（模块化思维提升）专题5-整数的裂项和拆分-小升初数学思维拓展数论问题专项训练（通用版）

这是一份（模块化思维提升）专题5-整数的裂项和拆分-小升初数学思维拓展数论问题专项训练（通用版），共17页。试卷主要包含了整数的列项与分拆，19等内容，欢迎下载使用。
（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、整数的列项与分拆：就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆．整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想．在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等．
【典例一】电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？
【分析】由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少．
【解答】解：因为1+2+3+4+5+6+7=28．如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出．由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题．例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以．所以最多可以播7天．
【点评】本题实际上是问，把正整数30分拆成互不相等的正整数之和时，最多能写成几项之和？也可以问，把一个正整数拆成若干个整数之和时，有多少种分拆的办法？例如：5=1+1+1+1+1=1+1+1+2=1+2+2=1+1+3=2+3=1+4，共有6种分拆法（不计分成的整数相加的顺序）．
【典例二】有三个箱子，如果两箱两箱的称它们的重量，分别是15千克、23千克、26千克，那么其中最重的箱子重（ ）千克．
A、18 B、9 C、15 D、17
【分析】根据题意明白，三箱两两称重，三次重量，实际是各称了两次，求总重量：（15+23+26）÷2=32，再去掉每次称两箱的重量就是余下那箱的重量，都算出来后，找最重的即可．
【解答】解：三箱总重量：（15+23+26）÷2=32（千克），
第一次两箱称余下那箱重：32-15=17（千克），
第二次两箱称余下那箱重：32-23=9（千克），
第三次两箱称余下那箱重：32-26=6（千克），
答：最重的箱子重17千克．
故选：D．
【点评】此题关键是明白两两称实际上每一箱都称了两次，根据三次重量和除以2就能求出三箱总重量，然后根据题意求出即可．
【典例三】一次数学考试的满分是100分，6位同学在这次考试中平均得分是91分，这6位同学的得分互不相同，其中有一位同学仅得65分．则得分排在第三名的同学至少得（ ）分．
【分析】要使第三名同学的分数最少，则让其他同学的分数最多即可，根据题意，令第一名是100分，第二名是99分，第六名是65分；然后求出六位同学的总分91乘6，减去100、99、65，最后除以3得94，让第四位、第五位同学分数尽量大94、93，则第三名同学至少得95分，即可得解．
【解答】解：91×6=546，
546-100-99-65=282，
282÷3=94，
答：得分排在第三名的同学至少得95分；
故答案为：95．
【点评】明白要使第三名分数最小，则其他五人的分数必须最大是解决此题的关键．
一．选择题（共8小题）
1．把2012拆成若干个自然数的和，要使这些数的自然数乘积尽量大，那么下面 拆法正确．
A．拆成 671个3B．拆成671个3和一个2
C．拆成 670个3D．拆成670个3和一个2
2．小亮是一名中学生，他代表学校参加了全市数学竞赛，他说：“我的名次、得分和年龄的乘积是4074。”他的名次、得分和年龄之和是
A．97B．98C．114D．115
