北师大版（2024）八年级上册数学第3章《位置与坐标》评估测试卷（含答案解析）

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北师大版（2024）八年级上册数学第3章《位置与坐标》评估测试卷 (满分:120分　时间:120分钟) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．下列说法中，能确定物体位置的是（   ） A．距离昆明市30千米 B．曲靖市西南方向 C．东经，北纬 D．云南省东南部地区 3．在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则的值可能是（   ） A．0 B． C．3 D． 4．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（   ） A． B． C．2 D． 5．如果在x轴上，那么m的值是（   ） A． B．1 C．2 D． 6．如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，“炮”的位置用表示，“马”的位置用表示，那么“车”的位置应表示为（   ） A． B． C． D． 7．已知点与点关于x轴对称，则的值为（  ） A． B． C．0 D．7 8．已知平面直角坐标系中有点，过点作直线轴，如果，则点的坐标为（　　） A．或 B．或 C．或 D． 9．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点M的同行点，已知点的同行点为点，点的同行点为点，点的同行点为点，…，这样依次得到点，，，…，，…若点的坐标为，则点坐标是（    ） A． B． C． D． 10．如图，小球起始时位于处，沿图中所示方向击球，小球在球桌上的运动轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来的方向击球，小球第1次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是（   ）． A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．点到轴的距离为 ． 12．在平面直角坐标系中，点在第 象限． 13．点在第一、三象限的角平分线上，则的坐标为 ． 14．在平面直角坐标系中，，．若，则线段的长度是 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，，，，……均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，，……，根据这个规律，点的坐标为 16．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”．若点C是“完美点”，则点的“短距”为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，正方形的边长为，轴，． (1)写出，，三个顶点的坐标； (2)写出中点的坐标． 18．某主题公园完美融合中外经典文化元素，打造了变形金刚、未来水世界等七大主题景区．下图是某些主题景区的分布示意图．小珂和妈妈在游玩的过程中，分别对“侏罗纪世界”和“变形金刚”的位置做出如下描述： 小珂：“侏罗纪世界的坐标是”． 妈妈：“变形金刚的坐标为”． 实际上，小珂和妈妈描述的位置都是正确的． (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系，并写出“未来水世界”的坐标； (2)若“哈利波特魔法世界”的坐标为，“好莱坞”的坐标为，请在坐标系中用点、分别表示“哈利波特魔法世界”和“好莱坞”这两个主题景区的位置． 19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC各顶点在格点上． (1)直接写出∆ABC的三个顶点的坐标A ；B ；C ； (2)画出∆ABC关于y轴对称的； (3)的面积为 ． 20．如图，在平面直角坐标系中，，，，且与互为相反数． (1)求实数与的值； (2)在y轴上存在点，使得，求出点的坐标（表示面积） 21．在平面直角坐标系中，对于在同一象限内不同的、两点，若点到轴的距离与点到轴的距离相等，点到轴的距离与点到轴的距离相等，则称点与点互为“和谐等距离点”，例如：点与点互为“和谐等距离点”，点与点可为“和谐等距离点”． (1)直接与出与点互为“和谐等距离点”的点的坐标________； (2)如果点与点互为“和谐等距离点”，求和的值． 22．已知在平面直角坐标系中的点． (1)若点在轴上，点的坐标为______； (2)若点的纵坐标比横坐标大，则点在第______象限； (3)若点在过点且与轴平行的直线上，求点的坐标； (4)若点到轴，轴的距离相等，求点的坐标． 23．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴的距离较大值称为点P的“长距”；点Q到x轴，y轴距离相等时，称点Q为“角平分线点”． (1)点的“长距”为_______． (2)若点是“角平分线点”，求a的值； (3)若点的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为；请判断点D是否为“角平分线点”，并说明理由． 