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人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件优秀课后作业题
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§1.4 充分条件与必要条件
1.4.1 充分条件与必要条件
学习目标
1.理解充分条件、必要条件的概念.
2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.
3.能通过充分性、必要性解决简单的问题.
知识点 充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题
“若p，则q”为假命题
推出关系
p⇒q
p⇏q
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
定理关系
判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件
性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
思考1 若p是q的充分条件，这样的条件p唯一吗？
答案为：不唯一.例如“x>1”是“x>0”的充分条件，p可以是“x>2”“x>3”或“2
答案为：相同，都是p⇒q.
思考3 以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？
答案为：等价.
1.若条件p：两个三角形相似，q：两个三角形全等，则p是q的________条件.
答案为：必要
解析：因为两个三角形全等，所以这两个三角形相似，
即q⇒p，所以p是q的必要条件.
2.已知A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的________条件.
答案为：充分
解析：因为A⊆B，所以x∈A⇒x∈B，所以“x∈A”是“x∈B”的充分条件.
3.p：|x|＝|y|，q：x＝y，则p是q的________条件.
答案为：必要
解析：∵x＝y⇒|x|＝|y|，即q⇒p，∴p是q的必要条件.
4.p：a＝0，q：ab＝0，则p是q的________条件.
答案为：充分
解析：因为当a＝0时，一定有ab＝0成立，即p⇒q，所以p是q的充分条件.
一、充分条件的判断
例1 指出下列哪些命题中p是q的充分条件？
(1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB；
(2)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x﹣1)·(x﹣2)＝0；
(3)已知x∈R，p：x>1，q：x>2.
解 (1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以p是q的充分条件.
(2)由x＝1⇒(x﹣1)(x﹣2)＝0，故p是q的充分条件.
(3)方法一 由x>1⇏x>2，所以p不是q的充分条件.
方法二 设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}，
所以B⊆A，所以p不是q的充分条件.
反思感悟 充分条件的判断方法
(1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题.
(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件.
跟踪训练1 “x>2”是“x2>4”的________条件.
答案为：充分
解析：x>2⇒x2>4，故x>2是x2>4的充分条件.
二、必要条件的判断
例2 指出下列哪些命题中q是p的必要条件？
(1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
(2)p：A⊆B，q：A∩B＝A；
(3)p：a>b，q：ac>bc.
解 (1)因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件.
(2)因为p⇒q，所以q是p的必要条件.
(3)因为p⇏q，所以q不是p的必要条件.
(学生)
反思感悟 必要条件的判断方法
(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件.
(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件.
跟踪训练2 指出下列哪些命题中q是p的必要条件？
(1)p：∠A和∠B是对顶角，q：∠A＝∠B；
(2)p：|x|>2，q：x>2.
解 (1)因为对顶角相等，所以p⇒q，所以q是p的必要条件.
(2)因为当|x|>2时，x>2或x<﹣2，所以p⇏q，所以q不是p的必要条件.
三、充分条件与必要条件的应用
例3 已知p：实数x满足3a
所以⇒﹣≤a<0，
所以a的取值范围是﹣≤a<0.
(教师)
延伸探究
将本例中条件p改为“实数x满足a0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围.
解 p：a
因为q⇒p，所以B⊆A，
所以⇒a∈∅.
反思感悟 充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题.
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解.
跟踪训练3 已知P＝{x|a﹣4
解析：因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P，
所以即所以﹣1≤a≤5.
1.若p是q的充分条件，则q是p的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既不是充分条件也不是必要条件
D.既是充分条件又是必要条件
答案为：B
解析：因为p是q的充分条件，所以p⇒q，
所以q是p的必要条件.
2.“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件又是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
答案为：B
解析：因为正方形的四条边相等，但四条边相等的四边形不一定是正方形，所以“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的必要条件.
3.使x>3成立的一个充分条件是( )
A.x>4 B.x>0 C.x>2 D.x<2
答案为：A
解析：只有x>4⇒x>3，其他选项均不可推出x>3.
4.已知命题p：a是末位是0的整数，q：a能被5整除，则p是q的________条件；q是p的________条件.(用“充分”“必要”填空)
答案为：充分 必要
解析：因为p⇒q，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件.
5.若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________.
答案为：a≤1
解析：因为x>1⇒x>a，所以a≤1.
1.知识清单：
(1)充分条件、必要条件的概念.
(2)充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.
(3)充分条件、必要条件的判断.
(4)充分条件与必要条件的应用.
2.方法归纳：等价转化.
3.常见误区：充分条件、必要条件不唯一；求参数范围能否取到端点值.
