2025-2026学年吉林省松原市宁江区油田十二中九年级（上）第一次月考数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年吉林省松原市宁江区油田十二中九年级（上）第一次月考数学试卷-自定义类型，共8页。试卷主要包含了选择题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A. x2-2x-3B. x2=2x+3C. x2=2y-3D. x2=-3
2.下列二次函数中，图象的形状与二次函数y=x2-2相同的是（ ）
A. y=2x2-2B. y=2x2C. y=-2x2+1D. y=x2
3.已知关于x的一元二次方程mx2-4x-2=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A. m≥-2B. m＞-2C. m≥-2且m≠0D. m＞-2且m≠0
4.关于二次函数y=-（x+2）2+4，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向上B. 当x＜-2时，y随x的增大而增大
C. 有最小值4D. 顶点坐标是（2，4）
5.一个小组有若干人，新年互相发送1条祝福信息，已知全组共发送306条信息，则这个小组有多少人？设这个小组有x人，根据题意可列方程（ ）
A. x（x+1）=306B. C. x（x-1）=306D.
6.若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
7.写出一个顶点在原点且开口向下的抛物线的解析式： .
8.关于x的方程是一元二次方程，则m=______．
9.若点A（-3，y1）、B（0，y2）是二次函数y=2（x-1）2-1图象上的两点，那么y1 y2.（填＞、=或＜）
10.已知一元二次方程x2-9x+18=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为______．
11.若a是方程x2-2x=1的解，则代数式a2-2a+2024的值为 .
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
12.解方程：（2x+1）2=2（2x+1）
四、解答题：本题共10小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
解方程：x2-8x+7=0
14.(本小题6分)
某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，每个支干长出多少小分支？
15.(本小题7分)
已知二次函数y=x2-4x+3.
（1）求函数图象与坐标轴的交点坐标.
（2）将该抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，直接写出所得抛物线的解析式为______.
16.(本小题7分)
刘师傅开了一家商店，今年2月份盈利2500元．4月份的盈利达到3600元，且从2月到4月，每个月盈利的增长率相同．
（1）求每个月盈利的增长率；
（2）按照这个增长率，请你估计这家商店5月份的盈利将达到多少元？
17.(本小题7分)
如图，已知二次函数图象的顶点为（1，-4），且过（-1，0）.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）观察图象，当-3＜y≤0时，x的取值范围为______（直接写出答案）.
18.(本小题8分)
阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为x1，x2，则，.
材料2：已知一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m,n,求m2n+mn2的值.
解：∵一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m,n,
∴m+n=1，mn=-1，
则m2n+mn2=mn（m+n）=-1×1=-1.
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=______，x1x2=______；
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2-3x-1=0的两根分别为m、n,求的值.
19.(本小题8分)
已知关于x的方程x2-（3k+1）x+2k2+2k=0．
（1）求证：无论k取何值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的底边长3，另两边长恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长．
20.(本小题10分)
如图，抛物线y＝x2-2x-3与x轴交于点A（-1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点，连接AD，BD．
（1）直接写出点C、D的坐标；
（2）求△ABD的面积；
（3）点P是抛物线上的一动点，若△ABP的面积是△ABD面积的，求点P的坐标．
21.(本小题10分)
商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
（2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加____件，每件商品，盈利____元（用含x的代数式表示）；
（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
22.(本小题12分)
如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（-1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
（2）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；
（3）当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值；
（4）当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】y=-x2（答案不唯一）
8.【答案】-3
9.【答案】＞
10.【答案】15
11.【答案】2025
12.【答案】解：原方程可化为：（2x+1）2-2（2x+1）=0，
（2x+1）（2x+1-2）=0，
（2x+1）（2x-1）=0，
解得：x1=-，x2=．
13.【答案】解：
分解因式可得（x-1）（x-7）=0，
∴x-1=0或x-7=0，
∴x=1或x=7．
14.【答案】解：设每个支干长出x个小分支，根据题意，得
1+x+x2=111．
解得x1=10，x2=-11（负值舍去）．
答：每个支干长出10个小分支．
15.【答案】（3，0），（1，0），（0，3）；
y=x2-2
16.【答案】解：（1）设每个月盈利的增长率为x,
依题意得：2500（1+x）2=3600，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．
答：每个月盈利的增长率为20%．
（2）3600×（1+20%）
=3600×1.2
=4320（元）．
答：按照这个增长率，估计这家商店5月份的盈利将达到4320元．
17.【答案】y=（x-1）2-4；
-1≤x＜0或2＜x≤3．
18.【答案】，；
．
19.【答案】（1）证明：∵Δ=b2-4ac=[-（3k+1）]2-4•（2k2+2k）=k2-2k+1=（k-1）2≥0，
∴无论k取何值，方程总有实数根；
（2）解：∵等腰三角形的底边长3，
∴另两边长即为等腰三角形的腰长，
∵另两边长恰好是这个方程的两根，
∴该方程由两个相等的实数根，
∴Δ=b2-4ac=[-（3k+1）]2-4•（2k2+2k）=k2-2k+1=（k-1）2=0，
解得k=1，
将k=1代入方程，得x2-4x+4=0，
解得：x1=x2=2．
此时△ABC三边为3，2，2；
所以周长为3+2+2=7．
20.【答案】解：（1）当x=0，则y=-3，
故C点坐标为（0，-3），
∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
故D点坐标为（1，-4）；
（2）∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∵D（-1,4），
∴S△ABD=×4×4=8；
（3）∵△ABP的面积是△ABD面积的，
∴S△ABP=4，
∵AB=4，
∴P点纵坐标为2或-2，
当P点纵坐标为2，则2=x2-2x-3，
解得x1=1+，x2=1-，
此时P点坐标为（1+，2）或（1-，2），
当P点纵坐标为-2，则-2=x2-2x-3，
解得x1=1+，x2=1-，
此时P点坐标为（1+，-2）或（1-，-2），
综上所述，点P的坐标为（1+，2）、（1-，2）、（1+，-2）、（1-，-2）．
21.【答案】解：（1）当天盈利：（50-3）×（30+2×3）=1692（元）．
答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元；
（2）2x；（50-x）；
（3）根据题意，得：（50-x）×（30+2x）=2000，
整理，得：x2-35x+250=0，
解得：x1=10，x2=25，
∵商城要尽快减少库存，
∴x=25.
答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元.
22.【答案】解：
（1）∵抛物线过A、C两点，
∴代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3，
令y=0可得，-x2+2x+3=0，解x1=-1，x2=3，
∵B点在A点右侧，
∴B点坐标为（3，0），
设直线BC解析式为y=kx+s，
把B、C坐标代入可得，解得，
∴直线BC解析式为y=-x+3；
（2）∵PM⊥x轴，点P的横坐标为m，
∴M（m，-m2+2m+3），N（m，-m+3），
∵P在线段OB上运动，
∴M点在N点上方，
∴MN=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m=-（m-）2+，
∴当m=时，MN有最大值，MN的最大值为；
（3）∵PM⊥x轴，
∴当△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，则有CM⊥MN，
∴M点纵坐标为3，
∴-m2+2m+3=3，解得m=0或m=2，
当m=0时，则M、C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
∴m=2；
（4）∵PM⊥x轴，
∴MN∥OC，
当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，则有OC=MN，
当点P在线段OB上时，则有MN=-m2+3m，
∴-m2+3m=3，此方程无实数根，
当点P不在线段OB上时，则有MN=-m+3-（-m2+2m+3）=m2-3m，
∴m2-3m=3，解得m=或m=，
综上可知当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，m的值为或．