第8讲 函数的奇偶性、周期性 - -2026年高考数学一轮复习基础梳理练习

这是一份第8讲 函数的奇偶性、周期性 - -2026年高考数学一轮复习基础梳理练习，共27页。
知识点目录
\l "_bkmark0" 【知识点 1】函数奇偶性的判断2
\l "_bkmark1" 【知识点 2】利用奇偶性求值(解析式)3
\l "_bkmark2" 【知识点 3】利用奇偶性解不等式6
\l "_bkmark3" 【知识点 4】函数的周期性8
基础知识
函数的奇偶性
函数的周期性
周期函数：一般地，设函数 f(x)的定义域为 D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个 x
∈D 都有 x＋T∈D，且 f(x＋T)＝f(x)，那么函数 y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期．
最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期．
常用结论
函数奇偶性常用结论
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，设函数 f(x)的定义域为 D，如果∀x
∈D，都有－x∈D，且 f(－x)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数
关于 y 轴对称
奇函数
一般地，设函数 f(x)的定义域为 D，如果∀x
∈D，都有－x∈D，且 f(－x)＝－f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
函数周期性常用结论
对 f(x)定义域内任一自变量 x 的值：
若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a(a>0)．
1
若 f(x＋a)＝
，则 T＝2a(a>0)．
fx
知识点 1
知识点
【知识点 1】函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或 f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
典型例例题1：
【例 1】（2025•普陀区三模）下列函数中是奇函数的为()
A． y  sin x  exB． y  x3  x2
C． y  cs(2x)
D． y  lg
1  x
2 1  x
【例 2】（2025 春•长宁区期中）下列函数中是奇函数的是()
A． y  x  sin x
B． y  sin x
x
C． y  x  sin x
D． y  x  cs x
【例 3】（2025•济宁模拟）已知函数 f (x) 
2
3  3x
，则下列是奇函数的是()
A． f (x  2)  1
3
B． f (x  1)  1
3
C． f (x  2)  3
D． f (x  1)  3
【例 4】（2025 春•苏州月考）下列函数是偶函数的是()
A． y 
C． y 
ex  x2 x2  1 ex  x x  1
B． y 
D． y 
cs x  x2 x2  1
sin x  4x e|x|
【例 5】（2025•虹口区二模）下列函数中为奇函数的是()
x
A． y B． y  x2
C． y  sin(x  π
D． y  tan(x π)
)
2
知识点 2
知识点
【知识点 2】利用奇偶性求值(解析式)
一、利用奇偶性求值
直接运用定义
奇函数性质：若函数 f (x) 为奇函数，则 f (x)   f (x) ，且 f (0)  0 （若 f (x) 在 x  0 处有定
义）．当已知 f (a) 的值时，可根据此性质求出 f (a) 的值，即 f (a)   f (a) ．
偶函数性质：若函数 f (x) 为偶函数，则 f (x) 
f (x) ，所以 f (a) 
f (a) ，利用这一性质，已
知 f (a) 可直接得出 f (a) 的值．
构造奇偶函数
当所给函数不直接具备奇偶性时，可通过对函数进行变形，构造出具有奇偶性的新函数．例如，
对于函数 g(x) 
f (x)  f (x) ， 无论
f (x) 原本的性质如何， g(x) 一定是偶函数； 而函数
h(x)  f (x)  f (x) 则为奇函数．
利用构造出的奇偶函数的性质，结合已知条件建立方程，进而求解目标值．比如，已知 g(x) 在某点的值，根据偶函数的性质可得到其在对称点的值，从而辅助求解．
利用奇偶性与其他性质结合
函数的奇偶性常与周期性、对称性等性质综合考查．若函数 f (x) 是周期为T 的奇函数，那么
f (x  T )  f (x) 且 f (x)   f (x) ，通过这两个性质的结合，可将不在已知范围内的自变量转化
到已知范围内进行求值 ．
例如，已知 f (x) 在[0, 1]上的函数值，且 f (x) 是周期为2 的奇函数，要求 f (3.5) 的值，可利用周期性和奇偶性将 f (3.5) 转化为 f (0.5) ，再根据奇函数性质求解．
二、利用奇偶性求解析式
已知对称区间一端的解析式