1.(多选)使ab>0成立的充分条件是( )
A.a>0，b>0 B.a＋b>0 C.a<0，b<0 D.a>1，b>1
答案为：ACD
解析：因为a>0，b>0⇒ab>0；a<0，b<0⇒ab>0；a>1，b>1⇒ab>0，所以选项ACD都是使ab>0成立的充分条件.
2.使x>1成立的一个必要条件是( )
A.x>0 B.x>3 C.x>2 D.x<2
答案为：A
解析：只有x>1⇒x>0，其他选项均不可由x>1推出.
3.下列命题中，p是q的充分条件的是( )
A.p：ab≠0，q：a≠0
B.p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0
C.p：x2>1，q：x>1
D.p：a>b，q：>
答案为：A
解析：根据充分条件的概念逐一判断.只有ab≠0⇒a≠0.
4.已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既不是充分条件也不是必要条件
D.既是充分条件又是必要条件
答案为：A
解析：∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，
∴a＝2或3，即a＝3⇒A⊆B，∴“a＝3”是“A⊆B”的充分条件.
5.(多选)下列命题中，p是q的充分条件的是( )
A.p：a是无理数，q：a2是无理数
B.p：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等
C.p：x>2，q：x≥1
D.p：a>b，q：ac2>bc2
答案为：BC
解析：A中，a＝是无理数，a2＝2是有理数，所以p不是q的充分条件；
B中，因为等腰梯形的对角线相等，所以p是q的充分条件；
C中，x>2⇒x≥1，所以p是q的充分条件；
D中，当c＝0时ac2＝bc2，所以p不是q的充分条件.
6.“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________条件(用“充分”“必要”填空).
答案为：必要 充分
解析：由于x＝0⇒x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件.
7.下列说法不正确的是________.(只填序号)
①“x>5”是“x>4”的充分条件；
②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件；
③“﹣2
解析：②中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则②不正确；①③正确.
8.条件p：2﹣x>0，条件q：x
解析：p：x<2，若p是q的充分条件，则p⇒q，即p对应集合是q对应集合的子集，故a≥2.
9.指出下列命题中，p是q的什么条件？
(1)p：x2＝2x＋1，q：x＝；
(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；
(3)p：(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝0，q：(x﹣1)(y﹣2)＝0.
解 (1)∵x2＝2x＋1⇏x＝，x＝⇒x2＝2x＋1，∴p是q的必要条件.
(2)∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，a＋b＝0⇏a2＋b2＝0，∴p是q的充分条件.
(3)∵(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x﹣1)·(y﹣2)＝0，
而(x﹣1)(y﹣2)＝0⇏ (x﹣1)2＋(y﹣2)2＝0，∴p是q的充分条件.
10.已知p：﹣1b恒成立的实数b的取值范围.
解 由于p：﹣1
则使a>b恒成立的实数b的取值范围是{b|b<2}.
11.设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”的充分条件是( )
A.x＋y＝2 B.x＋y>2 C.x2＋y2>2 D.xy>1
答案为：B
解析：对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C，D，当x＝﹣2，y＝﹣3时，满足x2＋y2>2，xy>1，但命题不成立，也不符合题意.
12.集合A＝{x|﹣1
解析：A＝{x|﹣1
所以﹣1≤b﹣1<1或﹣1
答案为：充分 必要
解析：当k>5，b<5时，函数y＝(k﹣4)x＋b﹣5的图象如图所示，
此时一次函数y＝(k﹣4)x＋b﹣5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，
∴p是q的充分条件，q是p的必要条件.
14.已知p：x<﹣2或x>10，q：x<1＋a或x>1﹣a.若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为________.
答案为：{a|a≤﹣9}
解析：∵q：x<1＋a或x>1﹣a，∴a≤0.
∵p是q的必要条件，∴q⇒p，
∴解得a≤﹣9.
15.设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )
A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C.丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件
D.丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
答案为：A
解析：因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲.
又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇏丙，
如图.
综上，有丙⇒甲，但甲⇏丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.
16.(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<﹣1或x>3的充分条件？
(2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<﹣1或x>3的必要条件？
解 (1)欲使2x＋m<0是x<﹣1或x>3的充分条件，
则只要⊆{x|x<﹣1或x>3}，即只需﹣≤﹣1，所以m≥2.
故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x<﹣1或x>3的充分条件.
(2)欲使2x＋m<0是x<﹣1或x>3的必要条件，则只要{x|x<﹣1或x>3}⊆，
这是不可能的.
故不存在实数m，使2x＋m<0是x<﹣1或x>3的必要条件.
1.4.2 充要条件
学习目标
1.理解充要条件的意义.
