（人教A版）选择性必修二高二数学上册 第四章：数列重点题型复习（2份，原卷版+解析版）

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第四章：数列重点题型复习题型一 等差数列的基本量计算【例1】记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝5，a6＝10，则a8＝（ ）A．15 B．16 C．19 D．20【答案】B【解析】设等差数列的公差为，所以，解得，∴.故选：B.【变式1-1】已知等差数列的各项均为正数，其前n项和为，且满足，则（  ）A．28 B．30 C．32 D．35【答案】D【解析】设公差为且，由，得，故，故选：D【变式1-2】已知等差数列的公差，且，则的前15项和__.【答案】15【解析】由已知，在等差数列中，，所以，所以，因为，所以，由等差数列的性质可知，，所以，所以.故答案为：15.【变式1-3】已知等差数列的前n项和为，若，且，则（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】方法一：∵∴∴∴，方法二：由于是二次函数，当时的函数值，根据二次函数的对称性，由可知，的关于对称，因此，故选:B题型二 等差数列前n项和性质【例2】已知等差数列的前项和为若则的值为（ ）A．18 B．17 C．16 D．15【答案】D【解析】因为，故，又，故，所以.故选：D.【变式2-1】已知数列是等差数列，，是方程的两根，则数列的前20项和为（ ）A． B． C．15 D．30【答案】D【解析】，是方程的两根，所以，又是等差数列，所以其前20项和为．故选：D【变式2-2】已知等差数列{an}的前n项和为S n，若S10＝10，S20＝60，则S40等于（ ）A．110 B．150 C．210 D．280【答案】D【解析】因为等差数列{an}的前n项和为Sn，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列．故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，所以S30＝150，又因为(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，所以S40＝280.故选：D.【变式2-3】在等差数列中，，其前项和为.若，则（ ）A．-2019 B．2019 C．-2018 D．2018【答案】B【解析】因为等差数列中成等差数列，设公差为，而，所以故选：B【变式2-4】若等差数列和的前n项的和分别是和，且，则（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为等差数列和的前n项的和分别是和，且，所以.故选：B.【变式2-5】等差数列共项，其中奇数项和为319，偶数项和为290，则_______.【答案】29【解析】因为等差数列共项，其中奇数项和为319，偶数项和为290，记奇数项之和为，偶数项之和为，则.故答案为：.题型三 等比数列的基本量计算【例3】设正项等比数列的前项和为，若，则（ ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】设正项等比数列的公比为q（q>0），则由得，即，即，即，解得（舍去）.由得，即，将代入得，解得，则，故选：A.【变式3-1】等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知,，则的值是（ ）A．28 B．32 C．35 D．41【答案】B【解析】设等比数列的公比为，易知，∵S3，S6，∴，解得.则a827＝32，故选：B.【变式3-2】设等比数列 的前项和为，且，则（ ）A．28 B．42 C．49 D．56【答案】D【解析】设等比数列的公比为，则，所以．故选：D【变式3-3】等比数列的各项均为正数，其前n项和为，已知，，则（ ）A． B．32 C．64 D．【答案】B【解析】设等比数列{an}的公比为q，由题意知， 因为S3=，S6=，所以，解得，所以.故选：B题型四 等比数列的前n项和性质【例4】已知等比数列的前n项和为，若，，则（ ）A．250 B．210 C．160 D．90【答案】B【解析】设，等比数列的前项和为为等比数列，为等比数列，解得．故选：B．【变式4-1】已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则（ ）.A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B【解析】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的4倍，∴，设等比数列的公比为，由等比数列的性质可得，即，∴，∵,∴解得，又前3项之积，解得，∴.故选:B.【变式4-2】已知等比数列的前n项和，则（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为数列的前n项和，所以，，，又数列为等比数列，所以数列的公比，所以，所以，，所以，故，故选：B.【变式4-3】公比为的等比数列，其前项和为，前项积为，满足，.则下列结论正确的是（ ）A．的最大值为 B．C．的最大值为 D．【答案】A【解析】根据题意，等比数列满足条件，，，若，则， 则，，则，这与已知条件矛盾，所以不符合题意，故选项D错误；因为，，，所以 ，，，则，，数列前2021项都大于1，从第2022项开始都小于1，因此是数列中的最大值，故选项A正确．由等比数列的性质，，故选项B不正确；而，由以上分析可知其无最大值，故C错误；故选：A题型五 等差、等比数列的证明【例5】设数列的前项和为，，. 求证：数列是等差数列.【答案】证明见解析.【解析】，，则，所以，有，所以数列是以为首项，为公差的等差数列.【变式5-1】已知数列满足，．求证：是等差数列；【答案】证明见解析.