人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.1 导数的概念及其意义导学案及答案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.1 导数的概念及其意义导学案及答案，共11页。学案主要包含了导数的定义，导数的几何意义，解答题等内容，欢迎下载使用。




一、导数的定义


设函数y=f（x)在点x0的某个领域内有定义，当自变量x 在x0处取得增量 （点 仍在该邻域内）时，相应的函数y取的增量；如果与 之比当 时的极限存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数，记为：==


其他形式：= ， =


二、导数的几何意义


(1)切线的定义





如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．


(2)导数的几何意义


导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝．





技巧1 导数的几何意义


例1 若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )





[思路分析] (1)导数的几何意义是什么？(2)y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，说明y＝f(x)图象的切线有什么特点？


[解析] 因为函数y＝f(x)的导函数y＝f ′(x)在[a，b]上是增函数，由导数的几何意义可知，在区间[a，b]上各点处的切线斜率是逐渐增大的，只有A选项符合．


『规律方法』


1、f ′(x0)即为过曲线y＝f(x)上点P(x0，f(x0))切线的斜率．


2、若曲线y＝f(x)在(a，b)上任一点处的导数值都大于零，可以判断曲线y＝f(x)在(a，b)上图象呈上升趋势，则函数y＝f(x)在(a，b)上单调递增．而若y＝f(x)在(a，b)上任一点处的导数都小于零，则函数y＝f(x)的图象在(a，b)上呈下降趋势，y＝f(x)在(a，b)单调递减．当函数y＝f(x)在(a，b)上的导数值都等于零时，函数y＝f(x)的图象应为垂直于y轴的直线的一部分．


例2、已知y＝f(x)的图象如图所示，则f ′(xA)与f ′(xB)的大小关系是( )


A．f ′(xA)>f ′(xB) B．f ′(xA)＝f ′(xB)


C．f ′(xA)

[解析] 由y＝f(x)的图象可知，在A，B点处的切线斜率kA>kB，根据导数的几何意义有：f ′(xA)>f ′(xB)．


技巧2 求切线方程


例3、已知曲线C：f(x)＝x3.


(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程；


(2)求过点(1,1)与曲线C相切的直线方程．


[解析] (1)∵f ′(x)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))[(Δx)2＋3x2＋3x·Δx]＝3x2，


∴f ′(1)＝3×12＝3，又f(1)＝13＝1，


∴切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.


(2)设切点为P(x0，xeq \\al(3,0))，由(1)知切线斜率为k＝f ′(x0)＝3xeq \\al(2,0)，


故切线方程为y－xeq \\al(3,0)＝3xeq \\al(2,0)(x－x0)．


又点(1,1)在切线上，将其代入切线方程得1－xeq \\al(3,0)＝3xeq \\al(2,0)(1－x0)，


即2xeq \\al(3,0)－3xeq \\al(2,0)＋1＝0，∴(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1或x0＝－eq \f(1,2).


故所求的切线方程为：y－1＝3(x－1)或y＋eq \f(1,8)＝eq \f(3,4)(x＋eq \f(1,2))，


即3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0.


『规律方法』 1.求曲线在点P(x0，y0)处切线的步骤：


(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f ′(x0)；


(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f ′(x0)(x－x0)．


2．过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤：


(1)设切点为Q(x0，y0)；


(2)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f ′(x0)；


(3)利用Q在曲线上和f ′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f ′(x0)；


(4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f ′(x0)(x－x0)．


3．要正确区分曲线y＝f(x)在点P处的切线，与过点P的曲线y＝f(x)的切线．


4．f ′(x0)>0时，切线的倾斜角为锐角；f ′(x0)<0时，切线的倾斜角为钝角；f ′(x0)＝0时，切线与x轴平行．f(x)在x0处的导数不存在，则切线垂直于x轴或不存在．








一、单选题


1．已知函数在处的导数为11，则（ ）


A．11B．-11C．D．


【答案】B


【解析】


【分析】


直接化简得解.


【详解】


由题得.


