2025-2026学年吉林省长春七十二中小班九年级（上）第一次月考数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年吉林省长春七十二中小班九年级（上）第一次月考数学试卷-自定义类型，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x＞1B. x＞-1C. x≥1D. x≠1
2.方程x（x-2）=0的解是（ ）
A. x=2B. x=0C. x1=0，x2=1D. x1=0，x2=2
3.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cs∠ADC的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
4.如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC上的点，连接DE，若△EDC∽△ABC，且AE=4，CE=5，则的值是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，则AO：AD的值为（ ）
A. 4：7
B. 4：3
C. 6：4
D. 9：5
6.如图，某小区有一块长为18米、宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地（图中阴影部分），它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行通道的宽度为x米，则下列所列方程正确的是（ ）
A. （18-2x）（6-2x）=60B. （18-3x）（6-x）=60
C. （18-2x）（6-x）=60D. （18-3x）（6-2x）=60
7.如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC⊥BC，AC=4，∠ADC=30°，则BC的长为（ ）
A. 4
B. 8
C. 4
D. 4
8.如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，AE、BD相交于点F，若△ABF的面积为6，则四边形CDFE的面积是（ ）
A. 9B. 12C. 15D. 18
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.计算：= .
10.将抛物线y=-x2先向右平移4个单位然后再向上平移3个单位，则平移后的抛物线所对应的函数表达式为______．
11.若关于x的一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 .
12.如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F.若，DE=6，则DF的长为 .
13.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=120°，则∠BOD度数为 .
14.如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，点D是弧AC上一动点（不与A，C重合），下列结论：①∠ADB=∠BDC；②DA=DC；③当DB最长时，DB=2DC；④DA+DC=DB，其中一定正确的结论有 .（填写结论序号）​
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
15.解方程：x2-3x-2=0．
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
在一个不透明的口袋中装有三个分别标注1、3、4的小球，小球除数字外，其余都相同.将口袋中的小球搅匀后随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀，再随机摸出一个小球并记下数字.请用画树状图或列表的方法，求两次摸到的数字之和是奇数的概率.
17.(本小题8分)
长泰大桥是长春市最高的双塔斜拉式高架桥，大桥属于双塔双索面混凝土特大斜拉桥桥型，图①是大桥的实物图，图②是大桥的示意图．假设你站在桥上点A处测得拉索AB与水平桥面的夹角是39°，点A处距离大桥立柱CD底端D的距离AD为97米，已知大桥立柱上B点距立柱顶端C点的距离BC为5米，求大桥立柱CD的高．（结果精确到1米）
[参考数据：sin39°≈0.63，cs39°≈0.78，tan39°≈0.81]
18.(本小题8分)
如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，A、B、C均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中作图（保留作图痕迹）.
（1）将AC绕着点C顺时针旋转90°，在图①中作出旋转后的对应线段CD.
（2）在图②中作线段AE，使点E在边BC上，且.
（3）在图③中作△ABC的角平分线BF.
​
19.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE.
（1）直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；
（2）若CA=2，CD=4，求半径的长.
20.(本小题8分)
为了解七八年级学生的竞赛水平，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析，将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A：x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100.其中，七年级学生的竞赛成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96.
八年级等级C的学生成绩为：87，81，86，83，88，82，89.
两组数据的平均数、中位数、众数、方差表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a= ______，b= ______，m= ______；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由；（一条理由即可）
（3）若七、八年级共有2000名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？
21.(本小题8分)
如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽AB为8m，拱高为4m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，按如图②所建立平面直角坐标系.
（1）求该抛物线对应的函数关系式；
（2）通过计算说明该货车能安全通过的最大高度.
22.(本小题8分)
【问题呈现】
小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是边AC的中点，连结BD，点E是边BC上一点，CE：BE=1：2，连结AE交BD于点M，求的值.
【问题分析】
小明发现：如图②，过点A作BC的平行线，交BD的延长线于点N，通过证明△AMN∽△EMB，根据相似三角形的性质进而解决上述几何问题.
【问题解决】
（1）下面是小明解决这个问题的部分过程，
解：过点A作BC的平行线，交BD的延长线于点N.
∵点D是边AC的中点，
∴AD=CD，
∵AN∥BC，
∴∠N=∠CBD，
又∵∠ADN=∠CDB，
∴△AND≌△CBD，
请你补全余下的解题过程.
【深入研究】
（2）如图③，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AC上一点，连结BD，点E是BC延长线上一点，连结AE交BD的延长线于点M，其中AD：CD=1：2，CE：BC=1：3.
（i）的值为______；
（ii）当AC=BC，CE=1时，BM= ______.
23.(本小题8分)
已知△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点D为BC中点，连结AD．一动点P从点A出发，沿折线AB一BC向终点C运动，在AB边上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC边上以每秒2个单位长度的速度运动．连结PD，以PA、PD为邻边构造平行四边形APDQ．设运动时间为t（t＞0）．
（1）tan∠B=______．
（2）用含t的代数式表示线段BP．
（3）当平行四边形APDQ与△ABC重叠部分图形是轴对称图形时，求t的值．
（4）当0＜t＜3时，平行四边形APDQ被三角形ABC的边分成两部分的图形面积比为1：7时，直接写出t的值．
24.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c（b、c为常数）经过点A（0，-2），且对称轴为直线x=1，点M在此抛物线上，点M的横坐标为m,点M不与A重合，抛物线上点M与点A之间的部分（包括端点）记为图象G.
（1）求此抛物线所对应的函数表达式；
（2）当图象G的最大值与最小值差为1时，直接写出m的取值范围；
（3）图象G与直线y=-2m+1有且只有一个交点时，求m的取值范围；
（4）连结AM，以AM为对角线构造矩形ABMC，AC∥BM∥x轴，CM∥y轴，矩形ABMC的边与抛物线的交点为点D（异于点A、M），点D关于CM的对称点是点E，当3DE=CM时，直接写出m的值.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】
10.【答案】y=-（x-4）2+3
11.【答案】
12.【答案】15
13.【答案】120°
14.【答案】①②④
15.【答案】解：∵a=1，b=-3，c=-2；
∴b2-4ac=（-3）2-4×1×（-2）=9+8=17>0；
∴x==，
∴x1=，x2=．
16.【答案】．
17.【答案】解：在Rt△ABD中，∠BAD=39°，AD=97米，
∴BD=AD•tan97°≈97×0.81≈78.57（米），
∵BC=5米，
∴CD=BC+BD=5+78.57≈84（米），
∴大桥立柱CD的高约为84米．
18.【答案】解：（1）如图①，
作法：取格点D，连接CD，
线段CD就是所求的线段．
证明：取格点E，格点F，连接AE、CF，则∠CFD=∠AEC=90°，
在△CDF和△ACE中，
，
∴△CDF≌△ACE（SAS），
∴CD=AC，∠DCF=∠CAE，
∴∠DCF+∠ACE=∠CAE+∠ACE=90°，
∴∠ACD=180°-（∠DCF+∠ACE）=90°，
∴线段CD就是所求的线段．
（2）如图②，
作法：1．取格点G、格点H，连接GH交BC于点E，
2．连接AE，
线段AE就是所求的线段．
证明：由作图可知，点E在边BC上，
连接BG、CH，
∵∠GBE=∠HCE=90°，∠BEG=∠CEH，
∴△BEG∽△CEH，
∴==，
∴==，
∴BE=BC，
∴S△ABE=S△ABC，
∴线段AE就是所求的线段．
（3）如图③，
作法：取格点L，连接BL交AC于点F，
线段BF就是所求的△ABC的角平分线．
证明：连接CD、AD、AL、DL，则DB=5，
由勾股定理得AL=DL==，AB==5，
∴AB=DB，
∴点B、点L都在线段AD的垂直平分线上，
∴BL垂直平分AD，
∵AB=DB，BL⊥AD，
∴BL平分∠ABD，
∴BF平分∠ABC，
∴线段BF就是所求的△ABC的角平分线．
19.【答案】解：（1）直线BE与⊙O相切，理由如下：
如图，连接OD，

∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODE=90°，
∵OE∥AD，
∴∠ODA=∠DOE，∠OAD=∠BOE，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠DOE=∠BOE，
在△DOE和△BOE中，
，
∴△DOE≌△BOE（SAS），
∴∠ODE=∠OBE=90°，
又∵AB为⊙O的直径，
∴直线BE与⊙O相切；
（2）设OA=OD=r,则OC=r+2，
在Rt△ODC中，由勾股定理得CD2+OD2=OC2，
∴42+r2=（r+2）2，
解得r=3，
即半径的长为3．
20.【答案】（1）87.5，88，35；
（2）八年级的成绩更好，理由如下：
七、八年级的平均数相同，但八年级成绩的中位数和众数都比七年级的大，所以八年级的更好；
（3）2000×=700（人），
答：估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生大约共有700人．
21.【答案】解：（1）如图②中，A（4，0），C（0，4），
设抛物线解析式为y=ax2+k，
由题意，得，
解得：，
∴抛物线表达式为．
（2）2+=2.2，
当x=2.2时，y=-×2.22+4=2.79，
当y=2.79时，2.79-0.5=2.29 （m）．
答：该货车能够通行的最大高度为2.29 m．
22.【答案】；
（i）；
（ii）．
23.【答案】；
当0＜t＜1时，BP=5-5t；当1＜t≤5时，BP=2t-2；
t的值为或或或；
t的值为或．
24.【答案】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c（b、c为常数）经过点A（0，-2），且对称轴为直线x=1，
∴，解得：，
∴y=x2-2x-2；
（2）∵y=x2-2x-2=（x-1）2-3，
∴当x=1时，y取得最小值：-3；当x＜1时，y随值的增大而减小，当x＜1时，y随x值的增大而减小；
①m＜0时，
当x=m时，函数有最大值m2-2m-2，当x=0时，函数有最小值：-2，
m2-2m-2-（-2）=1，解得m1=1-，m2=1+（舍去）；
②0＜m≤1时，
x=m时，函数有最小值m2-2m-2，x=0时，函数有最大值-2，
（-2）-m2+2m+2=1，解得m=1；
m＞1时，
x=1时，函数有最小值-3，由题意，得：函数的最大值-3+1=-2，
A（0，-2），
∴A关于对称轴的对称点为（2，-2）；
1＜m≤2时，满足图G的最大值与最小值差为1；
综上所述1≤m≤2m=1-；
（3）图G与直y=-2m+1有且只有一个交点，
m＜0时：

