新高考数学二轮复习函数与导数压轴小题突破练习专题18 导数中的距离问题（2份，原卷版+解析版）

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1．（2023·全国·高三专题练习）设函数，其中，，若存在，使得成立，则实数的值是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数可以看作是动点与动点之间距离的平方，
动点在函数的图象上，在直线的图象上，
问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，
由得，，解得，
曲线上点到直线的距离最小，最小距离，
则，根据题意，要使，则，此时恰好为垂足，
由，解得．故选．
2．（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）设函数，其中，存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数可以看作点与点之间距离的平方，
可将问题转化为曲线上的点到直线距离平方的最小值为，
又，令，得，即上的点到直线的距离最小，
所以，解得，
故选：A.
3．（2023春·山西朔州·高二统考期末）设函数其中存在正数，使得成立，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【解析】由题意知表示平面上的两动点之间距离的平方，
而两动点分别在曲线和上，
设切点，因为，
所以切线斜率，
当时，，此时直线与切点间的距离最近，
即，解之得，
故选：A.
4．（2023·云南曲靖·统考一模）设函数，其中，，存在使得成立，则实数的值为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】表示点与点距离的平方,的轨迹是函数的图象，的轨迹是直线.则，作的图象平行于直线的切线，切点为，则，所以，切点为，所以若存在使得成立，则，此时恰好为垂足，所以，解得，故选A.
考点：导数的几何意义及函数的最值问题.
【方法点晴】本题主要考查了利用导数求曲线上过某点的切线的斜率问题，考查了数学转化与化归及数形结合的思想方法，用到了点到直线的距离公式，属于中档题.本题解答的关键是对函数进行转化，看成动点与点距离的平方，利用导数求出曲线上平行于直线的切点，得到曲线上点到直线距离的最小值，结合题意可得只有切点到直线的距离的平方等于，然后利用斜率公式求出实数的值.
5．（2023·浙江·高三专题练习）已知函数，若对任意的正实数t，在R上都是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意在R上恒成立，其中，
整理得对恒成立，
所以对恒成立，
，
令，，
时，，递减，时，，递增，
所以，
所以的最小值是16，
所以．
故选：D．
6．（2023·全国·高三专题练习）若对任意的正实数，函数在上都是增函数，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数在上都是增函数，
所以恒成立，
即对任意的实数，在上恒成立，
所以，，，
故只需的最小值．
令， ，
由于时，；时，，即时，取得最小，
故选：A
7．（2023·重庆·重庆南开中学校考一模）若对任意的实数，函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵在R上是增函数，
∴在R上恒成立，
∴，，
令y=t−lnt，，则，
∴(0,1)上，y′0，
∴t=1时，ymin=1，
∴的最小值为 ，
∴.
故选：A.
8．（2023·四川绵阳·统考一模）若存在实数，使得关于的不等式（其中为自然对数的底数）成立，则实数的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不等式 ，即为，
表示点距离的平方不超过，即最大值为．
由在直线上，
设与直线平行且与相切的直线的切点为，
可得切线的斜率为，解得，切点为，
由切点到直线的距离为直线上的点与曲线的距离的最小值，
可得，解得，则的取值集合为；
故选：C．
9．（2023·河南新乡·统考一模）设满足方程的点，的运动轨迹为曲线和曲线，若曲线与曲线在区间上存在两个交点（其中，是自然对数的底数），则实数的最大值为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，设曲线的方程为，曲线的方程为，所以在上有两个不等的根．即在上有两个不等的根．令，则，令，得，列表得
，，，，所以实数的最大值为．
考点：导数的综合应用．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知实数满足，，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【解析】 ，
令 ，则，
其几何意义为点A 与点 之间距离的平方，
设 ，则点A和B分别在 和 的图像上，如下图，
显然 和互为反函数，其图像关于y=x对称，
则A与B的最短距离必然在直线y=x的垂线上，点A与点B关于y=x对称，
不妨设 ，则 ，
，设 ， ，
当 ， ，在x=1处取得最小值 ，
即 ，∴当 取最小值时，即是 取得最小值，
的最小值为 ；
故选：D.
