数学选择性必修 第二册等比数列同步测试题

这是一份数学选择性必修 第二册等比数列同步测试题，共6页。
1.等比数列{an}中,若a2a6+=π,则a3a5等于( )
A.B.
C.D.
2.[多选]已知数列{an}是等比数列,下列数列一定是等比数列的为( )
A.{|an|}B.{an-}
C.D.{kan}
3.已知各项均为正数的等比数列{an},a1a7=3,a2a8=27,则a4a5=( )
A.7B.8
C.9D.10
4.等比数列{an}中,若a12=4,a18=8,则a36为( )
A.32B.64
C.128D.256
5.[多选]设公比为q的等比数列{an},若a1a5a9=64,则( )
A.a5=4
B.当a1=1时,q=±
C.a1和a9的等比中项为4
D.+≥32
6.在等比数列{an}中,存在正整数m,若am=3,=24,则= .
7.在等比数列{an}中,若a2a3a6a9a10=32,则的值为 .
8.在正项等比数列{an}中,a1=,a2·a4=9,记数列{an}的前n项的积为Tn,若Tn∈(1,1 000),请写出一个满足条件的n的值为 .
9.在正项等比数列{an}中,a1a5-2a3a5+a3a7=36,a2a4+2a2a6+a4a6=100,求数列{an}的通项公式.
10.已知数列{an}满足a1=,且an+1=an+,n∈N*.
(1)求证:是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
B级——应用创新
11.若数列{an}是公比为4的等比数列,且a1=2,则数列{lg2an}是( )
A.公差为2的等差数列
B.公差为lg 2的等差数列
C.公比为2的等比数列
D.公比为lg 2的等比数列
12.[多选]已知数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,{an}的前n项和为Sn,若a1+a6+a11=3π,b1b5b9=8,则( )
A.S11=11πB.sin=
C.a3+a7+a8=3πD.b3+b7≥4
13.若数列{an}满足-=0,则称{an}为“梦想数列”,已知正项数列为“梦想数列”,且b1+b2+b3=1,则b6+b7+b8= .
14.在4与之间插入3个数,使这5个数成等比数列,求插入的3个数.
15.已知数列{an}和{bn}满足a1=λ,an+1=an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中λ为实数,n为正整数.
(1)求证:对任意实数λ,数列{an}不是等比数列;
(2)试判断{bn}是否为等比数列.

课时跟踪检测(九)
1.选C ∵a2a6==a3a5,∴a3a5=.
2.选AC 当数列{an}为1,1,1,1,…时,数列{an-an+1}不是等比数列;当k=0时,数列{kan}不是等比数列,而{|an|}和一定是等比数列.
3.选C 由等比数列{an},得a1a7=,a2a8=,有=a1a7a2a8=3×27=81,又因为各项均为正数,所以a4a5=9.故选C.
4.选B 设等比数列{an}的公比为q,由等比数列的性质可知,a12,a18,a24,a30,a36成等比数列,且=2=q6,故a36=a18q18=8×23=64.
5.选ABD 由题意,a1a5a9==64,即a5=4,故A正确;当a1=1时,a5=a1q4=4,所以q=±,故B正确;因为a1a9==16,所以a1和a9的等比中项为4或-4,故C错误;由+≥2a1a9=32,当且仅当a1=a9=4时,等号成立,故D正确.故选ABD.
6.解析:由题意知q5==8,am+15=amq15=3×83=1 536.
答案:1 536
7.解析:因为==a6,又a2a3a6a9a10=(a2a10)a6(a3a9)==32,所以a6=2,故=a6=2.
答案:2
8.解析:因为{an}为正项等比数列且a2·a4==9,所以a3=3.又因为a1=,所以q2==9.又q>0,所以q=3.则an=×3n-1=3n-2,Tn=a1a2…an=3-1×30×…×3n-2=,
因为Tn∈(1,1 000),所以当n=4时满足要求.
答案:4(答案不唯一)
9.解:∵a1a5=,a3a7=,
∴由题意,得-2a3a5+=36,
同理得+2a3a5+=100,∴
∵an>0,∴解得或
分别解得或
∴an=a1qn-1=2n-2或an=a1qn-1=26-n.
10.解:(1)证明:由已知,得an+1-=an-=,即=,因为a1=,所以a1-=,所以是以为首项,为公比的等比数列.
(2)由(1)知,是以为首项,为公比的等比数列,所以an-=×,所以an=×+.
11.选A 因为数列{an}是公比为4的等比数列,且a1=2,所以an=2×4n-1=22n-1,lg2an=lg222n-1=2n-1,所以数列{lg2an}是公差为2的等差数列.
12.选ACD 因为数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,a1+a6+a11=3π,b1b5b9=8,所以a1+a6+a11=3a6=3π,即a6=π,b1b5b9==8,即b5=2.对于A,S11==11a6=11π,故A正确;对于B,a2+a10=2a6=2π,b4b6==4,所以sin=sin=1,故B错误;对于C,设等差数列{an}的公差为d,则a3+a7+a8=a6-3d+a6+d+a6+2d=3a6=3π,故C正确;对于D,由b5=2,得b3>0,b7>0,故b3+b7≥2=2=4,当且仅当b3=b7=2时等号成立,故D正确.
13.解析:由题意可知,若数列{an}为“梦想数列”,则-=0,可得=,所以“梦想数列”{an}是公比为的等比数列,若正项数列为“梦想数列”,则=,所以=2,即正项数列{bn}是公比为2的等比数列,因为b1+b2+b3=1,因此,b6+b7+b8=25(b1+b2+b3)=32.
答案:32
14.解:法一 依题意,a1=4,a5=,由等比数列的通项公式,得=4q4,解得q=±.
当q=时,插入的3个数分别为4×=2,2×=1,1×=;
当q=-时,插入的3个数分别为4×=-2,(-2)×=1,1×=-.
因此,插入的3个数分别为2,1,或-2,1,-.
法二 因为等比数列共有5项,即a1,a2,a3,a4,a5.
又因为2×3=1+5,所以=a1a5=4×=1,即a3=±1.
又因为a3要与a1同号,因此a3=1.
类似地,有=a1a3,=a3a5,而且a2与a4同号.
因此,当a2===2时,a4===;当a2=-=-=-2时,a4=-=-=-.
因此,插入的3个数分别为2,1,或-2,1,-.
15.解:(1)证明:∵an+1=an+n-4且a1=λ,∴a2=λ-3,a3=λ-4.
假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列,则=a1a3,即=λ,即λ2-4λ+9=λ2-4λ,该方程无解,∴对任意实数λ,数列{an}不是等比数列.
(2)∵bn=(-1)n(an-3n+21),∴bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+21]=(-1)n+1=-(-1)n(an-3n+21)=-bn.∵b1=-(λ+18),∴当λ=-18时,b1=0,此时数列{bn}不是等比数列;当λ≠-18时,b1≠0,此时=-(n∈N*),数列{bn}是等比数列.
综上,当λ=-18时,{bn}不是等比数列;当λ≠-18时,{bn}是等比数列.