人教A版 (2019)选择性必修 第一册抛物线同步测试题

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考点一 抛物线的定义及应用
【例1-1】抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，
所以焦点到准线的距离；故答案为：A
【例1-2】设抛物线上一点到轴的距离是1，则点到该抛物线焦点的距离是（ ）
A．3B．4C．7D．13
【答案】B
【解析】因为，则准线方程为，
依题意，点到该抛物线焦点的距离等于点到其准线的距离，即.故答案为：B.
【例1-3】．已知抛物线焦点的坐标为，P为抛物线上的任意一点，，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．
【答案】A
【解析】因为抛物线焦点的坐标为，所以，解得．
记抛物线的准线为l，作于，作于，则由抛物线的定义得，当且仅当P为BA与抛物线的交点时，等号成立．
故答案为：A.
【一隅三反】
1．已知点是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，则点M到F的距离等于( )
A．6B．5C．4D．2
【答案】B
【解析】由题意，，解得所以故答案为：B.
2．已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则（ ）
A．4B．3C．D．
【答案】D
【解析】由题意，抛物线的准线方程为，
根据抛物线的定义，可得点到焦点的距离等于到准线的距离，
可得，解得故答案为：D.
3．已知P为抛物线 上一个动点，Q为圆 上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【解析】
根据抛物线定义可知：点P到抛物线准线的距离等于点P到焦点 的距离，连接圆心 与焦点 ，交圆于 点，交抛物线于点 ，如图所示，此时点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和最小即为 的长度，其中 ，故 ，
故答案为：C
考点二 抛物线的标准方程
【例2-1】已知抛物线准线方程为，则其标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据题意可知，抛物线开口向右且，故抛物线的标准方程为：。 故答案为：C.
【例2-2】已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上．若点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意设抛物线方程为（），双曲线的渐近线方程为，
因为抛物线的焦点到渐近线的距离为1，则，即，所以的标准方程是，故答案为：B．
【一隅三反】
1．抛物线：过点，则抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由于抛物线：过点， 所以，
所以抛物线方程为，所以抛物线的直线方程为.故答案为：A
2．已知双曲线：的离心率为；若抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则抛物线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由得， ∴.∴双曲线的渐近线方程为，抛物线的焦点是（0，），它到直线的距离∴.
∴抛物线方程为.故答案为：C.
3．已知抛物线，过其焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，若，且抛物线C上存在点M与x轴上一点关于直线l对称，则该抛物线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】【解答】设抛物线与的准线为，不妨设A在第一象限，如图所示，
分别过点作，垂足为，过点B作交于点，则，，，在 中，由，可得，
轴，，，直线方程为，由 ，解得点的坐标，代入，得，由解得，即抛物线方程为.故答案为：D.
考点三 抛物线的性质
【例3-1】过点与抛物线只有一个公共点的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．无数条
【答案】C
【解析】由已知，可得
①当直线过点且与轴平行时，方程为，与抛物线只有一个公共点；
②当直线斜率不存在时，方程为，与抛物线只有一个公共点；
③当直线斜率存在时，设直线方程为，由y=kx+1y2=8x可得，
，，解得，故直线方程.
所以存在3条直线，，满足过点与抛物线只有一个公共点.
故答案为：C.
【例3-2】(多选）过抛物线上一点作两条相互垂直的直线，与的另外两个交点分别为，，则（ ）
A．的准线方程是
B．过的焦点的最短弦长为8
C．直线过定点
D．当点到直线的距离最大时，直线的方程为
【答案】AD
【解析】将代入中得：，则为， 所以的准线方程是，A符合题意；当过的焦点且与轴垂直时弦长最短，此时弦长为16，B不正确；
设，，直线为，联立抛物线得：，
所以，，又，
所以.
因为，，即，
所以，整理得，故，得，所以直线为，所以直线过定点，C不正确.
当时到直线的距离最大，此时直线为，D符合题意.
