高中数学抛物线测试题

这是一份高中数学抛物线测试题，文件包含人教A版选择性必修一高二数学上册同步学案+分层练习331抛物线及其标准方程原卷版docx、人教A版选择性必修一高二数学上册同步学案+分层练习331抛物线及其标准方程答案版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。
【自主学习】
一．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 ．
思考1：抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么点的轨迹是什么？
二．抛物线的标准方程
思考2：抛物线方程中p(p＞0)的几何意义是什么？
【小试牛刀】
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)抛物线的方程都是二次函数．( )
(2)抛物线的焦点到准线的距离是p.( )
(3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )
(4)y＝4x2的焦点坐标为(1,0)．( )
(5)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x2＝4y．( )
2.已知动点P到定点(0，2)的距离和它到直线l：y＝－2的距离相等，则点P的轨迹方程为________．
【经典例题】
题型一 求抛物线的标准方程
点拨：求抛物线标准方程的方法
1.定义法: 根据定义求p，最后写标准方程;
2. 待定系数法：设标准方程，列有关的方程组求系数；
3. 直接法：建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程.
例1 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：
(1)准线方程为y＝eq \f(2,3)；
(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5.
【跟踪训练】1 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：
(1)经过点(－3，－1)；
(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．
题型二 与抛物线有关的轨迹问题
点拨：抛物线的轨迹问题
既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解．后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件．
例2 已知直线和圆．若圆与直线相切，与圆外切，求圆的圆心的轨迹方程．
【跟踪训练】2 若位于y轴右侧的动点M到Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))的距离比它到y轴的距离大eq \f(1,2).求点M的轨迹方程．
题型三 抛物线最值问题
点拨：解决最值问题
在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|＝x0＋eq \f(p,2).
例3 如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标．
【跟踪训练】3已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是( )
A.eq \r(3) B.eq \r(5) C．2 D.eq \r(5)－1
题型四 抛物线的实际应用
点拨：利用抛物线的有关知识解决此问题，操作步骤为：
(1)建系：建立适当的坐标系．
(2)假设：设出合适的抛物线标准方程．
(3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程．
(4)求解：求出需要求出的量．
(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题.
例4某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米．若不考虑水下深度， 问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？
【跟踪训练】4 如图是抛物线形拱桥，当水面在l处时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为 米．
【当堂达标】
1.(多选)对抛物线y=4x2，下列描述正确的是（ ）
A．焦点坐标为(0，1)B．焦点坐标为
C．准线方程为y=-D．准线方程为y=-1
2.准线与x轴垂直，且经过点(1，－eq \r(2))的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－2x B．y2＝2x
C．x2＝2yD．x2＝－2y
3.已知抛物线y＝2px2过点(1,4)，则抛物线的焦点坐标为( )
A．(1,0) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)，0)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16))) D．(0,1)
4.若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．
5.抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标．
6.已知定点，曲线上的任一点都有．求曲线的方程.
【参考答案】
【自主学习】
相等 焦点 准线
思考1：点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－p,2)，0)) x＝eq \f(p,2) Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(－p,2))) y＝eq \f(p,2)
思考2：p的几何意义是焦点到准线的距离．
【小试牛刀】
1.× √ × × √
2．x2＝8y
【经典例题】
例1 解：(1)易知抛物线的准线交y轴于正半轴，且eq \f(p,2)＝eq \f(2,3)，则p＝eq \f(4,3)，故所求抛物线的标准方程为x2＝－eq \f(8,3)y.
(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.
【跟踪训练】1 解：(1)因为点(－3，－1)在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为
y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．
若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝eq \f(1,6)；
若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝eq \f(9,2).
故所求抛物线的标准方程为y2＝－eq \f(1,3)x或x2＝－9y.
(2)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，
∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．
当焦点为(0，－3)时，eq \f(p,2)＝3，∴p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；
当焦点为(4,0)时，eq \f(p,2)＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x.
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.
例2 解：设圆为半径为，圆的圆心为，半径为，则，
由题意可知，圆心到直线的距离为，
所以，圆心到直线的距离和它到点的距离相等，
故圆心的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，
设该抛物线的标准方程为，则，可得，
因此，圆心的轨迹方程为.
【跟踪训练】2 解：由于位于y轴右侧的动点M到Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))的距离比它到y轴的距离大eq \f(1,2)，
所以动点M到Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))的距离与它到直线l：x＝－eq \f(1,2)的距离相等．
由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，
其方程应为y2＝2px(p＞0)的形式，而eq \f(p,2)＝eq \f(1,2)，所以p＝1,2p＝2，所以y2＝2x（x≠0）。
例3 解：将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±eq \r(6).