2.会判断一些简单的充要条件问题.
3.能对充要条件进行证明.
知识点 充要条件
1.如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.
2.如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件.
思考1 若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.这种说法对吗？
答案为：正确.若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q，故此说法正确.
思考2 “p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
答案为：(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论.
(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.
1.“x>1”是“x＋2>3”的________条件.
答案为：充要
解析：当x>1时，x＋2>3；当x＋2>3时，x>1，所以“x>1”是“x＋2>3”的充要条件.
2.“(2x﹣1)x＝0”是“x＝0”的________条件.
答案为：必要不充分
解析：设命题p：(2x﹣1)x＝0，命题q：x＝0，则命题p：x＝0或x＝，故p是q的必要不充分条件.
3.△ABC是锐角三角形是∠ABC为锐角的________条件.
答案为：充分不必要
4.若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________条件.
答案为：充要
解析：因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r，
所以p是r的充要条件.
一、充分、必要、充要条件的判断
例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”).
(1)p：x＝1，q：x﹣1＝；
(2)p：﹣1≤x≤5，q：x≥﹣1且x≤5；
(3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；
(4)p：a是自然数；q：a是正数.
解 (1)当x＝1时，x﹣1＝成立；当x﹣1＝时，x＝1或x＝2.
∴p是q的充分不必要条件.
(2)∵﹣1≤x≤5⇔x≥﹣1且x≤5，∴p是q的充要条件.
(3)由q：(x＋2)2≠y2，得x＋2≠y，且x＋2≠﹣y，又p：x＋2≠y，
故p是q的必要不充分条件.
(4)0是自然数，但0不是正数，故p⇏q；又是正数，但不是自然数，故q⇏p.故p是q的既不充分又不必要条件.
反思感悟 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断.
(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性.
跟踪训练1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”).
(1)p：x2>0，q：x>0；
(2)p：a能被6整除，q：a能被3整除；
(3)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等；
(4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA.
解 (1)p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要不充分条件.
(2)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分不必要条件.
(3)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p是q的必要不充分条件.
(4)∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA，
∴p是q的充要条件.
二、充要条件的证明
例2 设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx﹣b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
证明 必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx﹣b2＝0有公共根x0，
则x＋2ax0＋b2＝0，x＋2cx0﹣b2＝0.
两式相减，得x0＝，
将此式代入x＋2ax0＋b2＝0，
可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°.
充分性：∵∠A＝90°，∴b2＝a2﹣c2.①
将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，
可得x2＋2ax＋a2﹣c2＝0，
即(x＋a﹣c)(x＋a＋c)＝0.
将①代入方程x2＋2cx﹣b2＝0，
可得x2＋2cx＋c2﹣a2＝0，
即(x＋c﹣a)(x＋c＋a)＝0.
故两方程有公共根x＝﹣(a＋c).
∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx﹣b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
(学生)
反思感悟 充要条件证明的两个思路
(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性.
(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件.
跟踪训练2 求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
证明 ①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，
当x＝0时，y＝0，函数图象过原点.
②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，
所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0.
综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
三、充要条件的应用
例3 已知p：﹣2≤x≤10，q：1﹣m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
解 p：﹣2≤x≤10，q：1﹣m≤x≤1＋m(m>0).
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1﹣m≤x≤1＋m}{x|﹣2≤x≤10}，
故有或解得m≤3.
又m>0，
所以实数m的取值范围为{m|0
1.若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
解 p：﹣2≤x≤10，q：1﹣m≤x≤1＋m(m>0).
因为p是q的充分不必要条件，设p代表的集合为A，q代表的集合为B，
所以AB.
所以或
解不等式组得m>9或m≥9，所以m≥9，
即实数m的取值范围是m≥9.
2.本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
解 因为p：﹣2≤x≤10，q：1﹣m≤x≤1＋m(m>0).
若p是q的充要条件，则m不存在.
故不存在实数m，使得p是q的充要条件.
反思感悟 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
跟踪训练3 已知当a<0时，设p：3a
所以AB，∴a≤﹣4或3a≥﹣2，即a≤﹣4或a≥﹣.
又∵a<0，∴a≤﹣4或﹣≤a<0，
即实数a的取值范围为a≤﹣4或﹣≤a<0.
1.“x>0”是“x≠0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案为：A
解析：由“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立.
因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件.
2.“x2﹣4x﹣5＝0”是“x＝5”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案为：B
解析：由x2﹣4x﹣5＝0得x＝5或x＝﹣1，则当x＝5时，x2﹣4x﹣5＝0成立，
但当x2﹣4x﹣5＝0时，x＝5不一定成立.