故答案为：AD
【例3-3】抛物线 的焦点为， 直线与抛物线分别交 于两点（点在第一象限）， 则的值等于 .
【答案】
【解析】【解答】因为直线可化为， 所以过焦点且倾斜角为，设，则 ，，
解得，，代入得，，
所以。故答案为：。
【一隅三反】
1．（2022·葫芦岛）（多选）已知抛物线过点，焦点为F，则（ ）
A．点M到焦点的距离为3
B．直线MF与x轴垂直
C．直线MF与C交于点N，以弦MN为直径的圆与C的准线相切
D．过点M与C相切的直线方程为
【答案】AC
【解析】由题意知：，解得，即，焦点，准线.
由抛物线定义知，点M到焦点的距离等于到准线的距离为，A符合题意；
由焦点知直线MF不与x轴垂直，B不符合题意；如图，设中点为，过作准线的垂线，垂足为，
易知，故以弦MN为直径的圆与C的准线相切，C符合题意；
由知M不在直线上，D不符合题意.故答案为：AC.
2．已知抛物线的准线被圆所截得的弦长为，则（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】C
【解析】由题，圆与抛物线都关于x轴对称，故所截得的弦AB与x轴垂直，圆心为原点，圆半径为2，则有，解得，故，得，故答案为：C
3．设动圆圆心为，该动圆过定点，且与直线相切（），圆心轨迹为曲线.过点的直线与轴垂直，若直线与曲线交于，两点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，设，因为，根据抛物线的定义可知，曲线的轨迹为，
再根据直线与轴垂直且直线与曲线交于，两点，从而可知.故答案为：D
考点四 抛物线的综合运用
【例4-1】已知抛物线C1：与椭圆C2：（）有公共的焦点，C2的左､右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为.
（1）求椭圆C2的方程；
（2）如图，若直线l与x轴，椭圆C2顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧），且∠PF1Q与∠PF1R互为补角，求△F1QR面积S的最大值.
【答案】见解析
【解析】（1）解：由题意可得，抛物线的焦点为，所以椭圆的半焦距，又椭圆的离心率，所以，则，即，所以椭圆的方程为.
（2）解：设，，，
∵与互补，∴，所以，
化简整理得①，
设直线PQ为，联立直线与椭圆方程
化简整理可得，
，可得②，
由韦达定理，可得，③，
将，代入①，可得④，
再将③代入④，可得，解得，
∴PQ的方程为，且由②可得，，即，
由点到直线PQ的距离，
令，，则，
当且仅当时，等号成立，所以面积S最大值为.
【例4-2】垂直于x轴．过A作圆的两条切线，与抛物线在第四象限分别交于M，N两点，且直线的斜率为4．
（1）求抛物线的方程及A点坐标；
（2）问：直线是否经过定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】（1）解：因为，由，所以抛物线方程为，且
（2）解：设的倾斜角依次为，由可知，
再设的斜率分别为，下证．
方法一：由可知且满足，
再由．
方法二：直线的方程为，其中分别对应，
于是，即，
，即，
由可知．
因为直线的方程为，其中分别对应，
再设直线的方程为，
联立求得其交点均满足，
代入抛物线C的方程，于是有，
将，整理得，
进而得到，．
将代入前式，有，化简得，
再代入的方程得，所以恒过定点．
【一隅三反】
1．已知F为抛物线的焦点，点P在抛物线T上，O为坐标原点，的外接圆与抛物线T的准线相切，且该圆周长为.
（1）求抛物线的方程；
（2）如图，设点A，B，C都在抛物线T上，若是以AC为斜边的等腰直角三角形，求的最小值.
【答案】见解析
【解析】（1）解：因为，所以的外接圆圆心在直线上，又外接圆与准线相切，
所以半径为所以周长为，所以故抛物线方程为
（2）解：设点，，，直线AB的斜率为，
因为，则直线BC的斜率为.因为，
则，得，①
因为，则，得，②
因为，则，即，③
将②③代入①，得，即，则，
所以
因为，则，又，则
从而，当且仅当时取等号，所以的最小值为32.