∵eq \r(6)>2，∴A在抛物线内部．
设抛物线上点P到准线l：x＝－eq \f(1,2)的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.
由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为eq \f(7,2).即|PA|＋|PF|的最小值为eq \f(7,2)，
此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2.∴点P坐标为(2,2)．
【跟踪训练】3 D 解析：由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．
设点P到直线l的距离为d，
由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，
所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.
易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，
故d＋|PF|的最小值为eq \f(|2＋3|,\r(22＋－12))＝eq \r(5)，
所以d＋|PF|－1的最小值为eq \r(5)－1.
例4 如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立直角坐标系．
因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A(10，－2)．
设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p>0)，则102＝－2p×(－2)，所以p＝25，
所以抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－eq \f(1,50)x2.
若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x＝8时，y＝－eq \f(1,50)×82＝－1.28，
即船体在x＝±8之间通过点B(8，－1.28)，此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)．
而船体高为5米，所以无法通行．
又因为5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，150×7＝1 050(吨)，
所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．
【跟踪训练】4 2eq \r(6) 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线方程为x2＝my，
将A(2，－2)代入x2＝my，得m＝－2．
∴x2＝－2y．将B(x0，－3)代入x2＝－2y，得x0＝eq \r(6)或－eq \r(6)(舍去)，故水面宽为2eq \r(6)米．
【当堂达标】
1.BC解析：由y=4x2，得，所以该抛物线开口向上，焦点坐标为，准线方程为.
故选：BC
2.B 解析：由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax，则(－eq \r(2))2＝a，解得a＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x，故选B.
3.C解析：由抛物线y＝2px2过点(1,4)，可得p＝2，∴抛物线的标准方程为x2＝eq \f(1,4)y，
则焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16)))，故选C.
4. 2 x＝－1 解析：∵抛物线y2＝2px的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
∴eq \f(p,2)＝1，∴p＝2.∴抛物线的准线方程为x＝－eq \f(p,2)＝－1.
5. 解：设焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))，M点到准线的距离为d，
则d＝|MF|＝10，即9＋eq \f(p,2)＝10，∴p＝2，
∴抛物线方程为y2＝－4x.将M(－9，y)代入抛物线的方程，得y＝±6.
∴M点坐标为(－9,6)或(－9，－6)．
6.解：设，由，得，
，
，化简整理得.
3.3.1 抛物线及其标准方程
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1.在平面内，“点P到某定点的距离等于到某定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2.在平面上，到点的距离等于到直线的距离的动点的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线
3.若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1的右焦点重合，则p的值为( )
A．－2 B．2 C．－4 D．4
4.(多选)顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是( )
A.x2＝3y Bx2＝－3y C.x2＝12y D.x2＝－12y
5.已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－eq \f(4,3) B．－1 C．－eq \f(3,4) D．－eq \f(1,2)
6.抛物线的焦点到准线的距离是（ ）
A． B． C．2D．4
7.若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1，0)，则p＝________；准线方程是________.
8.已知定点F(1，0)，动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且eq \(PM,\s\up6(―→))·eq \(PF,\s\up6(―→))＝0，延长MP到点N，使得|eq \(PM,\s\up6(―→))|＝|eq \(PN,\s\up6(―→))|，求点N的轨迹方程．
能 力 练
综合应用 核心素养
9.抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为( )
A．2eq \r(3) B．4 C．6 D．4eq \r(3)
10.如图所示，南北方向的公路l，A地在公路正东2 km处，B地在A东偏北30°方向2eq \r(3) km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等．现要在曲线PQ上建一座码头，向A，B两地运货物，经测算，从M到A、到B修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用最低是(单位：万元)( )
A．(2＋eq \r(3))aB．2(eq \r(3)＋1)a
C．5aD．6a
11.已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A.eq \f(3,4) B.1 C.eq \f(5,4) D.eq \f(7,4)
12.已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝eq \f(5,4)x0，则x0＝( )
A.4 B.2C.1 D.8
13.若抛物线上一点P到焦点的距离为6，则点P到x轴的距离为____________．
14.设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若eq \(FA,\s\up8(→))＋eq \(FB,\s\up8(→))＋eq \(FC,\s\up8(→))＝0，则|eq \(FA,\s\up8(→))|＋|eq \(FB,\s\up8(→))|＋|eq \(FC,\s\up8(→))|＝________.
15.已知当抛物线形拱桥的顶点距水面2m时,量得水面宽8m,当水面升高1m后,水面宽度是 m.
16.已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,点A(3,2).