【解析】证明：因为，且，∴是首项、公差均为的等差数列.【变式5-2】若数列满足：，，对于任意的，都有.（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）由，得，且，所以数列为等比数列，首项为，公比为（2）由（1）得，等式左右两边同时除以可得：，即，且，所以数列为等差数列，首项为，公差为，所以，所以.【变式5-3】已知数列满足，（1）求的值；（2）记，证明：数列为等比数列．【答案】（1），，；（2）详见解析【解析】（1）由递推关系可知，，，.（2） ， ，所以 ，又，即数列是以为首项，为公比的等比数列.题型六 由递推关系求数列通项【例6】已知数列前项和为，且，则求数列的通项公式；.【答案】，.【解析】当时，，当且时，，而，即也满足，∴，.故答案为：，.【变式6-1】数列中，，则__________.【答案】【解析】因为，所以，则当时， ，将个式子相加可得，因为，则，当时，符合题意，所以.所以故答案为：.【变式6-2】已知在数列中，，求数列的通项公式【答案】【解析】，即，【变式6-3】已知数列中，，，求数列的通项公式【答案】【解析】∵，∴，∴数列是等差数列，公差为，又，∴，∴．故答案为：．【变式6-4】已知数列的首项，且满足（），数列的通项公式【答案】【解析】由得，因为，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以【变式6-5】已知数列满足，首项，求其通项公式.【答案】【解析】特征方程为，得，则，故是函数的两个不动点.则，①.②则①÷②得，所以由迭代法得，则.题型七 常见数列求和问题【例7】设递增等比数列的前项和为，已知，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）令，求.【答案】(1) (2) 4480【解析】（1）由题意得：，设等比数列的公比为，则，解得：，或是递增数列，，；所以（2）由（1）知：，，当时，；当时，；【变式7-1】已知等差数列的前n项和为，其中r为常数.（1）求r的值；（2）设，求数列的前n 项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先求前三项，，，，由为等差数列，所以，所以，即；（2）由（1）知，，也满足，所以，所以，所以，所以.【变式7-2】已知等差数列满足，正项等比数列满足首项为1，前3项和为7.（1）求与的通项公式；（2）求的前n项和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为d，由，可得，解得，则；设正项等比数列的公比为q，q>0，由首项为1，前3项和为7，可得，解得q=2，则；（2）由（1）可得，所以，则，两式相减可得=，所以.【变式7-3】已知数列的前项和为，且，在等差数列中， （1）求数列和的通项公式；（2）定义；.记，求数列的前项和.【答案】（1）；；（2）.【解析】（1）对于数列，当时，得，当时，由，得，两式相减得也满足上式，所以数列的通项公式为.设等差数列的公差为，，，所以，所以数列的通项公式为. （2）由题意知﹐，即当时，，当时，，，，所以.题型八 数列的单调性及应用【例8】已知数列的通项公式为，则数列为（ ）A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定数列的增减性【答案】B【解析】由题意，数列的通项公式为，可得（且），所以，即数列为递减数列.故选：B.【变式8-1】（多选）下列是递增数列的是（ ）A． B． C． D．【答案】AC【解析】A．令，则，是递增数列，正确；B．令，则，，不合题意，错；C．令，则，符合题意．正确；D．令，则，，不合题意．错．故选：AC．【变式8-2】若，则数列的最大项是第______项．【答案】7【解析】，其对应的二次函数为，对称轴为，但为正整数，所以离最近的整数为7，所以在第7项取最大值．故答案为：7.【变式8-3】在数列中，，则数列中的最大项的________ .【答案】6或【解析】，令，解得，即时，，当时，，所以或最大，所以或.故答案为：6或7.题型九 与周期有关的数列问题【例9】在数列中，，，，，则（ ）A．0 B．1 C． D．【答案】A【解析】由，得，两式相除可得，所以数列是以6为周期的周期数列，又，所以．故选：A．【变式9-1】数列，满足，（），则（ ）A．－2 B．－1 C．2 D．【答案】A【解析】由题意得，，，，所以数列是周期数列，且周期为3，所以，所以，故选：A【变式9-2】已知数列中，，且则_____________．【答案】【解析】由题：，，，，，，，，观察可得数列从第2项开始是以6为周期的数列，故．故答案为：.【变式9-3】在数列中，，，，则_________．【答案】2【解析】由，可得，从而可得：，，，故数列是周期为3的数列，可得：.题型十 数学归纳法及其应用【例10】一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k（k≥2，）时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则（ ）A．该命题对于的自然数n都成立 B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与k取值无关 D．以上答案都不对【答案】B【解析】令P（k）为该与正整数n有关的命题在n=2k，时的情形.则(1)P（1）成立，即归纳奠基成立；(2)P（k）成立能得到P（k+1）成立，即归纳递推成立.根据数学归纳法，该命题对所有正偶数成立.而n为奇数时，则没有任何关于该命题的信息,所以不能作出判断，故选：B.【变式10-1】用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，由于，左边,时，左边，比较两式，从而等式左边应添加的式子是，故选：．【变式10-2】数学归纳法证明：．【答案】详见解析【解析】（ⅰ）当时，左边=，右边=，左边