2．已知抛物线上的点到其准线的距离为5．不过原点的动直线交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，点M在准线l上的射影为N．
（1）求抛物线C的方程；
（2）当时，求证：直线AB过定点．
【答案】见解析
【解析】（1）解：由抛物线C的方程可得其准线方程，依抛物线的性质得，解得．
∴抛物线C的方程为．
（2）证明：当直线AB的斜率为0时，显然不符合题意；
当直线AB的斜率不为0时，设直线，、、，由化简得，，，，
，所以，所以，，
所以
若，即，解得或（舍去），所以直线AB过定点.
3．已知抛物线：的焦点为F，点为抛物线上一点，抛物线C在点处的切线与轴相交于点，且的面积为2.
（1）求抛物线的方程.
（2）若斜率不为0的直线过焦点F，且交抛物线C于A，B两点，线段的中垂线与y轴交于点M.证明：为定值.
【答案】见解析
【解析】（1）解：由题意可知，设抛物线C在点P处的切线方程为，
联立得，
由解得，故切线方程为，
令，得，即，又，所以，解得，
所以抛物线的方程为．
（2）证明：由（1）可知，显然直线的斜率存在，故可设直线的方程为，，.联立方程组，消去得，所以，，
所以，得，
所以线段AB的中点为，中垂线所在直线的斜率，
故线段AB中垂线所在的直线方程为，
令，得，所以，所以为定值，得证.
3.3 抛物线（精练）
1 抛物线的定义及应用
1．抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【解析】由，焦点到准线的距离是， 故答案为：D.
2．已知抛物线的焦点为F，点P为E上一点，Q为PF的中点，若，则Q点的纵坐标为（ ）
A．7B．5C．3D．1
【答案】B
【解析】过点P，Q分别作准线的垂线，垂足分别为（如图），
设准线与纵轴的交点为，由梯形中位线定理易知，又准线方程为，故Q点的纵坐标为5.故答案为：B.
3．已知双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合，则p的值等于（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】C
【解析】的右焦点为，即故答案为：C.
4．已知抛物线，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为P，则的最小值为（ ）
A．B．C．5D．3
【答案】A
【解析】∵抛物线的方程为，∴，抛物线的准线方程为，
∵方程可化为，∴过定点，
设，设的中点为，则，因为，为垂足，
∴，所以，即点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，
过点作准线的垂线，垂足为，则，
∴，又，当且仅当三点共线且在之间时等号成立，∴，过点作准线的垂线，垂足为，则，当且仅当三点共线时等号成立，∴，当且仅当四点共线且在之间时等号成立，所以的最小值为，
故答案为：A.
5．已知点为抛物线：上的动点，抛物线的焦点为，且点，则的最小值为 ．
【答案】4
【解析】抛物线的准线为． 设点在准线上的射影为，如图，
则根据抛物线的定义可知，要求取得最小值，即求取得最小．
当，，三点共线时，最小，为．故答案为：4．
6．已知抛物线，其焦点为点，点是拋物线上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为 .
【答案】
【解析】将已知直线化为，当时，可确定直线过定点，记为M点.∵过点F做直线的垂线，垂足为Q，
∴直线，即，
故Q点的轨迹是以FM为直径的圆，半径，其圆心为FM的中点，记为点H，∴，
∵P在抛物线上，其准线为，∴等于P到准线的距离.
过P作准线的垂线，垂足为R.要使取到最小，即最小，
此时R、P、Q三点共线，且三点连线后直线RQ过圆心H.如图所示，
此时.故答案为：
7．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为 ．
【答案】1
【解析】由抛物线可知其焦点为，由抛物线的定义可知，
故点到点的距离与到轴的距离之和为，
即点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为1.故答案为：1.
