2026届高三数学一轮复习课件第9讲函数奇偶性与周期性

这是一份2026届高三数学一轮复习课件第9讲函数奇偶性与周期性，共61页。PPT课件主要包含了链教材·夯基固本，f－x＝fx，研题型·能力养成，函数奇偶性的判定，函数奇偶性的应用，函数的周期性，配套精练，答案ABD，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．(人A必一P84例6，P85练习T2改)(多选)下列函数是奇函数的是(　 　)A．f(x)＝2x4＋3x2 B．f(x)＝x3－2x
2．若一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，则a＋b＝(　　)A．－1B．1C．0D．2
3．(人A必一P101复习参考题T9(1)改)已知奇函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，且有最大值m，那么下列说法正确的是(　　)A．函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递减，且f(－b)＝－mB．函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递减，且f(－a)＝－mC．函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递增，且f(－b)＝－mD．函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递增，且f(－a)＝－m
　　　　奇函数在对称区间上的单调性相同，最值互为相反数．
4．(人A必一P86习题T11改)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－2)的值是_______．
　　　　由题知f(2)＝6，因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－6．
1．奇偶性定义：若_______________，则f(x)为偶函数；若_________________，则f(x)为奇函数．这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称．性质：(1) 奇函数的图象关于________对称，偶函数的图象关于________对称；(2) 若奇函数的定义域包含0，则必有f(0)＝_____；
f(－x)＝－f(x)
(3) 在关于y 轴对称的两个区间内，奇函数单调性________，偶函数单调性________．(4) 一般地：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇×奇＝偶；偶×偶＝偶；奇×偶＝奇，除法相同．(5) 复合函数的奇偶性：内偶则偶，内奇同外．(6) 既奇又偶的函数只有一个y＝0，但定义域可以有无数个．
2．周期性(1) 对定义域内任意x，存在非零常数T(T＞0)，使________________成立，则T为f(x)的周期；(2) 若T存在最小值，则该值为最小正周期．
f(x＋T)＝f(x)
　　　　f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称．又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
　　　　f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x＞0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；当x＜0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．故该函数为奇函数．
A．f(x－1)－1B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1D．f(x＋1)＋1
视角1　求值(解析式)　　　　　(1) 已知函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x－1，则f(－2)＝(　　)
　　　　当x≥0时，f(x)＝2x－1，则f(2)＝22－1＝3．因为函数f(x)是奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－3．
　　　　　(2) (2025·亳州期初摸底)已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)＋ex是偶函数，y＝f(x)－3ex是奇函数，则f(ln 3)的值为(　　)
变式2－1　(2024·淮北二模)若函数f(x)＝ax＋ln(ex＋1)是偶函数，则实数a＝(　　)
视角2　函数图象识别　　　　　(2024·全国甲卷理)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8,2.8]上的大致图象为(　　)
变式2－2　(2024·扬州期末)(多选)已知函数f(x)＝x(ex＋ae－x)是奇函数或偶函数，则y＝f(x)的图象可能是(　 　)
　　　　由已知得f(－x)＝－x(e－x＋a·ex)，若y＝f(x)为偶函数，则－x(e－x＋aex)＝x(ex＋ae－x)恒成立，所以x(1＋a)(ex＋e－x)＝0恒成立，故a＝－1，则f(x)＝x(ex－　　e－x)，所以x＞0时有f(x)＞0，且f(x)单调递增，显然C正确，D错误．若y＝f(x)为奇函数，则－x(e－x＋aex)＝－x(ex＋ae－x)恒成立，所以x(a－1)(ex－e－x)＝0恒成立，故a＝1，则f(x)＝x(ex＋e－x)，所以x＞0时有f(x)＞0，且f(x)单调递增，显然B正确，A错误．
视角3　解不等式　　　　　(2024·永州三模)已知函数f(x)＝ex－e－x＋sin x－x＋2，其中e是自然对数的底数．若f(lgt)＋f(3)＞4，则实数t的取值范围是(　　)
　　　(1) 若f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且f(1)＝－5，则f(f(5))＝_____．
