2026年新高考数学函数与导数小题突破训练专题22切线条数、公切线、切线重合与垂直问题(5大题型)(学生版+解析)

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题型一：公切线问题
题型二：切线条数问题
题型三：切线重合问题
题型四：切线平行问题
题型五：切线垂直问题
【方法技巧总结】
1、应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：
（1）已知切点求斜率，即求该点处的导数；
（2）已知斜率求切点，即解方程；
（3）已知切线过某点（不是切点）求切点，设出切点利用求解．
【典型例题】
题型一：公切线问题
【例1】若直线同时是曲线和曲线的切线，则斜率的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【解析】设直线与曲线、曲线相切的切点分别为，
求导得，，则，且，
由，两边取对数整理得：，代入，可得，
令，求导得，
则当时，，当，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，，
所以斜率的最小值为.
故选：C
【变式1-1】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据题意，设直线与曲线的切点为，
与曲线的切点为，
而的导数为，的导数为，
所以两曲线的切线分别为，
两条切线对应相同，可得，解得，
所以切线方程为，即，
则.
故选：C.
【变式1-2】已知直线是函数图象的切线，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设切点为．
因为，所以，
则，即.
设，则，
由，得，则在上单调递增，
由，得，则在上单调递减，
故，即.
故选：A
题型二：切线条数问题
【例2】已知函数是奇函数，过点作函数的图象的切线，若，则直线的条数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】因为函数为奇函数，且定义域为，所以对任意，恒有.
即，
所以，
所以.
因为，所以.
设，则.
由；由.
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以的最小值为.
即恒成立，所以在上单调递增.
又，，所以在处的切线方程为.
点在直线上，
故上只有点满足.
又因为，所以，故点一定不在上，且一定为过的一条切线.
设切点为，，，则切线的斜率为，
故切线方程为：，
因为点在切线上，所以，
整理得：.
由，且，可得恒成立.
故，，
令，，
则，
令，则在上恒成立，
故在，上单调递增，
又，所以当时，；当时，.
又当时，；当时，，
故恒成立，所以，在，上单调递增.
再设，则，
当时，，所以在上单调递增，；所以当时，；
当时，，所以在上单调递增，所以；
所以当时，.
故，只有1个根.
即除外，过点作的切线有且只有1条.
所以点作的切线共有2条.
故选：C
【变式2-1】已知函数，若过可做两条直线与函数的图象相切，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设过点的直线与函数的图象相切时的切点为，则，
因为，
所以切线方程为，又在切线上，
所以，整理得，
则过点的直线与函数的图象相切的切线条数即为直线与
曲线的图象的公共点的个数，
因为，令，得，
所以，当时，单调递减；
当时，单调递增；当时，单调递减，
因为，当时，所以，函数的图象大致如图：
所以当时，图像有两个交点，切线有两条.
故选：B.
【变式2-2】（2025·全国·模拟预测）已知过点的直线与函数的图象有三个交点，则该直线的斜率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】问题转化为方程有三个不等的实数根．
方法一：分离参数
因为，所以方程
有三个不等的实根等价于方程有两个不等的实根．
令，
则．
令，则，即单调递增．
又，所以当时，单调递减，且；
当时，单调递增，
且．
又因为当时，；当时，；当时，，
所以实数k的取值范围是．
故选：C．
方法二：分离函数
令，则，所以．
令，则，解得，
令，得；令，得；
所以在上单调递减，在上单调递增，有极小值；
而且，
所以方程有一解．
①当时，过一、三象限，两图象有两个交点，不合题意；
②当时，过原点O作的切线，
设切点，则，
所以．
又，得，
所以，
所以．
故选：C．
题型三：切线重合问题
【例3】（多选题）（2025·辽宁本溪·模拟预测）若函数在其图象上两个不同点处的切线完全重合，则称直线为曲线的“自公切线”，为“自公切线函数”，则（ ）
A．函数是“自公切线函数”
B．函数.是“自公切线函数”
C．曲线.的“自公切线”方程为y=1
D．曲线的“自公切线”方程为
【答案】BCD
【解析】对于A，若为“自公切线函数”，则在某区间内不单调，
由，得，因在上单调递增，
故不是“自公切线函数”，故A错误；
对于B，因为，所以，
当时，，
则在点处的切线方程为，即，
所以是“自公切线函数”，故B正确；
对于C，当时，，则，
当时，，则，所以，，
所以曲线在点和点处的切线方程均为，
即曲线的“自公切线”方程为，故C正确；
对于D，因为，所以，
则，所以为上的偶函数，
令，则，当时，，当时，，
所以即在上单调递减，在上单调递增，
所以必存在，且，使得，且，
不妨设两切点分别为，
因为，则，所以为奇函数，
又，所以切点关于原点对称，且切线的斜率，
又，，所以，
整理得，解得或，取，则，
故曲线的“自公切线”方程为，故D正确.