(1)求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时点P的坐标;
(2)求点P到点B12,2的距离与到直线x=−12的距离之和的最小值.
【参考答案】
1.B 解析：当定点在定直线上时，其动点轨迹不是抛物线，反过来抛物线上的点满足到焦点的距离等于到准线的距离，故应选B.
2.D 解析：因为点不在直线上，则到点的距离等于到直线的距离的动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线；故选：D
3. D解析：y2＝2px的焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，而椭圆的右焦点为(2,0)，由eq \f(p,2)＝2得p＝4.故选D.
4. CD解析：∵顶点与焦点的距离等于3，∴2p＝12，又∵对称轴是y轴，∴抛物线的方程为x2＝±12y.
5. C解析：抛物线的准线方程为x＝－2，则焦点为F(2,0)．从而kAF＝eq \f(3－0,－2－2)＝－eq \f(3,4).
6.B解析：抛物线化为标准方程为抛物线，则其焦准距为，即焦点到准线的距离是，
故选：B
7. 2 x＝－1解析：由y2＝2px得焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，∴eq \f(p,2)＝1⇒p＝2，准线方程x＝－1.
8.解：由于|eq \(PM,\s\up6(―→))|＝|eq \(PN,\s\up6(―→))|，则P为MN的中点．设N(x，y)，则M(－x，0)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(y,2)))，
由eq \(PM,\s\up6(―→))·eq \(PF,\s\up6(―→))＝0，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x，－\f(y,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(y,2)))＝0，所以(－x)·1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,2)))＝0，则y2＝4x，
即点N的轨迹方程是y2＝4x.
D 解析：如图，∵△FPM是等边三角形，∴由抛物线的定义知PM⊥l.在Rt△MQF中，|QF|＝2，∠QMF＝30°，∴|MF|＝4，∴S△PMF＝eq \f(\r(3),4)×42＝4eq \r(3).故选D.
C解析：依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只需求出B到直线l距离即可，因B地在A地东偏北30°方向2eq \r(3) km处，
∴B到点A的水平距离为3(km)，∴B到直线l距离为：3＋2＝5(km)，
那么修建这两条公路的总费用最低为：5a(万元)，故选C.
11.C解析：∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋eq \f(1,2)＝3，∴xA＋xB＝eq \f(5,2).∴线段AB的中点到y轴的距离为eq \f(xA＋xB,2)＝eq \f(5,4).
12.C解析：如图，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0))，过A作AA′⊥准线l，∴|AF|＝|AA′|，∴eq \f(5,4)x0＝x0＋eq \f(p,2)＝x0＋eq \f(1,4)，∴x0＝1.
13.4 解析：抛物线方程化为标准形式为，由抛物线的定义可知，点P到准线的距离为6，所以点P到x轴的距离为4．
14. 6解析：因为eq \(FA,\s\up8(→))＋eq \(FB,\s\up8(→))＋eq \(FC,\s\up8(→))＝0，所以点F为△ABC的重心，则A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍，即xA＋xB＋xC＝3，所以|eq \(FA,\s\up8(→))|＋|eq \(FB,\s\up8(→))|＋|eq \(FC,\s\up8(→))|＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6.
15.42 解析：建立如图所示的平面直角坐标系.
设抛物线方程为x2=-2py(p>0).由(4,-2)在抛物线上,知16=-2p·(-2),解得p=4,
∴抛物线方程为x2=-8y.当y=-1时,x2=8⇒x=±22.此时,水面宽度是42m.
16. 解：(1)将x=3代入y2=2x,得y=±6.
∵6>2,∴点A在抛物线的内部.
过点P作PQ垂直抛物线的准线l:x=-12,垂足为Q,
结合抛物线的定义,知|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|,
当P,A,Q三点共线时,|PA|+|PQ|的值最小,最小值为72,
即|PA|+|PF|的最小值为72.
此时点P的纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2,∴点P的坐标为(2,2).
(2)易知点B12,2在抛物线的外部.设点P到准线l:x=−12的距离为d.
结合抛物线的定义,得|PB|+d=|PB|+|PF|≥|BF|,当且仅当B,P,F三点共线(P在线段BF上)时取等号.
又|BF|=12-122+(2-0)2=2,
∴所求距离之和的最小值为2.
课程标准
学科素养
1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点)
2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点)
3.明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．(难点)
1、直观想象
2、数学运算
3、逻辑推理
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
x＝－eq \f(p,2)
y2＝－2px(p>0)


x2＝2py(p>0)
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
y＝－eq \f(p,2)
x2＝－2py(p>0)