（人教A版）选择性必修二高二数学上册 第四章 数列 章末测试（2份，原卷版+解析版）

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第四章：数列章末测试一、单选题：1．已知数列的前4项为：1，，，，则数列的通项公式能为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】正负相间用表示，∴．故选：D2．在等差数列中，，，则（ ）A．19 B．18 C．17 D．20【答案】C【解析】设等差数列的公差为，则由题意可得，解得，所以，故选：C.3．等差数列与的前n项和分别为，且，则 （ ）A． B． C． D．2【答案】B【解析】∵数列与均为等差数列，则，∴，即.故选：B.4．已知数列的前项和为，，且，则下列说法中错误的是（ ）A． B． C．是等比数列 D．是等比数列【答案】C【解析】由题意数列的前项和为，，且，则，即，即选项A正确；∵①，∴当 时，②，①-②可得，，即， ，不满足 ，故数列不是等比数列，故C错误，由时，可得，，则，故，故B正确；由得：,则，即，故是首项为，公比为3的等比数列，D正确，故选︰C．5．数列满足，且则的值为（　　）A． B． C．2 D．1【答案】C【解析】由题意，数列满足，且，可得，可得数列是以三项为周期的周期数列，所以.故选：C.6．已知等比数列的前2项和为2，前4项和为8，则它的前6项和为（ ）A．12 B．22 C．26 D．32【答案】C【解析】设等比数列的前n项和为，公比为q,则,则，而，故，所以数列前6项和为，故选：C.7．已知数列满足，，设 ，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意数列满足，可知，是以2为首项，2为公比的等比数列，所以 ，所以,因为数列是递增数列，所以 ，对于任意的恒成立，即,即恒成立 ,因为时,取得最小值3 ，故 ，即实数的取值范围是 ，故选：A,8．已知数列的前n项和为，且，，则数列的前2021项的和为( )A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，(*)，∴，解得．，∴，两式相减，得，数列的奇数项与偶数项均为公差为4的等差数列，当为偶数时，．当为奇数时，为偶数，∴根据上式和(*)知，数列的通项公式是，易知是以2为首项，2为公差的等差数列，故，，设的前n项和为，则．故选：A．二、多项选择题：9．已知数列满足，，则（ ）A．为等比数列 B．的通项公式为C．为递增数列 D．的前n项和【答案】AD【解析】因为，所以，又，所以是以4为首项，2为公比的等比数列，即，所以，所以，所以为递减数列，的前n项和．故选：AD．10．已知数列，为的前项和，其中，，则下列结论正确的是（ ）A．是等差数列 B．是等差数列C． D．【答案】ABD【解析】设n为奇数，则是偶数，是奇数，则，①，②①+②得：，即，所以的奇数项是首项为，公差为2的等差数列，同理的偶数项是首项为，公差为2的等差数列，故A，B正确；所以，故C错误；又，∴，故D正确.故选：ABD.11．设数列的前项和为，若存在实数使得对任意，都有，则称数列为“数列”，则以下结论正确的是（ ）A．若是等差数列，且，公差，则数列是“数列”B．若是等比数列，且公比满足，则数列是“数列”C．若，则数列是“数列”D．若，则数列是“数列”【答案】BC【解析】对于A，若是等差数列，且，公差，则，当无穷大时，也无穷大，所以数列不是“数列”，故A选项错误；对于B，若是等比数列，且公比满足，所以，所以数列是“数列”，故B正确；对于C，若，所以，所以数列是“数列”，故C选项正确；对于D，若，所以，当无穷大时，也无穷大，所以数列不是“数列”，故D选项错误.故选：BC.三、填空题：12．已知数列满足，则数列的最大项为第________项．【答案】4【解析】由题意，，故，令，解得；令，解得；故时，；时，，故数列的最大项为第4项.故答案为：413．已知等比数列的公比为q，且，能使不等式成立最大正整数________．【答案】【解析】由已知，结合知，解得，由于是等比数列，所以是首项为，公比为的等比数列.要使成立则，即，将代入整理得：又，可知，故最大正整数.故答案为：14．如果数列1，6，15，28，45，中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第9个六边形数为______．【答案】153【解析】因为：1，，，，；即这些六边形数是由首项为1，公差为4的等差数列的和组成的；所以：；第9个六边形数为：．故答案为：153．四、解答题：115．设是等差数列，，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）记的前n项和为，求的最小值．【答案】（1）；（2）-30【解析】（1）设的公差为d∵，，成等比数列，即，解得：，故数列的通项公式为（2）∴或时，取得最小值当或时，求得，故的最小值为-3016．已知二次函数，满足．（1）求函数的解析式；（2）设数列的前项和为，若点均在函数的图像上，试写出，并求数列的通项公式；（3）在（2）的条件下，设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）；；；（3）【解析】（1）因为二次函数，满足，所以，解得，所以，（2）点均在函数的图像上，所以，所以，当时，，当时，，即.当时，，当时，满足，所以，，，.（3）结合（2）得，所以，，即数列为等比数列，公比为，首项为.所以，17．在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的λ存在，求实数λ的取值范围；若问题中的λ不存在，请说明理由．设等差数列 的前n项和为 ，数列 的前n项和为 ，_____， ， ，是否存在实数λ，对任意 都有 ？【答案】答案见解析【解析】设等差数列的公差为d，当n=1时， ，得 ，从而 ，当 时， ，得 ，所以数列是首项为 ，公比为的等比数列，所以 ，假设存在实数λ对任意 ，都有 ，则等差数列的前n项和存在最小值，假设n=k时，取最小值．若补充条件是①：，因为 ，从而 ，由 得d=3，所以,由等差数列的前n项和存在最小值，则 ，得 ，又 ，所以k=5，所以 ，故实数λ的取值范围为 ．若补充条件②： ，由 ，即 ，又 ，所以 ，所以 ，由于该数列 是递减数列，所以不存在k，使得取最小值，故实数λ不存在．若补充条件③： ，由 ，得 ，又 ，所以 ，所以 ，由等差数列的前n项和存在最小值，则，得 ，又 ，所以k=5，所以存在k=5，使得取最小值，所以 ，故实数λ的取值范围为 ．18．甲、乙、丙、丁四人合资注册一家公司，每人出资50万元作为启动资金投入生产，到当年年底，资金增长了50%．预计以后每年资金年增长率与第一年相同．四人决定公司从第一年开始，每年年底拿出60万元分红，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底公司分红后的剩余资金为万元．（1）求，，并写出与的关系式；（2）至少经过多少年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元？（年数取整数，参考数据：，）【答案】（1）240，300，（2）至少经过7年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元【解析】（1）由题意得，投入生产的启动资金共有50×4＝200万元，，，．（2）由（1）知，而也满足该式，故.令，所以，因为：，，即．所以至少经过7年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元．19．已知为等差数列，为公比大于0的等比数列，且，，，.（1）求和的通项公式；（2）设求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）设公差为，公比为，由可得，即，因为解得.又，故，解得.故（2）因为，故，设中奇数项和为，偶数项和为，则.，则，则，则，即，解得，故.