24．在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点和点，若，则轴，且线段的长度为，若，则轴，且线段的长度为． 【实践操作】 （1）若点，，则轴，的长度为______； 【拓展应用】 （2）如图，在平面直角坐标系中，，， ①如图1，∆ABC的面积为______； ②如图2，点D在线段上，将点D沿x轴正方向向右平移3个单位长度至E点，若的面积等于14，求点坐标． 25．如图，在平面直角坐标系中，点满足，轴，垂足为，    (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)如图1，若点在轴上，连接，使，求点的坐标； (3)如图2，是线段所在直线上一动点，连接，为轴负半轴上一点，平分，交直线于点，作，当点在直线上运动过程中，请探究与的数量关系，并证明． 参考答案 一、选择题 1．D 【分析】本题考查的是平面直角坐标系内点的坐标特征，根据平面直角坐标系各象限内点的坐标符号特征判断即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，四个象限的坐标符号特征分别为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限， 点，其中横坐标2为正，纵坐标为负，符合第四象限的符号特征, 因此，该点位于第四象限， 故选：D． 2．C 【分析】确定物体位置需要两个独立的数据，如坐标或方向与距离．据此逐一判断即得． 【详解】A、仅给出距离昆明市30千米，未指明方向，无法确定具体位置（可能为以昆明为中心、半径30千米的圆上的任意一点）． B、仅指出曲靖市西南方向，未说明距离，无法确定唯一位置（西南方向包含无数个点）． C、东经和北纬是地理坐标的两个具体数值，能唯一对应地球上的一个点，可确定位置． D、云南省东南部是模糊的区域描述，范围过大，无法精确定位． 综上，只有选项C通过经纬度提供了两个必要数据，可唯一确定物体位置． 故选：C． 3.C 【分析】本题考查了坐标平面内点的坐标特征，根据第四象限内点的横坐标为正，纵坐标为负的特征，确定横坐标a的取值范围． 【详解】∵点在第四象限，第四象限内点的坐标特征为横坐标为正，纵坐标为负． ∴． 只有C选项为正数，符合条件． 故选：C． 4．D 【详解】本题考查了平面直角坐标系中点到原点的距离公式． 根据平面直角坐标系中点到原点的距离公式，利用勾股定理直接计算即可． 【分析】解：点到原点的距离为：， 故选：D． 5．D 【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，熟知x轴上点的纵坐标为0是解题的关键；根据x轴上点的特征，纵坐标为0，建立方程求解即可． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得， 故选：D． 6．A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的位置的表示方法，根据棋盘上炮的坐标建立平面直角坐标系，再根据平面直角坐标系中点的位置的表示方法写出车的坐标即可． 【详解】解：如下图所示， 炮的位置用表示， 炮的横坐标是， 炮到的距离是， 炮的纵坐标是， 炮在轴上， 建立如下平面直角坐标系， 由平面直角坐标系可知：车的坐标是． 故答案为： ． 7．C 【分析】本题考查了点的坐标关于坐标轴对称的知识．根据“关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数”建立等式求出、的值，即可解题． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， 解得，， ， 故选：C． 8．A 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，与y轴平行的线上的点，横坐标相同，解题的关键在于分两种情况讨论．过点A作直线轴，那么点B可能在A点上方，也可能在A点下方，即点A与点B的横坐标相同，根据，把点A纵坐标加3或者减3，写出点B坐标即可． 【详解】解：如图，过点A作直线轴， ∵，， ∴点B坐标为或． 故选：A 9．B 【分析】本题考查了点的变化规律，理解题意并找出规律是解题的关键． 通过计算前几个点的坐标，发现每4个点为一个循环周期，利用周期性规律求解． 【详解】解：∵，根据同行点定义，的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 观察发现，每4个点为一个循环周期，坐标依次为、、、， 对于，计算，余数为，对应周期中的第3个点． 故选：B． 10．C 【分析】本题考查坐标位置规律，根据题意，画出相应的运动轨迹，发现点所在的位置变化规律：小球经过6次一个循环回到出发位置，即可得到小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置．