3.“a
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案为：D
4.已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的________条件.
答案为：充要
解析：因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0，所以充分性成立；
因为ab>0，所以a与b同号，又a＋b>0，所以a>0且b>0，所以必要性成立.
故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件.
5.函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________.
答案为：m＝﹣2
解析：函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，
则﹣＝1，即m＝﹣2；反之，若m＝﹣2，则y＝x2﹣2x＋1的图象关于直线x＝1对称.
1.知识清单：
(1)充要条件概念的理解.
(2)充要条件的证明.
(3)充要条件的应用.
2.方法归纳：等价转化.
3.常见误区：条件和结论辨别不清.
1.“1
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案为：A
解析：设A＝{x|1
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分又不必要条件
答案为：A
解析：若x＝1，则x2﹣2x＋1＝0；若x2﹣2x＋1＝0，即(x﹣1)2＝0，则x＝1.故为充要条件.
3.设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案为：B
解析：由2﹣x≥0，得x≤2，由|x﹣1|≤1，得0≤x≤2.当x≤2时不一定有0≤x≤2，
而当0≤x≤2时一定有x≤2，∴“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的必要不充分条件.
4.已知a，b是实数，则“a<0，且b<0”是“ab(a﹣b)>0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
答案为：D
解析：已知a，b是实数，则若a<0，且b<0，则不一定有ab(a﹣b)>0，比如当a0，则a﹣b和ab同号，当a>b>0时满足ab(a﹣b)>0，当b0，故不能确定a和b的正负.故是既不充分又不必要条件.
5.使“x∈”成立的一个充分不必要条件是( )
A.x≥0 B.x<0或x>2 C.x∈{﹣1,3,5} D.x≤﹣或x≥3
答案为：C
解析：选项中只有x∈{﹣1,3,5}是使“x∈”成立的一个充分不必要条件.
6.已知△ABC，△A1B1C1，两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
答案为：必要不充分
解析：由两三角形对应角相等⇏△ABC≌△A1B1C1；
反之由△ABC≌△A1B1C1⇒∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1.
7.对于集合A，B及元素x，若A⊆B，则x∈B是x∈A∪B的________条件.
答案为：充要
解析：由x∈B，显然可得x∈A∪B；反之，由A⊆B，则A∪B＝B，
所以由x∈A∪B可得x∈B，故x∈B是x∈A∪B的充要条件.
8.设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的________条件.
答案为：既不充分又不必要
解析：若a＋b>0，取a＝3，b＝﹣2，则ab>0不成立；
反之，若ab>0，取a＝﹣2，b＝﹣3，则a＋b>0也不成立，
因此“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分又不必要条件.
9.求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
证明 必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
所以Δ＝b2﹣4ac>0，x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)，所以ac<0.
充分性：由ac<0，可推得b2﹣4ac>0，及x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根).所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根.
综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
10.设命题p：≤x≤1；命题q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
解 设A＝，B＝{x|a≤x≤a＋1}，
由p是q的充分不必要条件，可知AB，
∴或解得0≤a≤，
故所求实数a的取值范围是0≤a≤.
11.“函数y＝x2﹣2ax＋a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案为：A
解析：函数y＝x2﹣2ax＋a的图象在x轴的上方，则Δ＝4a2﹣4a<0，解得0
12.设x∈R，则“<”是“x2<1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案为：A
解析：由<，得0
13.已知“p：x>m＋3或x
解析：因为p是q成立的必要不充分条件，所以m＋3≤﹣4或m≥1，故m≤﹣7或m≥1.
14.已知α：x≥a，β：|x﹣1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________.
答案为：{a|a≤0}
解析：α：x≥a，可`看作集合A＝{x|x≥a}.
∵β：|x﹣1|<1，∴0
15.设m∈N*，一元二次方程x2﹣4x＋m＝0有整数根的充要条件是m＝________.
答案为：3或4
解析：x＝＝2±，
因为x是整数，即2±为整数，所以为整数，且m≤4，
又m∈N*，取m＝1,2,3,4.验证可得m＝3,4符合题意，
所以m＝3,4时可以推出一元二次方程x2﹣4x＋m＝0有整数根.
16.已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a﹣b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为﹣1”的什么条件？并说明理由.
解 “a﹣b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为﹣1”的充要条件.
理由如下：
当a，b，c∈R，a≠0时，
若“a﹣b＋c＝0”，则﹣1满足二次方程ax2＋bx＋c＝0，即“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为﹣1”，
故“a﹣b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为﹣1”的充分条件，
若“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为﹣1”，则“a﹣b＋c＝0”，
故“a﹣b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为﹣1”的必要条件，
综上所述，“a﹣b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为﹣1”的充要条件.