11．（2023·江西·高三校联考阶段练习）已知实数满足，则对任意的正实数，的最小值为（ ）
A．B．8C．D．18
【答案】B
【解析】由题意可知，该问题可转化为求圆上任意一点
到曲线上任意一点的距离的最小值的平方，
不妨设圆为圆，
其圆心为，半径为，
因为圆外任意一点到圆上一点的距离的最小值为该点到圆心的距离减去半径，
所以只需求曲线上到圆心距离最小的点为，
则点满足曲线在点处的切线与直线垂直，
因为点在曲线上，所以，
令，则，
则，
即曲线在点处的切线的斜率为，
又因为，，
所以直线的斜率为，
所以，
即，
解得，
所以点坐标为，又因为，
所以，
所以圆上任意一点到曲线上任意一点的距离的最小值的平方为
，
所以的最小值为8.
故选：B
12．（2023·全国·高三专题练习）已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意，圆心为，设点的坐标为，由两点间距离公式得，设，，令解得，由于，可知当时，递增，时，，递减，故当时取得极大值也是最大值为，故，故时，且，所以，函数单调递减.当时，，，当时，，即单调递增，且，即，单调递增，而，故当时，函数单调递增，故函数在处取得极小值也是最小值为，故的最小值为，此时.故选A.
13．（2023·高二单元测试）设点为圆上的任意一点，点，则线段长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设点，则，化简可得：
即点在直线上，
圆的圆心到直线的距离为，
则线段长度的最小值为
故选：C
14．（2023·重庆·高二校联考阶段练习）若实数,,,满足且(其中,,是自然对数底数),则最小值为
A．B．5C．D．10
【答案】B
【解析】由得,故
即,
设,
则､分别是与上的点
所以
则的最小值即为的最小值
设1是与平行的直线,与相切于点
则由得,,
所以,由到的距离
所以的最小值为,的最小值为5.
故选:B.
15．（2023春·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第四中学校考期中）直线分别与函数，交于，两点，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，且在上递增；
，且在上递增.
所以，且都有唯一解，
，
，
构造函数，
所以在区间递减；在区间递增.
所以的最小值为.
所以的最小值为.
故选：A
16．（2023春·北京通州·高二统考期末）直线与函数的图象分别交于A､B两点，当|AB|最小时，为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】令，
则，易知，，单减；
，，单增；
则；
则直线与函数的交点间距离，
当且仅当时，AB最小.
故选：B.
17．（2023·全国·高三专题练习）直线与函数的图象分别交于两点，则的最小为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】，，
设，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
当时，函数取得最小值，，
所以的最小为.
故选：D
18．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第一中学校校考三模）已知函数，函数，直线分别与两函数交于、两点，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【解析】设，，则，，消去得．
所以，其中.
令，，
则，
当时，，当时，．
故在上为减函数，在上为增函数，
所以，所以的最小值为．
故选：A．
19．（2023·福建莆田·莆田一中校考一模）已知直线分别与直线及曲线交于A,B两点，则A,B两点间距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，得，由，得，
，
，，则，，则，
在上递减，在上递增，
，即两点间距离的最小值为，
故选：D.
【点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.
20．（2023春·江苏扬州·高二扬州中学校考阶段练习）已知点P在直线y＝2x+1上，点Q在曲线y＝x+lnx上，则P，Q两点间距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
【解析】由题可知, 当在点处的切线与平行,且过作的垂线垂足为时的距离最小.此时的导函数.
设,则,,即.
此时的距离最小值为到直线即的距离.