2 抛物线的标准方程
1．顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【解析】∵抛物线的顶点在原点，且过点，∴设抛物线的标准方程为（）或（），将点的坐标代入抛物线的标准方程（）得：，
∴，∴此时抛物线的标准方程为；将点的坐标代入抛物线的标准方程（），同理可得，∴此时抛物线的标准方程为.综上可知，顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是或．故答案为：C．
2．抛物线上一点到其焦点的距离为3，则抛物线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因抛物线上一点到其焦点的距离为3，则p>0，抛物线准线方程为，
由抛物线定义得：，解得，所以抛物线的方程为：.故答案为：B
3．下列命题中正确的是（ ）
A．抛物线 的焦点坐标为 ．
B．抛物线 的准线方程为 x =−1．
C．抛物线 的图象关于 x 轴对称．
D．抛物线 的图象关于 y 轴对称．
【答案】C
【解析】抛物线 的焦点坐标为 ，A不符合题意； 抛物线 的准线方程为 ，B不符合题意；抛物线 的图象关于 x 轴对称，C符合题意，D不符合题意；故答案为：C.
4．已知抛物线的方程为 ，则此抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由抛物线的方程为 ，则其准线方程为： 。 故答案为：A
5．过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，则此抛物线方程为 ．
【答案】
【解析】如图，作准线于，准线于，设，由抛物线定义得，，故，
在直角三角形中，因为，，所以，从而得，
设准线与x轴交于，则，所以，因此抛物线方程为.故答案为：.
6．以坐标原点为顶点，以y轴为对称轴，并经过点的抛物线的标准方程为 ．
【答案】
【解析】由题意设抛物线方程为（），则，，
所以抛物线方程为．故答案为：．
7．已知是抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线交抛物线于，两点，直线交抛物线于，两点，且的最小值是64，则抛物线的方程为 ．
【答案】
【解析】设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角，
根据焦点弦长公式可得，，
所以，因为，所以当时取得最小值，所以，所以，所以抛物线方程为
故答案为：
8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九卷“勾股”讲述了“勾股定理”及一些应用，其中直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”，设点是抛物线的焦点，直线是该抛物线的准线，过抛物线上一点作准线的垂线，垂足为，射线交准线于点，若的“勾”，“股”，则抛物线方程为 .
【答案】
【解析】当抛物线开口向右时，如图所示：
因为，所以，由抛物线的定义得，所以是等边三角形，所以，所以抛物线的方程是，同理，当抛物线开口向左时，抛物线方程为：，综上：抛物线的方程为：，故答案为：
9．已知抛物线，直线，直线与抛物线分别交第四、第一象限于两点，且抛物线的焦点为，满足，则抛物线的方程为 ．
【答案】
【解析】设，把直线方程与抛物线方程联立得y2=2px，2x−y−2=0，
则，则x1+x2=4+p2，x1x2=1，由可得，
代入x1+x2=4+p2，x1x2=1，可得x1+2x1+p2=4+p2，x1⋅(2x1+p2)=1，解得x1=23，p=13，故抛物线的方程为。
故答案为：。
10．抛物线的焦点为F，准线是l，O是坐标原点，P在抛物线上满足，连接FP并延长交准线l与Q点，若的面积为，则抛物线C的方程是 ．
【答案】
【解析】由题可知，抛物线的准线的方程为，则焦点 到准线的距离为，
已知，所以P在线段OF的中垂线上，如图，
设，则可知，
即，解得，
所以抛物线C的方程是。故答案为：。
3 抛物线的性质
1．直线与抛物线交于，两点，则（ ）
A．B．8C．D．16
【答案】D
【解析】抛物线的焦点为在直线上，故是抛物线的焦点弦，则
由x−3y−1=0y2=4x得：，所以，，所以，。故答案为：D.