§1.4 充分条件与必要条件
1.4.1 充分条件与必要条件
学习目标
1.理解充分条件、必要条件的概念.
2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.
3.能通过充分性、必要性解决简单的问题.
知识点 充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题
“若p，则q”为假命题
推出关系
p⇒q
p⇏q
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
定理关系
判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件
性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
思考1 若p是q的充分条件，这样的条件p唯一吗？
答案为：不唯一.例如“x>1”是“x>0”的充分条件，p可以是“x>2”“x>3”或“2
答案为：相同，都是p⇒q.
思考3 以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？
答案为：等价.
1.若条件p：两个三角形相似，q：两个三角形全等，则p是q的________条件.
答案为：必要
解析：因为两个三角形全等，所以这两个三角形相似，
即q⇒p，所以p是q的必要条件.
2.已知A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的________条件.
答案为：充分
解析：因为A⊆B，所以x∈A⇒x∈B，所以“x∈A”是“x∈B”的充分条件.
3.p：|x|＝|y|，q：x＝y，则p是q的________条件.
答案为：必要
解析：∵x＝y⇒|x|＝|y|，即q⇒p，∴p是q的必要条件.
4.p：a＝0，q：ab＝0，则p是q的________条件.
答案为：充分
解析：因为当a＝0时，一定有ab＝0成立，即p⇒q，所以p是q的充分条件.
一、充分条件的判断
例1 指出下列哪些命题中p是q的充分条件？
(1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB；
(2)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x﹣1)·(x﹣2)＝0；
(3)已知x∈R，p：x>1，q：x>2.
解 (1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以p是q的充分条件.
(2)由x＝1⇒(x﹣1)(x﹣2)＝0，故p是q的充分条件.
(3)方法一 由x>1⇏x>2，所以p不是q的充分条件.
方法二 设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}，
所以B⊆A，所以p不是q的充分条件.
反思感悟 充分条件的判断方法
(1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题.
(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件.
跟踪训练1 “x>2”是“x2>4”的________条件.
答案为：充分
解析：x>2⇒x2>4，故x>2是x2>4的充分条件.
二、必要条件的判断
例2 指出下列哪些命题中q是p的必要条件？
(1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
(2)p：A⊆B，q：A∩B＝A；
(3)p：a>b，q：ac>bc.
解 (1)因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件.
(2)因为p⇒q，所以q是p的必要条件.
(3)因为p⇏q，所以q不是p的必要条件.
(学生)
反思感悟 必要条件的判断方法
(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件.
(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件.
跟踪训练2 指出下列哪些命题中q是p的必要条件？
(1)p：∠A和∠B是对顶角，q：∠A＝∠B；
(2)p：|x|>2，q：x>2.
解 (1)因为对顶角相等，所以p⇒q，所以q是p的必要条件.
(2)因为当|x|>2时，x>2或x<﹣2，所以p⇏q，所以q不是p的必要条件.
三、充分条件与必要条件的应用
例3 已知p：实数x满足3a
所以⇒﹣≤a<0，
所以a的取值范围是﹣≤a<0.
(教师)
延伸探究
将本例中条件p改为“实数x满足a
解 p：a
因为q⇒p，所以B⊆A，
所以⇒a∈∅.
反思感悟 充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题.
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解.
跟踪训练3 已知P＝{x|a﹣4
解析：因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P，
所以即所以﹣1≤a≤5.
1.若p是q的充分条件，则q是p的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既不是充分条件也不是必要条件
D.既是充分条件又是必要条件
答案为：B
解析：因为p是q的充分条件，所以p⇒q，
所以q是p的必要条件.
2.“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件又是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
答案为：B
解析：因为正方形的四条边相等，但四条边相等的四边形不一定是正方形，所以“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的必要条件.
3.使x>3成立的一个充分条件是( )
A.x>4 B.x>0 C.x>2 D.x<2
答案为：A
解析：只有x>4⇒x>3，其他选项均不可推出x>3.
4.已知命题p：a是末位是0的整数，q：a能被5整除，则p是q的________条件；q是p的________条件.(用“充分”“必要”填空)
答案为：充分 必要
解析：因为p⇒q，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件.
5.若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________.
答案为：a≤1
解析：因为x>1⇒x>a，所以a≤1.
1.知识清单：
(1)充分条件、必要条件的概念.
(2)充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.
(3)充分条件、必要条件的判断.
(4)充分条件与必要条件的应用.
2.方法归纳：等价转化.