3．下面4个数中，恰有一个数是两个相邻整数的乘积，这个数是
A．5096303B．5096304C．5096305D．5096306
4．在长度分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9的线段各1条，从中选出若干条组成正方形，那么不同的选法有 种．
A．6B．7C．8D．9
5．5人的体重之和是423斤，他们的体重都是整数，并且各不相同，则体重最轻的人最重可能重
A．80斤B．82斤C．84斤D．86斤
6．下面4个数中，恰有一个数是两个相邻整数的乘积．这个数是
A．5096303B．5096304C．5096305D．5096306
7．用一架天平和11个重量均为整数克的砝码，可以直接称出的所有整数克数的重量（称时砝码只能放在天平的一边），在这些砝码中，最重的一个为
A．1024B．979C．201D．256
8．运输公司用甲、乙两辆货车运送10吨货物，甲货车载质量是2吨，乙货车载质量是3吨。如果每次运送货物的车都载满，有 种不同的派车方案。
A．1B．2C．3D．4
二．填空题（共8小题）
9．有四个自然数1、、、，满足，且，这四个小自然数两两求和可得到6个不同的数．把这6个数从小到大排列，求相邻两数的差，又得到5个数，这5个数恰都相等，则 ．
10．、、都是自然数，，，，那么 ．
11．设、都为自然数，并且满足，那么 ，
12．将24分解成三个不同自然数的乘积，这三个自然数的和最小是 ，最大是 ．
13．五个连续自然数的积为15120，则这五个数中最小的是 ．
14．一种酸奶有4瓶装和2瓶装两种不同规格的包装，王阿姨要买12瓶这种酸奶，一共有 种不同的选择方法。
15．将150个苹果分给10个小朋友，每个小朋友都分到苹果，且分到的苹果个数互不相同，那么，分得苹果个数最多的小朋友，至少得到 个苹果
16．某校为筹备艺术节，准备用365元购买两种演出服，其中甲种演出服20元套，乙种演出服35元套，在钱都用尽的条件下，有 种购买方案．
三．解答题
17．已知、、、、、六人分别看了5、5、6、6、8、10场演出，每场演出票价不变．成人票的票价是儿童票的2倍，且均为整数元，已知这六人买演出票共支出了1026元．求成人票单价是多少元？
18．有5个人都是3月30日出生的，都属龙，今年他们岁数的连乘积为1353625，今年他们的岁数之和是多少岁？（注：假设今年是龙年，今年出生的虚岁为1岁，属龙）
19．将一个正整数分成若干个小于它的正整数之和，这叫分拆，例如：，．如果加数只有顺序不同，算一种分拆．请问：6一共有多少种不同的拆法？
20．仓库里有六桶油，分别盛有菜籽油、棉籽油和一桶桐油，各桶分别标明盛油16千克、23千克、19千克、21千克、13千克、15千克，可是不知哪一桶盛的是什么油，只知棉籽油的重量是菜籽油的2倍，请你通过计算把盛桐油的桶区别出来．
21．我们可以找到个自然数，用它们的和乘以它们的积，结果恰好等于2001，那么的最小值是多少？
22．找出5个互不相同的大于1的自然数，使得其中两个数的积等于其余三个数的积，两个数的和（不一定是刚才的两个数）等于其余三个数的和，请写出满足条件的式子．
23．能不能将（1）505；（2）1010写成10个连续自然数之和？如果能，把它写出来；如果不能，说明理由．
24．有苹果、梨、橘子共105个。如果把苹果分放到4个盘子中，把梨分放到5个盘子中，把橘子分放到6个盘子中，那么每个盘子中的水果个数相等。三种水果各多少个？
25．5名选手在一次环保知识竞赛中共得402分，其中得分最高的选手得了90分，每人的得分都是整数且互不相同．得分最少的选手至少得多少分？至多呢？
26．3个相邻奇数的积是一个六位数，那么这三个奇数的和是多少？
27．聪聪和明明同算两数之和，聪聪得685，计算正确；明明得280，计算错误，明明所以算错的原因是将其中一个加数末尾的0漏掉了．你知道两个加数各是多少？