故选：B
21．（2023春·吉林·高二统考期末）若点与曲线上点的距离的最小值为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】的导数为，
设，可得过的切线的斜率为，
当垂直于切线时，取得最小值，
可得，且，
可得，解得或（舍去），
即有，解得，
∴，
故选：D．
22．（2023·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）设点，P为曲线上动点，若点A，P间距离的最小值为，则实数t的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，则，记，
，易知是增函数，且的值域是，
∴的唯一解，且时，，时，，即，
由题意，而，，
∴，解得，．
∴．
故选：C．
23．（2023·全国·高三专题练习）若点与曲线上点距离最小值为，则实数为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设点的坐标为，对函数求导得，
由题意可知，直线与曲线在点处的切线垂直，则，
得，
由两点间的距离公式得，
由于的最小值为，即，，解得，因此，.
故选：C.
24．（2023·全国·高三专题练习）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图所示：与直线相交于，关于的对称点在上.
则
设，则，
故在上单调递减，在上单调递增，，
故恒成立，即恒成立.
的导函数，的导函数，
当两条切线与平行时，都有，到直线的距离为.
故，当，时等号成立.
故选：.
25．（2023春·江苏无锡·高二宜兴市张渚高级中学校考期中）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为函数与互为反函数，其图象关于对称，
所以可先求点到直线的最近距离，
设曲线上斜率为1的切线为，
因为，由，可得，
所以切点的坐标为，即，
所以，所以的最小值为.
故选：D.
26．（2023·湖南长沙·高三长郡中学阶段练习）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵函数与函数互为反函数，
∴函数与函数的图象关于直线对称，
∴的最小值是点到直线的最短距离的2倍，
设曲线上斜率为1的切线为，
∵，由得，
即切点为（，2），
∴ ，
∴切线到直线的距离，
∴两点间的最短距离为2=．
故选:B．
27．（2023·全国·高三专题练习）设,其中，则的最小值为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由表示两点与点的距离，而点在抛物线上，抛物线的焦点，准线为，则表示与的距离和与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得表示与的距离和加上1，画出图象，当三点共线时，可求得最小值.
详由题意，，
由表示两点与点的距离，
而点在抛物线上，抛物线的焦点，准线为，
则表示与的距离和与准线的距离的和加上1，
由抛物线的定义可得表示与的距离和加上1，
由图象可知三点共线时，且为曲线的垂线，此时取得最小值，
即为切点，设，
由，可得，
设，则递增，且，可得切点，
即有，则的最小值为，故选C.
28．（2023·河北石家庄·统考一模）已知函数，若存在使得成立，则实数的值为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】表示点与点距离的平方，点的轨迹是函数的图象，的轨迹是直线．则．作的图象平行于直线的切线，切点为，则，所以，切点为，所以，若存在使得成立，则，此时恰好为垂足，所以，解得．故本题答案选．
二、填空题
29．（2023·全国·高三专题练习）若实数，，，满足，则的最小值为__．
【答案】
【解析】实数，，，满足，
，．分别设，．
则的最小值可看做曲线和直线上的动点与的最小距离，
设直线与曲线相切于点，．
则，，解得，．
．点到直线的距离．
即的最小值为．
故答案为：．
30．（2023·辽宁大连·高三校联考期中）已知有序数对，满足，有序数对满足，定义，则D的最小值为__________．
【答案】
【解析】对于有序数对，整理得，令，则
对于有序数对，整理得，令，则，
根据切线的性质，当取最小值时，必有，令，得到，代入，得，
故点到直线的距离设为，即的最小值为，
则所求的的最小值为
故答案为：
31．（2023·湖南衡阳·高三衡阳市八中阶段练习）已知实数满足，则的最小值______.
