2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第7讲函数的奇偶性与周期性（学生版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第7讲函数的奇偶性与周期性（学生版），共5页。试卷主要包含了函数的奇偶性等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1．函数的奇偶性
2.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
核心素养分析
能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。
重点提升数学抽象、逻辑推理素养.
题型归纳
题型1函数奇偶性的判定
【例1-1】下列函数中，为偶函数的是
A．B．
C．D．
【例1-2】判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝eq \f(\r(36－x2),|x＋3|－3)；
(2)f(x)＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x2－1)；
(3)f(x)＝eq \f(lg2（1－x2）,|x－2|－2)；
(4)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋x，x<0，,x2－x，x>0.))
【跟踪训练1-1】已知函数，则下列结论正确的是
A．为奇函数B．为偶函数
C．为奇函数D．为非奇非偶函数
【跟踪训练1-2】判断下列函数的奇偶性，并求函数的值域
（1）
（2）
【名师指导】
判断函数奇偶性的3种常用方法
(1)定义法：
确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．
(2)图象法：
(3)性质法：
设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
题型2函数奇偶性的应用
【例2-1】(1)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax，若f(ln 2)＝8，则a＝________．
(2)函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________．
(3)已知函数f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)＝________．
【跟踪训练2-1】设为奇函数，且当时，，则当时，
A．B．C．D．
【跟踪训练2-2】若函数为偶函数，则 ．
【跟踪训练2-3】已知为奇函数，当时，，则的值为 ．
【跟踪训练2-4】函数是定义在上的偶函数，且图象过点．已知时，且．
（Ⅰ）求（1）的值和的值；
（Ⅱ）若，，求的取值范围．
【名师指导】
与函数奇偶性有关的问题及解题策略
(1)求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．
(3)求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)，f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特殊值法求解．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解．
题型3函数的周期性
【例3-1】已知函数周期为1，且当时，，则 ．
【例3-2】已知是定义在上的函数，且，如果当，时，，则 ．
【跟踪训练3-1】已知是定义在上周期为2的函数，当，时，，那么当，时，
A．B．C．D．
【跟踪训练3-2】已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x＋2)＝－eq \f(1,f（x）)，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,2)))＝________．
【名师指导】
函数周期性有关问题的求解策略
(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
(2)周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性(注意：对称中心在平行于x轴的直线上，对称轴平行于y轴)，那么这个函数一定具有周期性．
题型4函数性质的综合应用
【例4-1】若定义在的奇函数在单调递减，且（2），则满足的的取值范围是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【例4-2】已知奇函数的定义域为，若为偶函数，且（1），则
A．B．C．0D．1
【例4-3】（多选）已知是定义域为的奇函数，是偶函数，且当，时，，则
A．是周期为2的函数
B．
C．的值域为，
D．的图象与曲线在上有4个交点
【跟踪训练4-1】设函数，则
A．是奇函数，且在单调递增
B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增
D．是偶函数，且在单调递减
【跟踪训练4-2】已知是定义在上的偶函数，且在区间，上单调递增，若实数满足，则的取值范围是 ．
【跟踪训练4-3】已知是定义在上的奇函数，且对任意实数恒有，当，时，．
（1）求证：函数的周期是4；
（2）求的值；
（3）当，时，求的解析式．
【名师指导】
函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
(1)函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称