28．聪聪和明明同算两数之和，聪聪得685，计算正确；明明得280，计算错误，明明所以算错的原因是将其中一个加数末尾的0漏掉了．你知道两个加数各是多少？
29．小华有50元和20元两种人民币若干张，他要取出470元买几套《数学真奇妙》寄给贫困山区的孩子。他有多少种不同的取法？你能列表找出答案吗？请你试一试。
30．学校举行团体操表演，有1430名学生参加，分成人数相等的若干队，要求每队人数在100至200之间，共有几种分法？
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．【分析】要把2012拆成若干个自然数的和，要使这些数的自然数乘积尽量大，即，所以应该拆成670个3和一个2
【解答】解：因为，所以应该拆成670个3和一个2；
故选：．
【点评】本题是极值问题，同学们可以把这个结论记住，它在解决这个类型的题目中广泛的应用，即：把一个自然数拆成若干个自然数的和，如果要使这些数乘积最大，那么拆出的数中3的个数要尽量多，2的个数不多于两个．
2．【答案】
【分析】根据题意，把4074分解质因数，，小亮是个中学生，年龄在之间，可能的值只有（岁，名次是个位数，所以是第三名，据此解答。
【解答】解：
因为小亮是中学生，年龄介于岁之间；
可能的值只有（岁；
名次是个位数，所以是第三名；
因此李明得了97分。
他的名次、得分和年龄之和是：
。
故选：。
【点评】本题关键是分解质因数，然后再根据中学生的年龄阶段进一步解答。
3．【分析】由题意知，将5096303、5096304、5096305、5096306分解质因数即可判断．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了学生对知识的综合运用能力，此题主要运用分解质因数的方法解决问题．
4．【分析】从题中可知，组成正方形，正方形特点是四条边都相等，只要把这9个数任选两个组成四组同样长的边即可．那就一一组合成不同得数．选8条的有三种，选用7条的6种，列出即可．
【解答】解：不同的选法有9种：
选用8条的3种：
第1种（不用 （边长为，
第2种（不用 （边长为，
第3种（不用 （边长为，
选用7条的6种：
第4种（不用1和 （边长为，
第5种（不用2和 （边长为，
第6种（不用3和 （边长为，
第7种（不用4和 （边长为，
第8种（不用4和 （边长为，
第9种（不用8和 （边长为，
选用6条一下的除了最大的一条边，其余最多剩5条组成不了另三条相等的边如：，还剩3没法组成6了．
所以：不同的选法有9种．
故选：．
【点评】此题关键是明白组成什么图形，边有什么特点，然后再根据题意把1到9这几个数进行组合即可．
5．【答案】
【分析】要使体重最轻的人最重，那么5人的体重分别相差1斤，5人相差斤，用5人的总重量减去相差数再除以5可得余数3斤，3斤不能加到最轻的人的体重上。最轻的体重就是商。
【解答】解：要使体重最轻的人最重，那么5人的体重分别相差1斤。可得
（斤（斤
答：重最轻的人最重可能重82斤。
故选：。
【点评】理解体重最轻的人最重的含义是解决本题的关键。
6．【分析】根据题意，相邻两个整数的乘积的个位数是0、2或6，然后再进一步解答．
【解答】解：根据相邻两个整数的乘积的个位数是0、2或6可得：只有5096306的个位数是6，其它三个数都不符合．
故选：．
【点评】本题关键是理解相邻两个整数的乘积的个位数是0、2或6，然后再进一步解答．
7．【分析】要表示连续的自然数，这些数应是，，，，即是，据此解答．
【解答】解：据以上分析知，，所以最重的一个应为979克．
故选：．
【点评】本题考查了学生对连续自然数的表示方法．
8．【答案】
【分析】根据运煤的吨数，以及每辆车运载的吨数，确定方案即可。
【解答】解：方案一：，即派5辆甲车；
方案二：，即派2辆甲车和2辆乙车。
答：如果每次运送货物的车都载满，有2种不同的派车方案。
故选：。
【点评】本题主要考查整数的裂项与拆分，解题的关键是根据运煤的吨数以及每辆车运载的吨数确定方案。
二．填空题（共8小题）