则-2≤-2m+1≤m2-2m-2，解得m≤-；
m≤-；
0＜m＜2时，

则m2-2m-2＜-2m+1≤-2，解得≤m＜，
≤m＜；
③m≥2时，

-2m≤-4-2m+1≤-3，
∴直线与图G没有交点，不符合题意；
综上所述m≤-≤m＜；
（4）①m＞0且M在A上方时，如图所示，

A（0，-2），M（m,m2-2m-2AC∥BM∥x轴CM∥y轴，矩ABMC的边与抛物线的交点为D，
C（m,-2），D（2，-2），
CD=m-2，CM=m2-2m-2+2=m2-2m
D，E关CM对称，
∴DE=2CD=2m-4，
3DE=CM，即3（2m-4）=m2-2m,
解得m=6m=2（不合题意，舍去）；
②m＞0且M在A下方时，如图所示，

A（0，-2），M（m,m2-2m-2）AC∥BM∥x轴CM∥y轴，
C（m,-2），
由图可知D，M关于抛物线的对称轴对称，
D（2-m,m2-2m-2），
MD=m-（2-m）=2m-2，CM=2-m2+2m+2=-m2+2m
D，E关CM对称，
DE=2MD=4m-4，
3DE=CM，即3（4m-4）=-m2+2m,
解得m=-5+（不合题意，舍去）；
③m＜0时，M在A上方，如图所示，

矩形的边与抛物线没有A，M之外的交点，不符合题意；
综上所述：符合条件M的值为6． 学生
平均数
中位数
众数
方差
七年级
85.2
86
b
59.66
八年级
85.2
a
91
91.76