　　　　因为f(x＋2)＝－f(x)，所以T＝4，所以f(5)＝f(1)＝－5，所以f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)．令x＝－1，则f(1)＝－f(－1)＝－5，所以f(f(5))＝f(－1)＝5．
　　　(2) 若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(2)，则f(2 024)＝_____．
　　　　因为f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(2)，代入x－2得，f(x＋1)＋f(x－1)＝f(2)．两式相减得，f(x＋3)＝f(x－1)，即f(x＋4)＝f(x)，所以4为函数f(x)的周期，因此f(2 024)＝f(4×506)＝f(0)．在f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(2)中，令x＝－1，得f(2)＋f(0)＝f(2)，所以f(0)＝0，即f(2 024)＝0．
周期性的几个常用结论对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则：(1) f(x＋a)＝f(x＋b)：可得f(x)为周期函数，其周期T＝|b－a|；(2) f(x＋a)＝－f(x)⇒f(x)的周期T＝2a； (4) f(x)＋f(x＋a)＝k(k为常数)⇒f(x)的周期T＝2a；(5) f(x)·f(x＋a)＝k(k为常数)⇒f(x)的周期T＝2a．
3．(2024·十堰期末)(多选)已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2]上单调递增，且f(x＋2)为偶函数，则(　 　)A．f(x)的对称中心为(2,0)B．f(x)的对称轴为直线x＝2C．f(－1)＞f(4)
　　　　由题知当x＝－1时，f(－1)＝1．因为函数f(x)的周期T＝2且为偶函数，所以f(x＋2)＝f(x)，所以f(3)＝f(1)＝f(－1)＝1．
A组　夯基精练一、单项选择题1．(2024·苏锡常镇调研)若函数y＝f(x)－1是定义在R上的奇函数，则f(－1)＋f(0)＋f(1)＝(　　)A．3B．2C．－2D．－3
　　　　设F(x)＝f(x)－1，则F(x)＋F(－x)＝0，即f(x)－1＋f(－x)－1＝0，即f(x)＋f(－x)＝2，所以f(1)＋f(－1)＝2．因为F(0)＝f(0)－1＝0，所以f(0)＝1，故f(－1)＋f(0)＋f(1)＝2＋1＝3．
3．(2024·晋中三模)下列函数中既是奇函数，又在(0，＋∞)上单调递减的是(　　)A．f(x)＝2|x|B．f(x)＝x3
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．b＜c＜a
二、多项选择题6．(2024·南通一调)设函数f(x)的定义域为R，f(x)为奇函数，f(1＋x)＝f(1－x)，f(3)＝1，则(　　　)A．f(－1)＝1B．f(x)＝f(4＋x)
7．(2024·湛江二模)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)不恒为零，且f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，则(　　　)A．f(0)＝1B．f(x)为偶函数C．f(x)在x＝0处取得极小值D．若f(a)＝0，则f(x)＝f(x＋4a)
　　　　对于A，令x＝y＝0，得2f(0)＝2[f(0)]2，解得f(0)＝0或f(0)＝1．当f(0)＝0时，令y＝0，则2f(x)＝2f(x)f(0)，则f(x)＝0，这与f(x)不恒为零矛盾，所以f(0)＝1，故A正确．对于B，令x＝0，则f(0＋y)＋f(0－y)＝2f(y)f(0)，即f(y)＝f(－y)，即f(x)为偶函数，故B正确．对于C，取f(x)＝cs x，满足题意，此时x＝0不是f(x)的极小值点，故C错误．对于D，令y＝a，得f(x＋a)＋f(x－a)＝2f(x)f(a)，若f(a)＝0，则f(x＋a)＝－f(x－a)，则f(x)＝－f(x＋2a)，则f(x＋4a)＝－f(x＋2a)＝f(x)，故D正确．
[－2，0)∪(0，2]
10．(2024·枣庄一模)已知f(x＋2)为偶函数，且f(x＋2)＋f(x)＝－6，则f(2 027)＝_______．
　　　　因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，又f(x＋2)＋f(x)＝－6，所以f(－x＋2)＋f(x)＝－6．因为f(x＋2)＋f(x)＝－6，所以f(x＋4)＋f(x＋2)＝－6，所以f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)为周期函数，周期为4，所以f(2 027)＝f(3)＝f(－1)．由f(－x＋2)＋f(x)＝－6，可得f(1)＋f(1)＝－6，由f(x＋2)＋f(x)＝－6，可得f(1)＋f(－1)＝－6，所以f(1)＝f(－1)＝－3，所以f(2 027)＝－3．
方法二：设任意x＞0，则－x＜0，所以f(－x)＝－(－x)2－4(－x)＝－x2＋4x．又因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－x2＋4x，所以f(x)＝x2－4x，所以f(2)＝－4．因为当x＞0时，x2＋ax＝x2－4x恒成立，所以a＝－4．
(2) 求方程f(x)＝f(2)的解集．
B组　滚动小练13．(2024·淮北二模)某次考试一共5道判断题，有三名考生参加考试，每人均答对4道题，答错一道题，三人回答具体情况记录如下：则这5道题的正确答案依次为(　　)A．FFFTTB．FTFTTC．TFFTFD．TFFTT
　　　　每个考生均答对4道题，答错1道题，第1题，若甲、乙答错，则甲、乙的后四题答案应相同，不成立，故丙答错了第1题．丙答错了第1题，则丙的后四题全部正确，对比可知，甲答错了第4题，乙答错了第2题，则这5道题的正确答案依次为TFFTT．
14．(2024·沧州二模)(多选)已知实数a，b满足a＞b，a＋b＝1，则(　 　)A．a2＞abB．ab＞b2