故选：B


【点睛】


本题主要考查函数导数公式的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.


2．函数在处导数的几何意义是（ ）


A．在点处的斜率 B．在点处的切线与x轴所夹的锐角正切值


C．点 与点连线的斜率 D．曲线在点 处的切线的斜率


【答案】D


【解析】


【分析】


利用导数的几何意义即可得出.


【详解】


解：的几何意义是在切点处的切线斜率.故选：D.


【点睛】


考查导数的几何意义，属于基础题.


3．函数f(x)＝excsx的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( )


A． B．0 C． D．1


【答案】A


【解析】


【分析】


求函数导数，代入x=0得到切线斜率，进而得倾斜角.


【详解】


由f′(x)＝ex(csx－sinx)，


则在点(0，f(0))处的切线的斜率k＝f′(0)＝1，故倾斜角为，选A.


【点睛】


本题主要考查导数的几何意义，属于基础题.


二、填空题


4．曲线在点处的切线方程为__________．


【答案】


【解析】


【分析】


先对函数求导，求出在点的切线斜率，再由点斜式，即可得出切线方程.


【详解】


因为，所以，所以.


又因为，所以切线方程为，即.


故答案为


【点睛】


本题主要考查求曲线在某点处的切线方程，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.


5．曲线在点处的切线方程为__________．


【答案】.


【解析】


【分析】


求出导数，得切线斜率，从而得切线方程．


【详解】


，所以,故切线方程为.即.


故答案为：．


【点睛】


本题考查导数的几何意义，解题关键是求出导数得出切线斜率．


三、解答题


6．已知定义在上的连续函数的图像在点处的切线方程为，


求.


【答案】A


【解析】


【分析】


根据题意，可直接求出，，进而可得出结果.


【详解】


因为函数在点处的切线方程为，


所以，，因此.


【点睛】


本题主要考查导数的几何意义，熟记导数的几何意义即可，属于基础题型.





1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】函数的图像在点处的切线方程为


A． B． C． D．


【答案】B


【解析】，，，，


因此，所求切线的方程为，即.


故选：B．


【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题.


2．【2020年高考全国III卷理数】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为


A．y=2x+1 B．y=2x+C．y=x+1D．y=x+


【答案】D


【解析】设直线在曲线上的切点为，则，


函数的导数为，则直线的斜率，


设直线的方程为，即，


由于直线与圆相切，则，


两边平方并整理得，解得，（舍），


则直线的方程为，即.


故选：D．


【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.


3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则


A． B．a=e，b=1 C． D．，


【答案】D


【解析】∵


∴切线的斜率，，


将代入，得.


故选D．


【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a，b的等式，从而求解，属于常考题型.


4．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为


A． B． C． D．


【答案】D


【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以a-1=0，解得a=1，所以f(x)=x3+x，f'(x)=3x2+1，


所以f'(0)=1,f(0)=0，


所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y-f(0)=f'(0)x，化简可得y=x.


故选D.


【名师点睛】该题考查的是有关曲线y=f(x)在某个点(x0,f(x0))处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得f'(x)，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.


5.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线在点处的切线方程为____________．


【答案】


【解析】


所以切线的斜率，


则曲线在点处的切线方程为，即．


【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．


6.【2018年高考全国Ⅱ卷理数】曲线在点处的切线方程为__________．


【答案】y=2x


【解析】∵y'=2x+1，∴在点（0,0）处切线的斜率为k=20+1=2，


则所求的切线方程为y=2x.


【名师点睛】求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知的曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.


7．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】曲线在点处的切线的斜率为，则________．


【答案】-3


【解析】，则，所以a=-3.


【名师点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题.


今天错在哪里啦？


____________________________________________________________________________________________


____________________________________________________________________________________________


____________________________________________________________________________________________


____________________________________________________________________________________________


____________________________________________________________________________________________


____________________________________________________________________________________________


____________________________________________________________________________________________


____________________________________________________________________________________________


____________________________________________________________________________________________


____________________________________________________________________________________________