9．【分析】这六个数从小到大排列分别是，，，，，．因为“相邻的差，都相等”，就说明上面六个数是等差数列．那么取前三项，，得到
又已知，那么可得到：．取，，，得到，整理得，即，又，把代入可求出的值是多少．
【解答】解：把这六个数从小到大排列分别是，，，，，．
因为“相邻的差，都相等”，就说明上面六个数是等差数列．那么取前三项，，得到

．
取，，，得到

，
把代入



答：．
故答案为：889．
【点评】本题的关键是把两两相加得到的6个数按顺序排列大小，再根据相邻两数的差相等，确定是等差数列，再进行解答．
10．【分析】分别找出221、187、与143的因数，由此根据221与187的共同因数得出，根据221与143的共同的因数得出，根据187与143的共同因数得出，由此即可求出的值；或把221、187与143进行裂项，从而求出、、的值，进而求出、、的和．
【解答】解：因为221的因数为：1、13、17、221，
187的因数为：1、11、17、187，
143的因数为：1、11、13、143
所以得到：；；
，
或，
，
，
再根据上面的式子，可以判断出，，
所以，
故答案为：41．
【点评】解答此题的关键是根据所给出的式子的特点，选择合适的方法解答即可．
11．【答案】2，1。
【分析】左边通分，得出：，，又因为和都是非0的自然数，从、2、代入，只要是非0的自然数，即可得解。
【解答】解：
当时，
当、时小于0，就不是自然数了
答：设、都为自然数，并且满足，那么，。
故答案为：2，1。
【点评】此题考查了整数的裂项与拆分，通分，求和，去分母，根据条件，从小到大试解是解决此题的关键。
12．【分析】把24分解为三个因数的积，要使这三个自然数的和最小，则这三个数必须最大与最小差距越小越好，所以将24拆为：；由此得出和最小为；要使这三个自然数的和最大，则这三个数必须最大与最小差距越大越好，所以将24拆为：；由此得出和最大为．
【解答】解：当，
则三个自然数的和最小是：；
当，
则三个自然数的和最大是：．
故答案为：9，15．
【点评】解答此题的关键是，知道要使三个自然数的和最小，必须使这三个数最大与最小差距越小越好；要使三个自然数的和最大，必须使这三个数最大与最小差距越大越好，由此将24裂项即可．
13．【分析】把15120分解质因数，观察这些质因数的特点，凑出五个连续的自然数，即可得解．
【解答】解：，
，
；
答：五个连续自然数的积为15120，则这五个数中最小的是5；
故答案为：5．
【点评】灵活运用分解质因数来解决实际问题．
14．【答案】4。
【分析】要求有多少种不同的选择方法，实际就是求有几种不同的包法，因为有2瓶装和4瓶装两种不同规格的包装，所以把12分成2的倍数和4的倍数相加的和即可。
【解答】解：（1），所以4瓶装有3袋；
（2），所以4瓶装有1袋、2瓶装有4袋；
（3），所以4瓶装有2袋，2瓶装有2袋；
（4），所以2瓶装有6袋；
所以共有4种不同的方法。
答：一共有4种不同的选择方法。
故答案为：4。
【点评】本题主要考查了整数的拆分，把12分成2的倍数和4的倍数相加的和是解答的关键。
15．【答案】20。
【分析】每个小朋友的苹果个数互不相同，要使一位小朋友分的最多，还要是至少是几个，就要把150平均分，，因为10是偶数，所以中间两个是14和16，故，共有10个加数，每个小朋友的苹果个数互不相同，所以分得苹果个数最多的小朋友，至少得到20个苹果。
【解答】解：（个
答：分得苹果个数最多的小朋友，至少得到20个苹果。
故答案为：20。
【点评】完成本题要注意抓住“苹果个数互不相同”就可以看作是几个不同加数的和，来进行分析解答。
16．【分析】设甲种运动服买了套，乙种买了套，根据，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元套，乙种运动服35元套，在钱都用尽的条件下可列出方程，且根据，必需为整数可求出解．
【解答】解：设甲种运动服买了套，乙种买了套，
，
因为，必须为正整数，
所以，即，