解答本题的关键是根据题意，作出图形，得到点的坐标位置变化规律，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：根据题意，得到小球运动轨迹，如图所示： 小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是； 小球第二次碰到球桌边时，小球的位置是； 小球第三次碰到球桌边时，小球的位置是； 小球第四次碰到球桌边时，小球的位置是； 小球第五次碰到球桌边时，小球的位置是； 小球第六次碰到球桌边时，小球的位置是； …… 按照上述情况，得到规律是小球经过6次一个循环回到出发位置， ∵， ∴小球第2025次碰到球桌边，与小球第三次碰到球桌边时的位置相同，是， 故选：C． 二、填空题 11． 【分析】本题考查了点的坐标，根据“点到轴的距离等于横坐标的长度”即可求解，熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 【详解】解：点到轴的距离为， 故答案为：． 12．四 【分析】本题考查了无理数的估算，判断点的坐标所在象限，先估算出，从而得出，，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，， ∴在平面直角坐标系中，点在第四象限， 故答案为：四． 13． 【分析】本题考查了点的坐标的知识，根据第一、三象限的角平分线上的点，横纵坐标相等，由此就可以得到关于的方程，解出的值，即可求得点的坐标． 【详解】解：∵点在第一、三象限的角平分线上， ， 解得：， ． 故答案为：． 14．4 【分析】本题考查了点的坐标，根据题意重新确定点A的坐标是解题关键． 根据题意得出，确定轴，然后求出线段的长度即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴轴， ∴， 故答案为：4． 15． 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律探究，解题关键是仔细观察点的坐标变化及运动轨迹，发现以4个点为一组的规律，包括每组点坐标的变化特征以及每组最后一个点坐标的规律．根据各个点的位置关系，可得点在第四象限的角平分线上，点在第三象限的角平分线上，点在直线的图象上，点在第一象限的角平分线上，且，再根据第四项象限内点的符号得出答案即可． 【详解】解：∵，，，，，，，，，，，……， 由此发现：点在第四象限的角平分线上，点在第三象限的角平分线上，点在直线的图象上，点在第一象限的角平分线上， ∵， ∴点在第三象限的角平分线上， ∴点． 故答案为：． 16．3或6 【分析】本题考查了新定义背景下坐标的确定，理解新定义是解答本题的关键． 先根据“完美点”的定义列出绝对值方程求解，再分别将值代入，然后利用“短距”的定义即可得出答案． 【详解】解：∵点是“完美点”， ∴点到轴、y轴的距离相等，即， ∴或， 解得或． 当时，点． ∵，， ∴“短距”为3； 当时，点． ∵，， ∴“短距”为6． 综上所述，点的“短距”为3或6． 故答案为：3或6 三、解答题 17．（1）解：∵，轴，， ∴点，，； （2）解：∵，，， ∴点纵坐标与纵坐标相同为，点横坐标与横坐标之和的一半即， ∴中点的坐标为． 18．（1）解：如图所示建立直角坐标系， 未来水世界的坐标为． （2）如图所示． 19．（1）解：由图可得，；；． 故答案为：；；． （2）如图，即为所求． （3）的面积为, 故答案为：4． 20．（1）解：与互为相反数， ， ，， ，； （2），， ，， ， ， 的面积， ∵在轴上存在一点，使， ， 解得：， 即点的坐标是或． 21．（1）解：∵点到轴的距离为|，到轴的距离为， ∴和谐等距离点的横坐标的绝对值是，纵坐标的绝对值是， ∴点互为“和谐等距离点”的点的坐标为：， 故答案为：； （2）∵点与点互为“和谐等距离点”， ∴ 解得： 22．（1）解：因为点在轴上， 所以， 解得， 则， 所以点的坐标为． 故答案为：； （2）解：因为点的纵坐标比横坐标大， 所以， 解得， 则，， 所以点的坐标为， 则点在第二象限． 故答案为：二； （3）解：因为点在过点且与轴平行的直线上， 所以， 解得， 则， 所以点的坐标为； （4）解：因为点到轴，轴的距离相等， 所以或， 解得或， 当时，，， 所以点的坐标为； 当时，，， 所以点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 23．（1）解：根据题意，得点到轴的距离为6，到轴的距离为4， ∴点的“长距”为6． 故答案为：6； （2）解：∵点是“角平分线点”， ∴， ∴或， 解得或； （3）解：∵点的长距为4，且点在第二象限内， ∴，解得（负值舍去）， ∴， ∴点的坐标为， ∴点到轴、轴的距离都是5， ∴点是“角平分线点”． 24．解：（1）∵点，， ∴轴， ∴， 故答案为：3． （2）①，，， ，， ， ②连接，， 设， ∵点D沿x轴正方向向右平移3个单位长度至E点， ∴， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ． 25．（1） ∴ ∴ ∴a=3,b=2 ∴点 ∵轴， 故答案为： （2）若点在轴上时，设 ∵ ∴= 解得，或 ∴或 若点在轴上时不成立 （3）    ∵平分    ∴ ∵轴    ∴，即 ∵    ∴    ∴    ∴