必修 第一册充分条件与必要条件课后练习题

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TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
\l "_Tc900" 【考点1：充分条件的判断及应用】 PAGEREF _Tc900 \h 1
\l "_Tc22814" 【考点2：充要条件的判断及应用】 PAGEREF _Tc22814 \h 2
\l "_Tc8333" 【考点3：充分不必要条件的判断及应用】 PAGEREF _Tc8333 \h 3
\l "_Tc3206" 【考点4：必要不充分条件的判断及应用】 PAGEREF _Tc3206 \h 4
\l "_Tc8290" 【考点5：充分、必要、充要条件与集合的关系】 PAGEREF _Tc8290 \h 5
【考点1：充分条件、必要条件的判断及应用】
【知识点：充分条件；必要条件】
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
1．若x＞3是x＞t的充分条件，则实数t的取值范围是（ ）
A．t≥3B．t＞3C．t≤3D．t＜3
【分析】利用充要条件的定义即可求解．
【解答】解：若x＞3是x＞t的充分条件，则{x|x＞3}⊆{x|x＞t}，可得t≤3，故选：C．
2．设p：1≤x＜4，q：x＜m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是 ．
【分析】可根据p是q的充分条件判断命题p能推出命题q，故可计算出m的范围．
【解答】解：令A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|x＜m}，因为p是q的充分条件．所以A⊆B．所以m≥4．
故答案为：m≥4．
3．已知条件p：2k﹣1≤x≤2，q：﹣5≤x≤3，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是 ．
【分析】记A＝{x|2k﹣1≤x≤2}，B＝{x|﹣5≤x≤3}，问题转化为满足条件A⊆B，通过讨论A的情况，确定k的取值范围即可．
【解答】解：记A＝{x|2k﹣1≤x≤2}，B＝{x|﹣5≤x≤3}，因为p是q的充分条件，所以A⊆B，
当A＝∅时，2k﹣1＞2，即k＞32，符合题意，当A≠∅时，由A⊆B可得2k﹣1≥﹣5，2k﹣1≤2即32≥k≥﹣2，
综上所述，实数的k的取值范围是k≥﹣2.
4．春秋时期孔子及其弟子所著的《论语•颜渊》中有句话：“非礼勿视，非礼勿听，非礼勿言，非礼勿动．”意思是：不符合礼的不看，不符合礼的不听，不符合礼的不说，不符合礼的不做．“非礼勿听”可以理解为：如果不合礼，那么就不听．从数学角度来说，“合礼”是“听”的（ ）
A．充分条件B．必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】先写出如果不合礼，那么就不听的充要条件，再利用充要条件的定义判断即可．
【解答】解：∵如果不合礼，那么就不听⇔如果听，那么就合礼，∴合礼是听的必要条件，故选：B．
5．已知α：x＜2m﹣1或x＞﹣m，β：x＜2或x≥4，若α是β的必要条件，则实数m的取值范围是 ．
【分析】将充分必要条件的判断问题转化为集合问题解决．
【解答】解：因为α是β的必要条件，所以β⇒α，即由x＜2或x≥4⇒x＜2m﹣1或x＞﹣m；
①m＞13时，2m﹣1＞﹣m，此时α：x∈R，有β⇒α成立；
②m=13时，α：x∈R且x≠13，β不能推出α；
③m＜13时，有2m−1≥2−m≤4，即m≥32，此时无解；综上：m＞13．
【考点2：充要条件的判断及应用】
【知识点：充要条件】
若p⇔q，则p是q的充要条件．
1．设n∈N*，一元二次方程x2﹣4x+n＝0有实数根的充要条件是n＝ 1或2或3或4． ．
【分析】由一元二次方程有实数根⇔△≥0得n≤4；又n∈N+，则分别讨论n为1，2，3，4时的情况即可．
【解答】解析：由题意得Δ＝16﹣4n≥0，解得：n≤4，又因为n∈N+，取n＝1，2，3，4，
故答案为：1或2或3或4．
2．设全集为S，集合A，B⊆S，有下列四个命题：
①A∪B＝B；
②∁SB⊆∁SA；
③（∁SB）∩A＝∅；
④（∁SA）∩B＝∅．
其中是命题A⊆B的充要条件的命题序号是 ①②③ ．
【分析】根据集合的补集，交集、并集的定义，再由充要条件的定义判断哪些选项符合条件．
【解答】解：由A∪B＝B，可得A⊆B，由 A⊆B 可得A∪B＝B，故①A∪B＝B是命题A⊆B的充要条件，故①满足条件，由∁SB⊆∁SA，可得A⊆B，由A⊆B 可得∁SB⊆∁SA，故∁SB⊆∁SA是命题A⊆B的充要条件，故 ②满足条件，由（∁SB）∩A＝∅，可得A⊆B，由A⊆B 可得∁SB∩A＝∅，故∁SB∩A＝∅是命题A⊆B的充要条件，故③满足条件，由（∁SA）∩B＝∅，可得B⊆A，不能推出A⊆B，故（∁SA）∩B＝∅不是命题A⊆B的充要条件，故④不满足条件．故答案为：①②③．
【考点3：充分不必要条件的判断及应用】
【知识点：充分不必要条件】
若p⇒q且q⇏p，则p是q的充分不必要条件．
1．已知p：1﹣x＜0，q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ．
【分析】根据p是q的充分不必要条件即可得出a的取值范围．
【解答】解：∵p：1﹣x＜0，即x＞1，q：x＞a，p是q的充分不必要条件，∴a＜1．