然后进行验证，把当等于1，2，3，4，5，6，7，8，9，10分别代入，可得：
当时，和当时，，符合题意；
所以有两种方案．
故答案为：2．
【点评】本题考查理解题意的能力，关键是根据题意列出方程，然后根据解为整数确定值从而得出结果．
三．解答题
17．【答案】38元。
【分析】假设全部是成人场或儿童场，分别求出票价，从而确定票价的区间范围；然后将1026分解质因数，从而解答出本题．
【解答】解：（场，
当全部是成人场，那么成人票价为；当全部是儿童场时，那么成人票价为，成人票价就在之间．
，成人票的价格只能是27或是38，才能整除1026，儿童票价是整数，那么成人票价只能是38元，儿童票价是19元，
，，
成人场数应该是（场，
则儿童场是（场，
（元；
因此成人票价是38元．
答：成人票单价是38元．
【点评】本题主要考查了学生解决生活中实际问题的能力，要求学生熟练掌握这类题的解题方法，会利用分解质因数的相关知识解题．
18．【答案】173岁。
【分析】本题可先将1353625分解质因数，然后根据同属相的人如果不是出生在同一年，则相差岁数应是12的整数倍，进行分析即可。
【解答】解：
则这5年人的年龄分别是：这六个人分别年龄是1，13，25，49，85．
年龄之和（岁
答：今年他们的岁数之和是173岁。
【点评】明确同属相的人如果不是出生在同一年，则相差岁数应是12的整数倍是完成本题的关键。
19．【分析】根据题意，把6写成几个整数的和即可．
【解答】解：
总共十种；
答：6一共有10种不同的拆法．
【点评】利用列举的方法把6写成几个整数的和；注意不要重复和遗漏．
20．【分析】因为棉籽油是菜籽油重量的2倍，所以这两种油的重量和要能被3整除．而6桶油共重107千克，所以1桶桐油的重量应是被3除余2，所以23千克的是桐油．
【解答】解：因为棉耔油的重量是菜耔油的2倍，那么棉籽油和菜籽油的重量之和应该是3的倍数．
又已知桐油只有一桶，所以，6桶油中除去一桶桐油之后，剩下的5桶的重量之和必定是3的倍数，
6桶油的重量之和为：（千克），且：
，不是3的倍数，
，是3的倍数，
，不是3的倍数，
，不是3的倍数，
，不是3的倍数，
，不是3的倍数，
所以，桐油桶的重量为23千克；
此外，（千克），所以，菜籽油是13千克、15千克两桶； 棉籽油是16、19、21千克三桶．
故23千克的是桐油．
【点评】此题应认真分析，运用数的整除等知识，解决问题．
21．【分析】，3不可能是个数的和，因为太小，而如果是积，那么显然太大，而23也不可能是个数的和，29就比23大，所以只有29是个数的和，23与3的和不到29，于是个数当中还有3个1，由此即可得出答案．
【解答】解：因为，，
3不可能是个数的和，因为太小，而如果是积，那么显然太大，
而23也不可能是个数的和，29就比23大，
所以只有29是个数的和．23与3的和不到29，于是个数当中还有3个1，
所以最小是5，
答：的最小值是5．
【点评】根据题意将2001，进行合理的拆项，再根据所拆数的特点，结合题意，即可得出答案
22．【分析】首先考虑数较小并且因数比较多的数，比如36，60等，然后快速地逐步把组合数放大，进行尝试计算．
【解答】解：因为，，
而，
所以5个数是：2、3、4、6、9，
因为，，
而，
所以5个数是：3、4、5、6、10．
故满足条件的式子是：
乘积 和 5个数
2、3、5、20、24，
2、3、4、6、9，
3、4、5、6、10．
【点评】本题主要考查了学生对计算的速度和对数字的敏感度．
23．
【分析】先分别求出505和1010的平均数，进而求出这十个数的中间两个数的和，和如果是奇数，则可以写成10个连续自然数之和，和是偶数，则不能写成10个连续自然数之和．
【解答】解：（1）
101能为两个连续自然数的和．
所以这十个数的中间两个是50，51
所以这十个数是：46，47，48，49，50，51，52，53，54，55．
（2）
202不能为两个连续自然数的和．
所以1010不可以．