3.常见误区：充分条件、必要条件不唯一；求参数范围能否取到端点值.
1.(多选)使ab>0成立的充分条件是( )
A.a>0，b>0 B.a＋b>0 C.a<0，b<0 D.a>1，b>1
答案为：ACD
解析：因为a>0，b>0⇒ab>0；a<0，b<0⇒ab>0；a>1，b>1⇒ab>0，所以选项ACD都是使ab>0成立的充分条件.
2.使x>1成立的一个必要条件是( )
A.x>0 B.x>3 C.x>2 D.x<2
答案为：A
解析：只有x>1⇒x>0，其他选项均不可由x>1推出.
3.下列命题中，p是q的充分条件的是( )
A.p：ab≠0，q：a≠0
B.p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0
C.p：x2>1，q：x>1
D.p：a>b，q：>
答案为：A
解析：根据充分条件的概念逐一判断.只有ab≠0⇒a≠0.
4.已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既不是充分条件也不是必要条件
D.既是充分条件又是必要条件
答案为：A
解析：∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，
∴a＝2或3，即a＝3⇒A⊆B，∴“a＝3”是“A⊆B”的充分条件.
5.(多选)下列命题中，p是q的充分条件的是( )
A.p：a是无理数，q：a2是无理数
B.p：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等
C.p：x>2，q：x≥1
D.p：a>b，q：ac2>bc2
答案为：BC
解析：A中，a＝是无理数，a2＝2是有理数，所以p不是q的充分条件；
B中，因为等腰梯形的对角线相等，所以p是q的充分条件；
C中，x>2⇒x≥1，所以p是q的充分条件；
D中，当c＝0时ac2＝bc2，所以p不是q的充分条件.
6.“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________条件(用“充分”“必要”填空).
答案为：必要 充分
解析：由于x＝0⇒x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件.
7.下列说法不正确的是________.(只填序号)
①“x>5”是“x>4”的充分条件；
②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件；
③“﹣2
解析：②中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则②不正确；①③正确.
8.条件p：2﹣x>0，条件q：x
解析：p：x<2，若p是q的充分条件，则p⇒q，即p对应集合是q对应集合的子集，故a≥2.
9.指出下列命题中，p是q的什么条件？
(1)p：x2＝2x＋1，q：x＝；
(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；
(3)p：(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝0，q：(x﹣1)(y﹣2)＝0.
解 (1)∵x2＝2x＋1⇏x＝，x＝⇒x2＝2x＋1，∴p是q的必要条件.
(2)∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，a＋b＝0⇏a2＋b2＝0，∴p是q的充分条件.
(3)∵(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x﹣1)·(y﹣2)＝0，
而(x﹣1)(y﹣2)＝0⇏ (x﹣1)2＋(y﹣2)2＝0，∴p是q的充分条件.
10.已知p：﹣1
解 由于p：﹣1
则使a>b恒成立的实数b的取值范围是{b|b<2}.
11.设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”的充分条件是( )
A.x＋y＝2 B.x＋y>2 C.x2＋y2>2 D.xy>1
答案为：B
解析：对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C，D，当x＝﹣2，y＝﹣3时，满足x2＋y2>2，xy>1，但命题不成立，也不符合题意.
12.集合A＝{x|﹣1
解析：A＝{x|﹣1
所以﹣1≤b﹣1<1或﹣1
答案为：充分 必要
解析：当k>5，b<5时，函数y＝(k﹣4)x＋b﹣5的图象如图所示，
此时一次函数y＝(k﹣4)x＋b﹣5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，
∴p是q的充分条件，q是p的必要条件.
14.已知p：x<﹣2或x>10，q：x<1＋a或x>1﹣a.若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为________.
答案为：{a|a≤﹣9}
解析：∵q：x<1＋a或x>1﹣a，∴a≤0.
∵p是q的必要条件，∴q⇒p，
∴解得a≤﹣9.
15.设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )
A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C.丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件
D.丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
答案为：A
解析：因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲.
又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇏丙，
如图.
综上，有丙⇒甲，但甲⇏丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.
16.(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<﹣1或x>3的充分条件？
(2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<﹣1或x>3的必要条件？
解 (1)欲使2x＋m<0是x<﹣1或x>3的充分条件，
则只要⊆{x|x<﹣1或x>3}，即只需﹣≤﹣1，所以m≥2.
故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x<﹣1或x>3的充分条件.
(2)欲使2x＋m<0是x<﹣1或x>3的必要条件，则只要{x|x<﹣1或x>3}⊆，
这是不可能的.
故不存在实数m，使2x＋m<0是x<﹣1或x>3的必要条件.