2．已知直线l过点，且与抛物线有且只有一个公共点，则符合要求的直线l的条数为（ ）条
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】当直线平行于轴（即抛物线的）时，直线与抛物线只有一个公共点，直线与抛物线的轴不平行时，由于在抛物线的外部（与焦点在不同区域），因此过点有的抛物线的切线有两条．综上，符合要求的直线有3条．故答案为：D．
3．已知等边（为坐标原点）的三个顶点在抛物线上，且的面积为，则（ ）
A．B．3C．D．
【答案】C
【解析】根据拋物线和等边三角形的对称性可知A，B两点关于x轴对称，不妨设直线与联立得B(6p，2p)，因为△AOB的面积为9，所以，解得.
故答案为：C.
4．已知直线过抛物线：的焦点且与交于，两点，线段的中点关于轴的对称点在直线上，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【解析】因为抛物线：，所以设两点的横坐标分别为因为线段的中点关于轴的对称点在直线上所以线段的中点的横坐标为，则，即
故故答案为：D
5．已知抛物线的焦点为F，点A是抛物线C的准线与坐标轴的交点，点P在抛物线C上，若，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】过作准线的垂线，垂足为，由，可得，由题意如图所示：
在中，可得，，由抛物线的性质可得，所以，在中，由正弦定理可得：，
所以，故答案为：D．
6．抛物线的焦点为，为抛物线上一点，以为圆心，为半径的圆交抛物线的准线于，两点，，则直线的斜率为（ ）
A．±1B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可知：，设准线与轴交于，因为，所以，且，所以，设，由抛物线定义可知，
所以，代入抛物线中得，所以，且，所以直线的斜率为.故答案为：D
7．已知抛物线，过焦点F且斜率为的直线l交C于A，B两点（其中点A在x轴下方），再过A，B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为D，C，设，分别为，的面积则 ．
【答案】
【解析】由题意可得，设直线l的倾斜角为， 且，则由抛物线的相关定理可得：，又抛物线上的任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，
则， 则，可理得则，，
又，且，则，求得：，
故答案为：
8．（多选）设抛物线的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的有（ ）
A．准线l的方程是B．以线段MF为直径的圆与y轴相切
C．的最小值为5D．的最大值为2
【答案】BC
【解析】对于A：由抛物线，可得焦点坐标为，准线方程为，A不符合题意
对于B：设，设MF的中点为D，则，D坐标为，
所以，即D点到点M、F和y轴距离相等，所以以线段MF为直径的圆与y轴相切，B符合题意.对于C：过M作准线的垂线，垂足为N ，由抛物线定义得，
所以，由图象可得，当E、M、N三点共线时，有最小值，即为，所以的最小值为5，C符合题意；
对于D：根据三角形中，两边之差小于第三边可得，如图所示，当E、F、M共线时，有最大值，
且为，所以的最大值为，D不符合题意；故答案为：BC
9．（多选）已知双曲线（）的左焦点与抛物线的焦点重合，是双曲线的右焦点，则下列说法正确的有（ ）
A．抛物线的准线方程为：
B．双曲线的实轴长为4
C．双曲线的一条渐近线方程为
D．P为双曲线上一点若，则
【答案】BD
【解析】抛物线的焦点是 ，所以，，，
，（舍去），所以，抛物线准线方程是，A不符合题意；双曲线实轴长为，B符合题意；双曲线的渐近线方程是，即，C不符合题意；由双曲线定义，即，或（舍去），D符合题意．
故答案为：BD．
10．直线l过抛物线的焦点且与抛物线交于A、B两点，则的最小值为 ；
【答案】
【解析】已知 ，即 ，所以 ，所以 .当且仅当 时取等号.
4 抛物线的综合运用
1．已知抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离相等.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与抛物线交于A，两点，且满足(为坐标原点)，证明：直线与轴的交点为定点.