【点评】关键是求出所给数的平均数，进而求出这十个数的中间两个数的和，再根据中间两个数的和进行判断．
24．【答案】苹果28个，梨35个，橘子42个。
【分析】把105个水果分别放到盘子后每个盘子的水果个数相等，那么每个盘子中有水果个，然后再求这三种水果各有多少个。
【解答】解：
（个
苹果：（个
梨：（个
橘子：（个
答：苹果有28个，梨有35个，橘子有42个。
【点评】本题考查了利用整数四则混合运算解决问题，需准确分析题意。
25．【分析】（1）根据题干，得分最高为90分，要求得分最少的选手至少得多少分，那么可以将其与三个人的得分最大化：即分别得分为：89，88，87，由此即可得出最少得分；
（2）要求得分最少的选手至多得多少分，就是使剩下的四个人的得分尽量平均．
【解答】解：（1）（分
将中间三人的得分最大化为：（分
那么最少的人至少得：（分
（2）（分，
因为每位选手的得分都是整数，所以这四个选手的得分分别是：75，77，79，81；
所以得分最少的选手至多得分为75分，
答：得分最少的选手至少得48分，至多得75分．
【点评】抓住本题特点：其他选手的得分最大化，则剩下的选手得分最少；四个人的得分越接近平均得分最少的那个选手的得分就越多．
26．【答案】这三个奇数的和是225。
【分析】因为奇数的个位只能是：1，3，5，7，9，而3个相邻奇数的积的个位数字为3，则这三个相邻奇数的个位可以为：3，5，7，又因为3个相邻奇数的积是一个六位数，且十万位上是3，则可知3个相邻奇数只能都是两位数，3个两位数中十位上的数字之积为一个百位为3的三位数，则可以逆推出两位数中十位上的数字是7，所以这三个奇数为73，75，77，这三个奇数的和是。
【解答】解：结合分析可知：
三个相邻奇数的个位可以为：3，5，7，
三个相邻奇数的十位为：7，
三个相邻奇数为73，75，77，
所以，这三个奇数的和是。
答：这三个奇数的和是225。
【点评】本题考查整数的裂项与拆分。可以利用逆推法解决问题。
27．【分析】将其中一个加数末尾的0漏掉了，也就是把这个数缩小了10倍，那就意味着这个数只加上了它的，另外漏掉了，那么明明比聪聪少的部分就占这个数的，那么一个数的是405，这个数就是，另一个数就为．
【解答】解：一个加数是：
，
，
，
；
另一个加数是：
．
答：两个加数分别是450、235．
【点评】此题解答的关键是弄清“将其中一个加数末尾的0漏掉了”，也就是把这个数缩小了10倍，这是解答的突破口．
28．【分析】将其中一个加数末尾的0漏掉了，也就是把这个数缩小了10倍，那就意味着这个数只加上了它的，另外漏掉了，那么明明比聪聪少的部分就占这个数的，那么一个数的是405，这个数就是，另一个数就为．
【解答】解：一个加数是：
；
另一个加数是：
．
答：两个加数分别是450、235．
【点评】此题解答的关键是弄清“将其中一个加数末尾的0漏掉了”，也就是把这个数缩小了10倍，这是解答的突破口．
29．【答案】5种；
【分析】把50元的张数由张分情况讨论，找出符合题意的即可。
【解答】解：（1），所以50元的1张，20元的21张；
（2），所以50元的3张，20元的16张；
（3），所以50元的5张，20元的11张；
（4），所以50元的7张，20元的6张；
（5），所以50元的9张，20元的1张；
因此，共有5种不同的取法．
答：他有5种不同的取法。
【点评】本题考查了整数的裂项与拆分，关键先确定50元的张数的范围，在分情况讨论。
30．【答案】共有3种分法。
【分析】学校举行团体操表演，有1430名学生参加，分成人数相等的若干队，要求每队人数在100至200之间，，则每队人数可以是：（人，（人。故共有2种分法。
【解答】解：
（人
（人
（人
故共有3种分法。
答：共有3种分法。
【点评】本题考查整数的裂项与拆分，可以将数分解质因数，然后结合实际问题解决问题即可。50元张
20元张
50元张
1
3
5
7
9
20元张
21
16
11
6
1
50元张
1
3
5
7
9
20元张
21
16
11
6
1