1.4.2 充要条件
学习目标
1.理解充要条件的意义.
2.会判断一些简单的充要条件问题.
3.能对充要条件进行证明.
知识点 充要条件
1.如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.
2.如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件.
思考1 若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.这种说法对吗？
答案为：正确.若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q，故此说法正确.
思考2 “p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
答案为：(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论.
(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.
1.“x>1”是“x＋2>3”的________条件.
答案为：充要
解析：当x>1时，x＋2>3；当x＋2>3时，x>1，所以“x>1”是“x＋2>3”的充要条件.
2.“(2x﹣1)x＝0”是“x＝0”的________条件.
答案为：必要不充分
解析：设命题p：(2x﹣1)x＝0，命题q：x＝0，则命题p：x＝0或x＝，故p是q的必要不充分条件.
3.△ABC是锐角三角形是∠ABC为锐角的________条件.
答案为：充分不必要
4.若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________条件.
答案为：充要
解析：因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r，
所以p是r的充要条件.
一、充分、必要、充要条件的判断
例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”).
(1)p：x＝1，q：x﹣1＝；
(2)p：﹣1≤x≤5，q：x≥﹣1且x≤5；
(3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；
(4)p：a是自然数；q：a是正数.
解 (1)当x＝1时，x﹣1＝成立；当x﹣1＝时，x＝1或x＝2.
∴p是q的充分不必要条件.
(2)∵﹣1≤x≤5⇔x≥﹣1且x≤5，∴p是q的充要条件.
(3)由q：(x＋2)2≠y2，得x＋2≠y，且x＋2≠﹣y，又p：x＋2≠y，
故p是q的必要不充分条件.
(4)0是自然数，但0不是正数，故p⇏q；又是正数，但不是自然数，故q⇏p.故p是q的既不充分又不必要条件.
反思感悟 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断.
(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性.
跟踪训练1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”).
(1)p：x2>0，q：x>0；
(2)p：a能被6整除，q：a能被3整除；
(3)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等；
(4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA.
解 (1)p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要不充分条件.
(2)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分不必要条件.
(3)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p是q的必要不充分条件.
(4)∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA，
∴p是q的充要条件.
二、充要条件的证明
例2 设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx﹣b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
证明 必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx﹣b2＝0有公共根x0，
则x＋2ax0＋b2＝0，x＋2cx0﹣b2＝0.
两式相减，得x0＝，
将此式代入x＋2ax0＋b2＝0，
可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°.
充分性：∵∠A＝90°，∴b2＝a2﹣c2.①
将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，
可得x2＋2ax＋a2﹣c2＝0，
即(x＋a﹣c)(x＋a＋c)＝0.
将①代入方程x2＋2cx﹣b2＝0，
可得x2＋2cx＋c2﹣a2＝0，
即(x＋c﹣a)(x＋c＋a)＝0.
故两方程有公共根x＝﹣(a＋c).
∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx﹣b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
(学生)
反思感悟 充要条件证明的两个思路
(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性.
(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件.
跟踪训练2 求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
证明 ①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，
当x＝0时，y＝0，函数图象过原点.
②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，
所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0.
综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
三、充要条件的应用
例3 已知p：﹣2≤x≤10，q：1﹣m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
解 p：﹣2≤x≤10，q：1﹣m≤x≤1＋m(m>0).
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1﹣m≤x≤1＋m}{x|﹣2≤x≤10}，
故有或解得m≤3.
又m>0，
所以实数m的取值范围为{m|0
1.若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
解 p：﹣2≤x≤10，q：1﹣m≤x≤1＋m(m>0).
因为p是q的充分不必要条件，设p代表的集合为A，q代表的集合为B，
所以AB.
所以或
解不等式组得m>9或m≥9，所以m≥9，
即实数m的取值范围是m≥9.
2.本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
解 因为p：﹣2≤x≤10，q：1﹣m≤x≤1＋m(m>0).
若p是q的充要条件，则m不存在.
故不存在实数m，使得p是q的充要条件.
反思感悟 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
跟踪训练3 已知当a<0时，设p：3a
所以AB，∴a≤﹣4或3a≥﹣2，即a≤﹣4或a≥﹣.
又∵a<0，∴a≤﹣4或﹣≤a<0，
即实数a的取值范围为a≤﹣4或﹣≤a<0.
1.“x>0”是“x≠0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案为：A
解析：由“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立.
因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件.
2.“x2﹣4x﹣5＝0”是“x＝5”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案为：B
解析：由x2﹣4x﹣5＝0得x＝5或x＝﹣1，则当x＝5时，x2﹣4x﹣5＝0成立，
但当x2﹣4x﹣5＝0时，x＝5不一定成立.