【解析】（1）解：由题意可得，故抛物线方程为；
（2）解：设，，，，直线的方程为，
联立方程中，消去得，，则，．
又，解得或(舍去)，
直线方程为，直线过定点．
2．如图，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P满足PAB的垂心为原点O.当直线l的倾斜角为30°时，.
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）求证：点P在定直线上.
【答案】见解析
【解析】（1）解：设直线l的方程为，，.
由x=my+p2，y2=2px，得.所以，.
由抛物线定义，得.
当直线l的倾斜角为30°时，，.
所以，即抛物线C的标准方程为.
（2）证明：由（1），得，.
因为的垂心为原点O，所以，.因为，所以.
所以直线AP的方程为，即.
同理可得，直线BP的方程为.联立方程y=−y24x+34y1，y=−y14x+34y2，解得xp=−3，yp=34(y1+y2)=3m，即.所以点P在定直线上.
3．直线交抛物线于A，B两点，过A，B作抛物线的两条切线，相交于点C，点在直线上．
（1）求证：直线恒过定点T，并求出点T坐标；
（2）以T为圆心的圆交抛物线于四点，求四边形面积的取值范围．
【解析】（1）证明：设，，，则，，
直线为：，同理直线为：，
把代入直线，得：，∴，都满足直线方程，则为直线AB的方程，故直线恒过定点．
（2）解：
如图，设圆T的半径为，，，，，
把代入圆：，整理得，
由题意知：关于的一元二次方程有两个不等实根，则，可得．
，
令，由得：，则，
令且，则，
故在上，递增；在上，递减；
所以，又，，故的取值范围是，
综上，的取值范围是．
4．如图，拋物线 （ ）上的点 （ ）到其准线的距离为2.过点 作直线 交拋物线于 ， 两点，直线 与直线 交于点 ．
（I）求证：直线 轴；
（II）记 ， 的面积分别为 ， ．若 ，求直线 的方程.
【解析】（Ⅰ）由条件可知 ，得 . 故 ，即 .
且故抛物线方程为 ，设直线 的方程为 ，
则由 ，得 .
有 ，所以 且 ．
由 ，解得 .又 共线，所以 ，
又 ， ，
则 ，
化简可得 ，
解得 或 （舍去），所以 .因此 轴．
（Ⅱ）由题意可知 轴，所以因此 .
.
所以 .解得 或
因此所求 的方程为 或 .
【另解】（Ⅰ）由条件可知 ，得 .故 ，即 .故抛物线方程为 ，
设 （ ），则直线 方程为 .
由 ，解得 .
又 共线，所以 ，又 ， ，则 ，解得 ，所以 .
因此 轴．（Ⅱ）由题意可知 轴，所以因此 .
.
所以 .解得 或
因此所求 的方程为 或 .
5.已知定点，定直线，动圆过点，且与直线相切.
（1）求动圆的圆心轨迹的方程；
（2）过焦点的直线与抛物线交于两点，与圆交于两点（A，C在y轴同侧），求证：是定值.
【答案】见解析
【解析】（1）解：由题意，得动圆的圆心到点的距离等于到直线的距离，所以的轨迹是以点为焦点的抛物线，其轨迹方程为；
（2）解：设经过焦点F的直线为，联立，得；
设，，则，且，；
因为圆的圆心为（即抛物线的焦点），半径为1，
由抛物线的定义，得，，则，，
所以，
即是定值，定值是1.
6．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点.
（1）证明：以为直径的圆与直线相切；
（2）设（1）中的切点为为坐标原点，直线与的另一个交点为，求面积的最小值.
【解析】（1）证明：抛物线的焦点为，准线方程为.
设，
弦的中点，则到准线的距离为，
所以以为直径的圆与直线相切.
（2）解：由题可知直线的斜率不能为0，设直线的方程为，
由x=my+1，y2=4x整理得，又，则，
所以.
点的坐标为，于是直线的方程为，
代入，整理得或，从而
则点到直线的距离为，故.
令，
则在上单调递减，在上单调递增，故.