故选：BCD.
【变式3-1】（2025·高三·吉林白城·期中）已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当时，的导数为，
当时，的导数为，
设，为该函数图象上的两点，且，
当，或时，，故，
当时，函数在点处的切线方程为；
当时，函数在点处的切线方程为．
两直线重合的充要条件是①，②，
由①及，得，
由①②，令，则，
且，记，
则其导数为，易知在恒成立，
则函数在为减函数，
∴，.
∴实数a的取值范围是．
故选：B．
【变式3-2】已知函数的图象上存在不同的两点、，使得曲线在这两点处的切线重合，则点的横坐标的取值范围可能是（ ）
A．，B．C．，D．
【答案】A
【解析】解法一：
当时，的导数为；
当时，的导数为，
设，为该函数图象上的两点，且，
当，或时，，故，
当时，函数在点处的切线方程为；当时，函数在点处的切线方程为．
两直线重合的充要条件是①，②，
由得，由①②可得，
设，由，，可得，可能；
由，B不正确；
由①可得，由②可得，即有，则C，D不正确．
解法二：
如图，易知曲线位于分段的两个区间，且两段属于一凹一凸模型，故可以类比两圆相离时的内公切线，两区间一定属于同一单调区间，时，属于单调增区间，故当时，的单调增区间为，根据图像，可以位于此区间，另一个点B所在区间，不好把握.
故选：A．
题型四：切线平行问题
【例4】（2025·江西新余·模拟预测）已知函数，若对于，总使的图像上与处的切线平行，则的取值范围是：（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当时，，
令，，当时，，单调递增；
当，，单调递减，故，
由题意，使，
因为时，单调递增，所以只需，
故选：B．
【变式4-1】已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线平行，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
令，得，
设，则，
时，；时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，当，
由题意，有两个不同的解，
即与的图像有两个不同的交点，
，解得，所以实数的取值范围是.
故选：D
【变式4-2】（多选题）（2025·山西·一模）已知函数，过点作平行于轴的直线交曲线于点，曲线在点处的切线交轴于点.则（ ）
A．当时，切线的方程为B．当时，的面积为
C．点的坐标为D．面积的最小值为
【答案】BCD
【解析】由已知得，，
过点的切线方程为，当时，，
则，故正确；
当时，，则，
以为切点的切线方程为，即，故错误；
此时，的面积，故正确；
因为，，，
所以，，所以，
令，所以，
令，即，解得，
当时，，所以函数在内单调递减，
当时，，所以函数在内单调递增，
所以当时，函数有最小值，最小值为，故正确.
故选：.
题型五：切线垂直问题
【例5】已知函数，若的图象上存在两点，，使得的图象在，处的切线互相垂直，且过点只能作1条切线与的图象相切，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设，，因为，所以，
由题有有解，
又，所以，即，
设过点的直线与相切于点，
则有，整理得到，
令，则，
由，得到或，由，得到，
即的单调递增区间为，，递减区间为，
又当时，，当时，，
当时，，当时，，
的图象如图，又过点只能作1条切线与的图象相切，
所以或，又，所以或，
故选：C.
【变式5-1】（2025·山东·模拟预测）已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以.
令，整理得，由题意得此方程有两个不同的解；
设，则函数的图象与直线有两个交点；
易知，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，其图象如下图所示：
又当时，，当时，，
当趋近于时，趋近于0，所以，解得，
即实数的取值范围是，
故选：A.
【变式5-2】若曲线在与处的切线互相垂直，且交点在直线上，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因，故,易知切线的斜率存在．
因曲线在与处的切线互相垂直，
则．因,
不妨设，，
则，，
此时,．
如图，设，，，
则是以为直角顶点的等腰直角三角形（切线的斜率为1，切线的斜率为）．
由图知，，
易得．
取，得．经检验,当时,无法使的值取到,和.
故选:C．
【过关测试】
1．（2025·安徽合肥·模拟预测）过且倾斜角为的直线与曲线交于，两点，分别过，作曲线的两条切线，，若，，交于，直线的倾斜角为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，设，，，
由于曲线，则，
所以在点的切线方程为，
同理在点的切线方程为，
由于点是两切线的交点，所以，
则为，且过，
且，设，，
，
当且仅当时“”成立，
故选：C.