3.“a
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案为：D
4.已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的________条件.
答案为：充要
解析：因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0，所以充分性成立；
因为ab>0，所以a与b同号，又a＋b>0，所以a>0且b>0，所以必要性成立.
故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件.
5.函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________.
答案为：m＝﹣2
解析：函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，
则﹣＝1，即m＝﹣2；反之，若m＝﹣2，则y＝x2﹣2x＋1的图象关于直线x＝1对称.
1.知识清单：
(1)充要条件概念的理解.
(2)充要条件的证明.
(3)充要条件的应用.
2.方法归纳：等价转化.
3.常见误区：条件和结论辨别不清.
1.“1
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案为：A
解析：设A＝{x|1
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分又不必要条件
答案为：A
解析：若x＝1，则x2﹣2x＋1＝0；若x2﹣2x＋1＝0，即(x﹣1)2＝0，则x＝1.故为充要条件.
3.设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案为：B
解析：由2﹣x≥0，得x≤2，由|x﹣1|≤1，得0≤x≤2.当x≤2时不一定有0≤x≤2，
而当0≤x≤2时一定有x≤2，∴“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的必要不充分条件.
4.已知a，b是实数，则“a<0，且b<0”是“ab(a﹣b)>0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
答案为：D
解析：已知a，b是实数，则若a<0，且b<0，则不一定有ab(a﹣b)>0，比如当a
5.使“x∈”成立的一个充分不必要条件是( )
A.x≥0 B.x<0或x>2 C.x∈{﹣1,3,5} D.x≤﹣或x≥3
答案为：C
解析：选项中只有x∈{﹣1,3,5}是使“x∈”成立的一个充分不必要条件.
6.已知△ABC，△A1B1C1，两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
答案为：必要不充分
解析：由两三角形对应角相等⇏△ABC≌△A1B1C1；
反之由△ABC≌△A1B1C1⇒∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1.
7.对于集合A，B及元素x，若A⊆B，则x∈B是x∈A∪B的________条件.
答案为：充要
解析：由x∈B，显然可得x∈A∪B；反之，由A⊆B，则A∪B＝B，
所以由x∈A∪B可得x∈B，故x∈B是x∈A∪B的充要条件.
8.设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的________条件.
答案为：既不充分又不必要
解析：若a＋b>0，取a＝3，b＝﹣2，则ab>0不成立；
反之，若ab>0，取a＝﹣2，b＝﹣3，则a＋b>0也不成立，
因此“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分又不必要条件.
9.求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
证明 必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
所以Δ＝b2﹣4ac>0，x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)，所以ac<0.
充分性：由ac<0，可推得b2﹣4ac>0，及x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根).所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根.
综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
10.设命题p：≤x≤1；命题q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
解 设A＝，B＝{x|a≤x≤a＋1}，
由p是q的充分不必要条件，可知AB，
∴或解得0≤a≤，
故所求实数a的取值范围是0≤a≤.
11.“函数y＝x2﹣2ax＋a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案为：A
解析：函数y＝x2﹣2ax＋a的图象在x轴的上方，则Δ＝4a2﹣4a<0，解得0
12.设x∈R，则“<”是“x2<1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案为：A
解析：由<，得0
13.已知“p：x>m＋3或x
解析：因为p是q成立的必要不充分条件，所以m＋3≤﹣4或m≥1，故m≤﹣7或m≥1.
14.已知α：x≥a，β：|x﹣1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________.
答案为：{a|a≤0}
解析：α：x≥a，可`看作集合A＝{x|x≥a}.
∵β：|x﹣1|<1，∴0
15.设m∈N*，一元二次方程x2﹣4x＋m＝0有整数根的充要条件是m＝________.
答案为：3或4
解析：x＝＝2±，
因为x是整数，即2±为整数，所以为整数，且m≤4，
又m∈N*，取m＝1,2,3,4.验证可得m＝3,4符合题意，
所以m＝3,4时可以推出一元二次方程x2﹣4x＋m＝0有整数根.
16.已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a﹣b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为﹣1”的什么条件？并说明理由.
解 “a﹣b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为﹣1”的充要条件.
理由如下：
当a，b，c∈R，a≠0时，
若“a﹣b＋c＝0”，则﹣1满足二次方程ax2＋bx＋c＝0，即“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为﹣1”，
故“a﹣b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为﹣1”的充分条件，
若“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为﹣1”，则“a﹣b＋c＝0”，
故“a﹣b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为﹣1”的必要条件，
综上所述，“a﹣b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为﹣1”的充要条件.
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