第08讲 函数的奇偶性及周期性--2025高考一轮单元综合复习与测试卷

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1．函数的奇偶性
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个
正数就叫做f(x)的最小正周期．
常用结论
1．函数奇偶性的常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性的常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝eq \f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－eq \f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0)．
考点1 函数的奇偶性
[名师点睛]
1.函数具有奇偶性包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域．
(2)判断f(x)与f(－x)的关系．在判断奇偶性时，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．
2.利用函数奇偶性可以解决的问题
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值．
(4)画函数图像：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图像．
(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．
[典例]
1．（2022·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)＝＋；
（2）f(x)＝(x＋1)；
（3）f(x)＝.
（4）f(x)＝
2．（2022·山东·青岛二中高三期末）设函数的定义域为R且满足是奇函数，则f（2）=（ ）
A．－1B．1C．0D．2
3．（2022·河南·高三阶段练习）已知为奇函数，当时，，则当时，（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·江苏南通·模拟预测）若函数为奇函数，则实数的值为（ ）
A．1B．2C．D．
[举一反三]
1．（2022·海南海口·模拟预测）已知函数，则下列函数是奇函数的是（ ）
A．f(x)+1B．f(x)－1C．f(x+1)D．f(x－1)
2．（2022·山东菏泽·高三期末）设函数，的定义域分别为F，G，且.若对任意的，都有，则称为在G上的一个“延拓函数”.已知函数，若为在上的一个延拓函数，且是偶函数，则函数的解析式是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·江苏省昆山中学高三阶段练习）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·北京四中高三阶段练习）若函数f（x）是奇函数，当时，，则（ ）
A．2B．-2C．D．
5．（2022·江苏·二模）已知函数为偶函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·全国·高三专题练习）设，满足，则（ ）
A．B．C．D．6
7．（2022·湖北武汉·二模）若一个偶函数的值域为，则这个函数的解析式可以是___________.
8．（2022·全国·高三专题练习）设为定义在上的奇函数，当时，，则_______．
9．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知函数是奇函数，则___________.
10．（2022·上海宝山·二模）如果函数是奇函数，则__．
11．（2022·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)＝＋；
（2）f(x)＝(x＋1) ；
（3）f(x)＝.
12．（2022·北京·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，且当时，.
(1)求和的值；
(2)求在上的解析式.
13．（2022·全国·高三专题练习）若函数是奇函数，是偶函数，且其定义域均为.若，求，的解析式.
考点2 函数的周期性
[名师点睛]
1．判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
2．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
[典例]
1．（多选）（2022·江苏·涟水县第一中学高三期中）已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为4B．
C．D．
2．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）已知是定义在上的函数，对任意实数都有，且当时，，则______．
[举一反三]
1．（2022·湖北武汉·二模）定义在上的函数满足，则下列是周期函数的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·安徽蚌埠·三模）已知定义域为的偶函数满足，，则（ ）
A．B．-1C．1D．
3．（2022·陕西咸阳·二模）已知函数为定义在上的奇函数，且，则（ ）
A．2019B．3C．-3D．0
4．（2022·江苏·二模）已知是定义域为R的偶函数，f(5.5)＝2，g(x)＝(x－1).若g(x＋1)是偶函数，则＝( )
A．－3B．－2C．2D．3
5．（多选）（2022·河北·模拟预测）若函数（）是周期为2的奇函数．则下列选项一定正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．2是函数的一个周期
C．
D．
6．（多选）（2022·江苏泰州·模拟预测）已知定义在上的单调递增的函数满足：任意，有，，则（ ）
A．当时，
B．任意，
C．存在非零实数，使得任意，
D．存在非零实数，使得任意，
7．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）函数是以π为周期的奇函数，且，那么___________．
8．（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x，则＝________.
考点3 函数的对称性
[名师点睛]
(1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图像关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称．
(2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图像关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，0))对称．
(3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图像关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))对称．
[典例]
1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模）定义在R上的函数满足以下三个条件：①对于任意的实数，都有成立；②函数的图象关于y轴对称；③对任意的，，，都有成立.则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·福建福州·三模）定义在上的函数满足.若的图象关于直线对称，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
[举一反三]
1．（2022·安徽蚌埠·模拟预测）若幂函数满足，则下列关于函数的判断正确的是（ ）
A．是周期函数B．是单调函数
C．关于点对称D．关于原点对称
2．（2022·全国·模拟预测）已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·山西太原·二模）已知函数，则（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．的图象关于直线x=1对称D．的图象关于点对称
4．（2022·安徽合肥·二模）函数（是自然对数的底数）的图象关于（ ）
A．直线对称B．点对称
C．直线对称D．点对称
5．（2022·广东佛山·二模）设且，函数，若，则下列判断正确的是（ ）
A．的最大值为-aB．的最小值为-a
C．D．
6．（多选）（2022·辽宁锦州·一模）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．在上为减函数
C．点是函数的一个对称中心D．方程仅有个实数解
7．（2022·江苏江苏·三模）写出一个同时具有下列性质①②③的函数___________.①是定义域为的奇函数；②；③.
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于 对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于 对称