2．（2025·宁夏石嘴山·三模）已知函数，若曲线与有两条公切线，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设公切线与曲线、曲线相切的切点分别为，
而，依题意，，则，因，则，
消去得，令函数，
由曲线与有两条公切线，得函数有两个不同的正零点，
，当时，；当时，，
函数在上递减，在上递增，，
而当从大于0的方向趋近于0时，，当时，，
则当且仅当，即时，函数有两个不同零点，
所以的取值范围是.
故选：C
3．（2025·江苏盐城·三模）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
设过点的切线切曲线于点，
则切线方程为，又其过点，
所以，所以根据题意可得该关于的方程有3解，
即方程有3解，
所以与有3个交点，
设，则，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以的极小值为，的极大值为，
且时，；时，，
所以要使与有3个交点，则需．
故选：A
4．（2025·河南·模拟预测）与曲线和圆都相切的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】C
【解析】设直线与曲线相切于点，
则的方程为，即．
圆C：，因为与圆相切，所以，
所以，
令，则，
令，得或，
进一步得到在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又当时，，所以在区间上分别有1个零点，
所以这样的切线有3条．
故选：C.
5．已知抛物线，过点作的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意得切线斜率存在，设过点的的切线方程为，
即，与联立，消去得，
故，即，
设，为的两个根，由韦达定理得，，
设直线，的斜率分别为，，，，
因为，所以，则，故，，
则，，得到，，
，由两点间距离公式得，
，
，
，
，故B正确.
故选：B.
6．已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A．8B．9C．32D．36
【答案】D
【解析】由函数，若对任意的，不等式恒成立，
作出两个二次函数图象和动直线，
利用数形结合分析：
二次函数与直线交于点，与直线交于点，
二次函数与直线交于点，与直线交于点，
要使得取得最大值，则斜率取最小，轴截距取最大，
此时直线过点A作函数的切线，不妨设切点为，
则求导可得，所以过切点的切线方程为：，
当切线过点时，有，解得或，
因为，所以此时满足题意，故切线方程为：，
此时，故，
故选：D.
7．（2025·江苏徐州·模拟预测）若曲线与，恰有2条公切线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设在曲线上的切点为，
由，可得过点的切线斜率为，
此时切线方程为，即，
设切线与曲线相交于点，，
则，
消去，可得，
依题意，直线与函数的图象有两个不同的交点，
令，
解得或，
令，解得，
则函数在，上单调递增，在上单调递减，
故，且恒成立，当且仅当时等号成立，当时，，
要使直线与函数的图象有两个不同的交点，
则需，解得．
故选：B．
8．（2025·高三·云南昆明·期中）已知函数和两点，，设曲线过原点的切线为，且，则所在的大致区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知：的定义域为，且，
设切点坐标为，则切线的斜率，
则切线的方程为，
若切线过原点，则，解得，
可在切线的，
若，且直线的斜率，
则，即，整理可得，
构建，则，
可知为的非零零点，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则分别在、内至多一个零点
且，
又因为，所以所在的大致区间为.
故选：C.
9．（2025·海南·模拟预测）若函数与的图象有且只有一条公切线，则实数的值为（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】B
【解析】设公切线与函数,的图象分别切于点，
因为，所以，
所以公切线方程为，
即，
因为，所以，
所以公切线方程为，
即，
因为函数与的图象有且只有一条公切线，
所以，由 得,
代入，
则，
整理得，
令，则，
当时，，则函数单调递增，
当时，，则函数单调递减，
所以时，，
则当时，
函数与的图象有且只有一条公切线，
即，解得.
故选：B.
10．已知函数，，若曲线，存在公切线，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当时，，，不符合题意；
设的图像与公切线的切点为，，
由，则切线斜率，
切线方程为，即，
又切线与，
联立，
可得，
即，
可得，
设，，
，，
又函数在上单调递减，且，
即有当时，，即，单调递增；
当时，，即，单调递减；
所以，
即，的最大值为，
故选：A.
11．（2025·福建泉州·模拟预测）若曲线与恰有两条公切线，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设曲线切点为，的切点为，
则曲线在点处的切线方程为，即，
同理，在点处的切线方程为，
根据与有两条公切线，
则，所以，化简可得 具有两个交点，
转化为有两个解，构造函数，则，
当，，单调递增；当，，单调递减，
故在时有极大值即为最大值，故，
当时，，当时，，
故的取值范围为，
故选：A
12．（2025·广东茂名·一模）曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】两个函数求导分别为，
设，图象上的切点分别为，，
则过这两点处的切线方程分别为，，
则，，所以，
设，，，
令，所以，
所以在上单调递增，且，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，.
故选：B.
