2026年高考数学一轮复习专项练习基础梳理第6讲 函数的概念及其表示

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知识点目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc1481" 【知识点1】函数的概念 PAGEREF _Tc1481 \h 2
\l "_Tc18604" 【知识点2】函数的解析式 PAGEREF _Tc18604 \h 4
\l "_Tc4735" 【知识点3】分段函数 PAGEREF _Tc4735 \h 7
基础知识

1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
常用结论
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
知识点1

知识点
【知识点1】函数的概念
函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法
(1)函数概念中有两个要求：①A，B是非空的实数集；②第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应．
(2)两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数．
典型例题
例1：
【例1】（2025•五华区校级模拟）已知集合，，下列对应关系能构成函数的是
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【分析】根据函数的定义逐一判断即可．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，则，按照对应关系，集合中每个元素，在集合中都有唯一元素与之对应，故正确；
对于，取，则，故错误；
对于，取，则，故错误；
对于，，，按照对应关系，集合中每个元素，在集合中都有唯一元素与之对应，故正确．
故选：．
【例2】（2023•青羊区校级模拟）给出下列4个函数，其中对于任意均成立的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】从函数的定义出发进行分析，任意只能对应唯一的，否则不满足，由此可排除选项，，．
【解答】解：对于，取，则，取，则有，故不成立；
对于，取，则，取，则，故不成立；
对于，取，则（6），取，则（6），故不成立；
对于，令，，则由，
可得，即，
故，故成立．
故选：．
【例3】（2025•广东模拟）函数的定义域为
A．，，B．，，
C．，D．，
【答案】
【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0，联立不等式组求解．
【解答】解：要使原函数有意义，则，解得且．
函数的定义域为，，．
故选：．
【例4】（2025•扬州校级模拟）已知函数的定义域为，，则函数的定义域为
A．，B．，
C．D．
【答案】
【分析】根据抽象函数定义域的求法，列出方程组，即可求得答案．
【解答】解：因为的定义域是，，所以，
根据抽象函数定义域求法，在函数中，
，解得且，
则定义域为．
故选：．
【例5】（2025•泉州模拟）函数的值域为
A．，B．，C．D．，
【答案】
【分析】求出函数定义域，再利用单调性求出值域．
【解答】解：函数的定义域为，，
又在，上单调递增，
，
故的值域为，．
故选：．
知识点2

知识点
【知识点2】函数的解析式
函数解析式的求法
(1)配凑法．(2)待定系数法．(3)换元法．(4)解方程组法．
典型例题
例1：
【例6】（2025•台湾四模）若为二次函数且，，则的解析式为 ．
【答案】．
【分析】利用待定系数法和对应思想的应用求出结果．
【解答】解：设，
由于，所以，
又因为，
所以，
故，解得，
所以．
故答案为：．
【例7】（2025•重庆模拟）设定义域为的函数满足：，都有且为常数），则函数 ．
【答案】．
【分析】由已知函数关系，运用赋值法可求解．
【解答】解：定义域为的函数满足：，都有，
由①，
令可得②，
在②中，令，则③，
由②可得，④，
由①可得，⑤，
由②可得，⑥，
则由③④⑤⑥可得，，即，
因，则．
故答案为：．
【例8】（2025•河北模拟）已知定义在上的函数满足，且，试写出一个满足上述条件的的解析式： ．
【答案】（答案不唯一）．
【分析】根据函数的递推关系，可猜想函数为，验证即可．
【解答】解：根据题意可知，中间符号为“”， 前后两个代数式中间符号为“”，
类比两角差的余弦公式，
但，猜测的一个解析式为．
检验，，
，
，满足题意，
又，满足题意，
故的一个解析式为．
故答案为：（答案不唯一）．
【例9】（2025•昆明模拟）已知函数是定义在上的奇函数，且当且仅当时，，则当时，的解析式为 ．
【答案】．
【分析】利用奇函数的定义，将求时的解析式转化为时的情况，直接代入已知解析式即可．
【解答】解：设时，，，
因为是奇函数，所以，
所以当时，．
故答案为：．
【例10】（2024•怀仁市校级四模）已知集合，，，函数，若函数满足：对任意，存在，，使得，则的解析式可以是 ．（写出一个满足条件的函数解析式即可）
【答案】．
【分析】先将表示出来，再赋值即可．满足（1），且一次项系数不为零的所有一次或者二次函数解析式均正确．
【解答】解：，
令，则，
，取，则．
故答案为：．
知识点3

知识点
【知识点3】分段函数
分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
典型例题
例1：
【例11】（2024•罗山县二模）若，则的值为
A．0B．1C．2D．
【答案】
【分析】利用函数的解析式知道当时是以2周期的周期函数，故（2），再代入函数解析式即得
【解答】解：
当时，（2），
当时即（2）
故选：．
【例12】（2022•上虞区模拟）设函数，则（1） ，若（a），则实数的取值范围是 ．
【答案】；，，．
【分析】依据分段函数的定义去求（1）的值；分类讨论关于的不等式组，去求的取值范围．
【解答】解：函数，
（1），
（1）；
（a）或，
解得或，
若（a），则实数的取值范围是，，．
故答案为：；，，．
【例13】（2020•西城区校级模拟）函数，满足的的取值范围
A．B．C．或D．或
【答案】
【分析】分和两种情况解不等式，解指数不等式时，要化为同底的指数不等式，再利用指数函数的单调性来解．
【解答】解：当时， 即，，，，
当时， 即，，
综上， 或，
故选：．
【例14】（2020•宝鸡二模）若，则（3） ．
【分析】先求出（3）来，再求（3），一定要注意定义域选择好解析式．
【解答】解：（3）
（3）
故答案为．
【例15】（2021•市中区校级模拟）已知函数，数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是 ．
【分析】由函数，数列满足，且是递增数列，我们易得函数为增函数，根据分段函数的性质，我们可得函数在各段上均为增函数，根据一次函数和指数函数单调性，我们易得，且，且（7）（8），由此构造一个关于参数的不等式组，解不等式组即可得到结论．
【解答】解：数列是递增数列，
又
，
且（7）（8）
解得，或
故实数的取值范围是
故答案为：