一些书，捐给希望小学的学生。李老师可能买了哪两种书？分别买了多少本？
买法一：
买法二：
买法三：
【分析】分析题目可知，数量总价两种书的单价和，你有思路了吗？如：买《爱的教育》和《岳飞传》，根据已知数据列式可得，接下来对其进行计算即可。
【解答】解：根据所花钱总数及书的价钱，买法有三种：
买法一：（本
可能买《爱的教育》和《岳飞传》，分别买70本、70本。
买法二：（本
可能买《岳飞传》和《汤姆叔叔的小屋》，分别买56本、56本。
买法三：（本
可能买《爱的教育》和《鲁滨孙漂流记》，分别买56本、56本。
【点评】本题是一道关于整数复合应用题，解答本题的关键是掌握整数四则混合运算的顺序。50元张
20元张
50元张
1
3
5
7
9
20元张
21
16
11
6
1
书名
《爱的教育》
《岳飞传》
《汤姆叔叔的小屋》
《鲁滨孙漂流记》
价格
7元
5元
10元
8元