13．（2025·浙江金华·三模）若存在直线与曲线，都相切，则a的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设直线与相切于点，因为，
所以切线方程，即，
设直线与相切于点，
因为，所以切线方程，即，
，
所以有解，
令，，
所以函数在，上单调递减，在，上单调递增，
因为，，所以，所以，
的范围为.
故选：A.
14．（2025·全国·模拟预测）已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设与曲线相切于点，与相切于点，
由，可得的斜率，所以①，
又由，可得，所以，即②，
又因为③，
将②③代入①中，可得，由③易知，,则④，
将④代入③，可得，则，
令，则，当时，单调递减；
当时，单调递增．所以，当且仅当时取等号，
故，可得，所以，
所以的方程为，即．
故选：B．
15．（2025·四川眉山·三模）若关于的不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意，，不等式化为，
设，则，
当时，单调递增；
当时，单调递减，
所以在处取得极大值，也即最大值，又时，，
由题知不等式恒成立，所以的图象恒在的图象
的上方，显然不符题意；当时，为直线的横截距，
其最大值为的横截距，再令，可得，且当直线与
在点处相切时，横截距取得最大值，
此时，切线方程为，所以取得最大值为.
故选：C.
16．经过曲线与的公共点，且与曲线和的公切线垂直的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，消去整理得，
令，则，所以在上单调递增，
又，
所以方程组的解为，
即曲线与的公共点的坐标为，
设与和分别相切于，，
而，，
，，
，解得，
，即公切线的斜率为，
故与垂直的直线的斜率为，
所以所求直线方程为，整理得．
故选：B．
17．（多选题）（2025·山东滨州·二模）已知直线与曲线相交于两点，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】对于A，令，则，
故时，，单调递增；
时，，单调递减，
所以，且时，
因为直线与曲线相交于两点，
所以与图象有2个交点，如图：
所以，故A正确；
对于B，，不妨设，可得，
在点处的切线程分别为，
则得，
即，
因为，所以，即是变化的，故B错误；
对于C，因为，所以，
因为为两切线的交点，
所以，即
，所以，
所以
，
所以，故C正确；
对于D，因为，所以，
又因为，，
所以，
，
所以，
得，即，
因为①，所以，
所以，故D正确.
其中不等式①的证明如下：不妨令，
由得，即，令，
则即证，
构造函数，，
所以在上单调递减，所以，
所以不等式成立，即①成立.
故选：ACD
18．（多选题）（2025·湖北武汉·二模）已知曲线，为曲线C上任一点，则下列说法中正确的有（ ）
A．曲线C与直线恰有四个公共点
B．曲线C与直线相切
C．是关于的函数
D．是关于的函数
【答案】BD
【解析】对于A，由消元法可得，所以，
当或时，或，故此时无解，
下面考虑上方程的解的个数，
设，其中，
设且，则的解为，，
而，
故当或时，，当时，，
故在，上为减函数，在上为增函数，
而，且，
，而，故，
故，，
故在有3个不同的实数根，故A错误；
对于B，由可得，故，
对两边求关于的导数，
则，
故当时，有，
当， ，而直线的斜率为2，
故曲线与直线相切，故B正确.
对于C，取，考虑即方程的解的个数，
设，则， ，
，，
故至少有两个零点，故有两个不同的解，
故不是关于的函数，故C错误；
对于D，，则，
故为的减函数，且当时，，当时，，
故对任意，方程即有唯一解，
故是关于的函数，故D正确；
故选：BD.
19．（多选题）若存在点P，使得过点P可作曲线的两条切线，切点为A和B，且是锐角，则可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】若过点可作曲线的两条切线，
设切点，不妨设，
则函数在处的切线方程为，
在处的切线方程为，则两切线交点为，
所以有，且，
即，，
由，，
则可得
.
A项，，则，
所以，
由函数有两条渐近线，轴与直线，
两渐近线夹角为，如图1可知，，又不共线，
则可能为锐角.
例如：当时，
此时，不共线，
则为锐角，故A正确；
B项，，则，
所以，
如图可知，，则，
故，又不共线，所以恒为钝角，故B错误；
C项，，则，
所以，其中，
若，且，则，
如图所示，不共线，可以取到锐角，故C正确；
D项，，则，
故，，
故曲线在处的切线为，在处的切线为，
此时两切线夹角为.
，
结合图可知，，则，
故，所以，故D错误；
故选：AC.
20．（2025·甘肃白银·三模）已知直线与曲线相切，则 ．
【答案】
【解析】直线变形为，
所以直线恒过点，设切点为，
因为，所以，故切线方程为．
因为切线恒过点，所以，
解得，所以切线方程为，
即，得，所以．
故答案为：．
21．（2025·四川绵阳·三模）在坐标平面中，已知过点恰能作曲线的2条切线，则由所有点构成的集合为 .