2．已知p：﹣1＜x＜3，q：﹣1＜x＜m+2，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是 ．
【分析】根据充分条件和必要条件与集合关系进行转化求解即可．
【解答】解：∵p是q的充分不必要条件，则m+2＞3，即m＞1，故答案为：m＞1
3．“|x|≠|y|”是“x≠y”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】由“|x|≠|y|”，一定有x≠y，由“x≠y”推不出“|x|≠|y|”，例如x＝1，y＝﹣1，即可判断出结论．
【解答】解：由“|x|≠|y|”，一定有x≠y，由“x≠y”推不出“|x|≠|y|”，例如x＝1，y＝﹣1．
因此“|x|≠|y|”是“x≠y”的充分不必要条件．故选：A．
【考点4：必要不充分条件的判断及应用】
【知识点：必要不充分条件】
若p⇏q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件．
1．（2022•信阳期末）已知p：x＜m，q：﹣1≤x≤3，若p是q的必要不充分条件，则m的值可能为 4 （填一个满足条件的值即可）．
【分析】先将p是q的必要不充分条件转化，得到m的取值范围，即可得到答案．
【解答】解：p是q的必要不充分条件，所以m＞3，故答案不唯一，只需填大于3的数即可．
故答案为：4．
2．给出下列条件p与q：
①p：x＝1或x＝2；q：x2﹣3x+2＝0；
②p：x2﹣1＝0，q：x﹣1＝0；
③p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．
其中p是q的必要不充分条件的序号为 ② ．
【分析】直接利用方程的解法和充分条件和必要条件的应用判断①、②、③的结论．
【解答】解：①p：x＝1或x＝2；q：x2﹣3x+2＝0，解得x＝1或x＝2；，
故p＝q，所以p为q的充要条件；
②p：x2﹣1＝0，解得x＝±1，q：x﹣1＝0；解得x＝1，所以q是p的充分不必要条件，即p是q的必要不充分条件，
③p：一个四边形是矩形；则对角线相等，q：四边形的对角线相等．但是该四边形不一定为矩形，
故p是q的充分不必要条件．故答案为：②．
【考点5：充分、必要、充要条件与集合的关系】
【知识点：充分、必要、充要条件与集合的关系】
【方法技巧】
充分、必要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．
(2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断．
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件．
1.已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x﹣2＞0}，则x∈A是x∈B的（ ）
A．充分不要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分他不要条件
【分析】分别化简集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x＞2}，即可判断出．
【解答】解：由集合A＝{x|x≥0}，集合B：x﹣2＞0，解得x＞2，即B＝{x|x＞2}．
因此“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．故选：B．
2.“A∩B＝∅”是“A＝∅或B＝∅”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】A∩B＝∅，有可能A，B都不是∅，A＝∅或B＝∅⇒A∩B＝∅，必要性成立，从而“A∩B＝∅”是“A＝∅或B＝∅”的必要不充分条件．
【解答】解：A∩B＝∅，有可能A，B都不是∅，即A＝∅或B＝∅不一定成立，充分性不成立；A＝∅或B＝∅⇒A∩B＝∅，必要性成立，故“A∩B＝∅”是“A＝∅或B＝∅”的必要不充分条件．故选：B．
3．已知p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 ．
【分析】由p是q的必要不充分条件，得到{x|2＜x＜3}{x|x＞a}，即可求解．
【解答】解：∵p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，∴{x|2＜x＜3}{x|x＞a}，∴a≤2，
故答案为：a≤2]．
4．已知条件p：2k﹣1≤x≤2，q：﹣5≤x≤3，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是 ．
【分析】记A＝{x|2k﹣1≤x≤2}，B＝{x|﹣5≤x≤3}，问题转化为满足条件A⊆B，通过讨论A的情况，确定k的取值范围即可．
【解答】解：记A＝{x|2k﹣1≤x≤2}，B＝{x|﹣5≤x≤3}，
因为p是q的充分条件，所以A⊆B，当A＝∅时，2k﹣1＞2，即k＞32，符合题意，
当A≠∅时，由A⊆B可得2k﹣1≥﹣5，2k﹣1≤2即32≥k≥﹣2，
综上所述，实数的k的取值范围是k≥﹣2.p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为B
p是q的充分条件
A⊆B
p是q的必要条件
B⊆A
p是q的充分不必要条件
AB
p是q的必要不充分条件
BA
p是q的充要条件
A＝B