【答案】
【解析】由题意可得可以表示两点与之间距离的平方
故，
可以看成是函数，
即函数在的切线与函数平行时求出最小值
则，解得
此时
故的最小值为
32．（2023·全国·模拟预测）已知实数a，b，c，d满足关系式，，则的最小值为______．
【答案】
【解析】由，可得，，可以看做曲线上一点和直线上一点之间的距离，可设与直线平行的直线与曲线相切于，则，，∴，解得，，∴，∴的最小值为．
故答案为：
33．（2023春·浙江·高二校联考阶段练习）已知实数a，b，c，d满足，则的最小值为_______．
【答案】8
【解析】由可得，
所以点在曲线上，点在上，
则的最小值即为曲线上点到直线距离最小值的平方，
设上平行于的切线方程的切点为，
则，则，解得（舍）或，则切点为，
则切点到直线的距离为，
故的最小值为8.
故答案为：8.
34．（2023·全国·高三专题练习）已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点（为自然对数的底），则线段的长度的最小值为______．
【答案】
【解析】圆心，先求的最小值，设，所以以点为切点的切线方程为，当垂直切线时，，此时点，函数图象上任意点到点的距离大于点到切线的距离即，所以的最小值是，故答案为.
35．（2023·福建龙岩·高三统考期末）已知为函数图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为___．
【答案】
【解析】由圆的对称性可知，只需满足圆心（0，）到图象上一点的距离最小值
设图象上的一点为
则
即有切线斜率为
可得
,
设
,
递增
又
可得处点（e,1）到的距离最小，为
则线段长度的最小值为
36．（2023春·高二单元测试）已知P为指数函数图象上一点，Q为直线上一点，则线段PQ长度的最小值是_______
【答案】
【解析】设图象上斜率为1的切线的切点是，由，，，，即．到直线的距离是．
故答案为：．
37．（2023·全国·高三专题练习）已知直线y＝b与函数f（x）＝2x+3和g（x）＝ax+lnx分别交于A，B两点，若AB的最小值为2，则a+b＝_______.
【答案】2.
【解析】设A（x1，b），B（x2，b），可设x1＜x2，
则2x1+3＝ax2+lnx2＝b，
∴x1（ax2+lnx2﹣3），
∴|AB|＝x2﹣x1＝（1a）x2lnx2，
令y＝（1a）xlnx，
则y′＝1•（x＞0），
由|AB|的最小值为2，
可得2﹣a＞0，
函数在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
∴x时，函数y取得极小值，且为最小值2，
即有（1a）•ln2，即得ln0
解得a＝1，
由x2＝1，
则b＝ax2+lnx2＝1+ln1＝1，
可得a+b＝2．
故答案为：2．
38．（2023春·河北·高二开滦第二中学校考期中）已知直线与函数和的图象分别交于两点，若的最小值为3，则______．
【答案】1
【解析】设．令
因为的最小值为3，所以=0的根为．函数h(x)在上单调递减，在单调递增，所以，填1.
39．（2023·全国·高二专题练习）设点P在曲线上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为_____.
【答案】
【解析】令、分别向上平移一个单位可得、，而与关于对称，
∴当两条曲线在P、Q处的切线均与平行时，P、Q关于对称，|PQ|有最小，对应曲线平移到、后，P、Q关于对称即可，
∴令，则，
∴有，则，即，
∴到的距离，
∴.
故答案为：.
40．（2023·高二单元测试）已知函数，若存在使得成立，则实数的值为______.
【答案】
【解析】因为函数，
所以函数f(x)可以看作是动点与动点之间距离的平方.
动点M在函数的图象上,N在直线的图象上,问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离.
由得：，令，得：，所以，
所以函数的图象上到直线的距离最小，为，则.
根据题意，要使存在使得成立，则，此时N恰好为垂足.
由解得：.
故答案为：.
41．（2023·全国·高三专题练习）设，当a，b变化时，的最小值为_______.
【答案】.
【解析】，
函数表示点和的距离加上的纵坐标，
画出和的图像，如图所示：
故，当共线时等号成立.
设，则，，
当时，，故，函数单调递增；
当时，，故，函数单调递减.
，故.
综上所述：的最小值是.
故答案为：.