【答案】
【解析】由，，则，
设切点为，则，
则，
因为过点恰能作曲线的2条切线，
所以方程有2个解，
则函数，与函数有2个交点，
由，
当时，，，
因为，所以函数为偶函数，
当时，单调递增，
且时，，时，，
画出函数的大致图象，
此时满足函数，与函数有2个交点；
若，令，得或；令，得，
则函数在和上单调递增，在上单调递减，
且，画出函数的大致图象，
要使函数，与函数有2个交点，
则；
若，令，得；令，得或，
则函数在和上单调递减，在上单调递增，
且，画出函数的大致图象，
要使函数，与函数有2个交点，
则.
综上所述，所有点构成的集合为.
故答案为：.
22．（2025·河南·二模）已知函数，若，使得有三个零点，则a的取值范围为 ，在这三个零点处的切线斜率的倒数之和为 ．
【答案】 0
【解析】因为有三个零点，且，
所以有两个不相等的实数根，
所以，解得，
故a的取值范围为．
由题得，
所以，
同理，，
故
．
故答案为：，0．
23．（2025·安徽蚌埠·二模）柯西不等式（Cauchy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.已知，直线与曲线相切，则的最小值为 .
【答案】10
【解析】由，所以，设切点为，则，故，
又，所以，所以，
所以，
当且仅当，
即时等号成立，所以的最小值为10.
故答案为：10
24．已知过点可作两条直线与曲线相切，则实数 ．
【答案】1或
【解析】设切点，由，则点处的切线方程为．
将点代入上式，得，即．
设，则．
令，解得或1．
当或时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以当时，取极小值；当时，取极大值．
所以当过点可作两条直线与曲线相切时，或．
故答案为：1或
25．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则
【答案】2
【解析】设上点处的切线和在点处的切线相同，
，，
故，故，
上点处的切线方程为，
显然在切线上，故，
即，即，
解得，
故.
故答案为：2
26．（2025·浙江·模拟预测）设函数，若曲线在点处的切线与抛物线有且仅有一个公共点，则的值为 .
【答案】1
【解析】由题设，则，且，
所以曲线在点处的切线为，
联立抛物线，得，则，
由切线与抛物线有一个公共点，则，
所以且，则，
令，则，即，
若且，则，
若，则在上恒成立，
所以在上单调递增，且，
在上，单调递减，在上，单调递增，且，
综上，.
故答案为：1
27．（2025·江西景德镇·三模）若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则 ．
【答案】
【解析】，∴曲线在点处的切线斜率，
∴切线方程为，
或，
，即，
，易知，，
.
故答案为：.
28．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 ．
【答案】-2
【解析】因为，，所以，，
则在点处的切线方程为，即；
在点处的切线方程为：，即，
由已知，由得，故，
故，解得，
所以，因此．
故答案为：．
29．（2025·广东江门·二模）若曲线与曲线存在公切线，则a的最大值 ．
【答案】
【解析】设公切线与曲线切与点，与曲线切与点，
由，得；由得.
则，
所以，所以，即.
设，则.
由；由.
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
所以函数.
即的最大值为.
故答案为：
30．（2025·高三·北京·期中）已知函数.给出下列四个结论：
①过点存在条直线与曲线相切；
②过点存在条直线与曲线相切；
③过点存在条直线与曲线相切；
④过点存在条直线与曲线相切时，的取值范围是.
其中，正确结论的序号是 .
【答案】①②③
【解析】对于④，设过点的直线与曲线相切于点，
对于函数，则，
则，且切线斜率为，
所以切线方程为，
因此，整理得：，
设，则“过点存在条直线与曲线相切”
等价于“有个不同零点”， ，列表如下：
要使得函数有三个零点，则，解得，故④错；
设切点坐标为，则切线方程为，
对于①，则有，即，该方程只有一解，
所以，过点存在条直线与曲线相切，①对；
对于②，则有，
整理得，即，解得或，
所以，过点存在条直线与曲线相切，②对；
对于③，则有，
即，
令，则，列表如下：
所以，过点存在条直线与曲线相切，③对.
故答案为：①②③.
31．（2025·高三·广西·期中）已知函数，过点可作2条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】，设切点为，
则切线方程为，
将点代入切线方程得，，化简得，
设，则，
令，解得，令，解得或，
在，上单调递减，在上单调递增，且，
作出函数的大致图象如下图所示，
由图象可知，要使直线与的图象有两个交点，则，
故答案为：．
增
极大值
减
极小值
增