若已知函数 f (x) 在区间[a, b]（ a  0 ）上的解析式，要求其在对称区间[b, a] 上的解析式，可先设 x [b, a] ，则x [a, b] ．
因为x 在已知解析式的区间内，可先求出 f (x) 的表达式，再根据函数的奇偶性进行转化．若
f (x) 是奇函数，则 f (x)   f (x) ；若 f (x) 是偶函数，则 f (x)  f (x) ，从而得到 x [b, a]
时 f (x) 的解析式．
利用奇偶性的变形与恒等关系
对于一些复杂的函数，可能需要对奇偶性的定义式进行变形．例如，对于奇函数 f (x) ，
f (x)  f (x)  0 ；对于偶函数 f (x) ， f (x)  f (x)  0 ．
可根据已知条件，结合这些恒等关系建立关于 f (x) 的方程，通过解方程求出 f (x) 的解析式．有时还需引入辅助函数，利用其奇偶性简化计算过程．
分段函数的奇偶性应用
对于分段函数，判断奇偶性时需要分别对每一段进行分析．若分段函数 f (x) 是奇函数或偶函
数，那么在每一段上都要满足相应的奇偶性条件．
已知分段函数在某几段上的解析式，求其他段的解析式时，同样利用奇偶性，通过在已知段和未知段之间建立自变量的对称关系，进行解析式的推导．同时要注意函数在定义域边界处的取
值情况，确保解析式的完整性和准确性．
典型例例题1：
【例 6 】（ 2024 秋• 福贡县期末） 已知函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数， 且当 x… 0 时，
f (x)  x2  3x ，则当 x  0 时， f (x) 的解析式为()
x2  3x
x2  3x
x2  3x
x2  3x
【例 7】（2024 秋•重庆期中）已知 f (x) 为 R 上的奇函数，当 x  0 时， f (x)  x3  2x  1 ，则 x  0
时， f (x) 的解析式为()
f (x)  x3  2x  1(x  0)B． f (x)  x3  2x  1(x  0)
C． f (x)  x3  2x  1(x  0)D． f (x)  x3  2x  1(x  0)
【例 8】（2024 秋•桃城区期中）已知函数 f (x) 为 R 上的奇函数，当 x„ 0 时， f (x)  3x2  x ，则当 x  0 时， f (x) 的解析式为()
A． f (x)  3x2  x
B． f (x)  3x2  x
C． f (x)  3x2  x
D．以上都不对
【例 9】（2024 秋•锡山区期中）函数 f (x) 为奇函数，且当 x (, 0) 时， f (x)  1  x2  x3 ，则当
x (0, ) 时， f (x) 解析式是()
A． f (x)  1  x2  x3B． f (x)  1  x2  x3
C． f (x)  1  x2  x3D． f (x)  1  x2  x3
【例 10】（2024 秋•北碚区期中）函数 f (x) 是 R 上的奇函数，且当 x  0 时，函数的解析式为
f (x)  2  1 ，则 f (1)  ()
x
A． 1
B．1C． 3
D．3
知识点 3
知识点
【知识点 3】利用奇偶性解不等式步骤 1：判断奇偶性并分析单调性
奇偶性验证：
确认定义域关于原点对称（必要条件），再验证
f (x)   f (x)
是否成立．
单调性分析：
奇函数：只需分析 x  0 或 x  0 一侧的单调性，另一侧单调性与已知侧相同．
偶函数：重点分析 x  0 时的单调性， x  0 时单调性与 x  0 相反．
步骤 2：利用奇偶性化简不等式
奇函数：
若不等式含 f (x) ，用 f (x)   f (x) 转化为仅含 f (x) 的形式（如 f (a)   f (a) ）．
偶函数：
利用 f (x)  f (| x |) ，将不等式统一为 f (| x |) 的形式（如 f (a)  f (| a |) ）．
步骤 3：结合单调性脱去f
奇函数：
若已知 f (x) 在某区间递增/递减，直接根据单调性比较自变量大小（注意x的符号）．
偶函数：
若 f (x) 在 x  0 上递增，则 f (| a |)  f (| b |)n| a || b |；
若递减，则
f (| a |) 
f (| b |)n| a || b |．
步骤 4：解代数不等式并验定义域
脱去f后，解绝对值、分式等代数不等式．结合函数定义域，排除不满足条件的解．
典型例例题1：
【例 11 】（ 2024 秋• 吐鲁番市期末） 已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数， 当 x  0 时，
f (x)  x  1 ，则不等式 xf (x)  0 的解集为()
A． ( ， 1) (1 ， )B． (1 ， 0) (1 ， )
C． (1 ， 0) (0 ，1)D． ( ， 1) (0 ，1)
【 例 12 】（ 2023 秋• 永城市期末） 已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数， 当 x  0 时，
f (x)  lnx  x  1 ，则不等式 f (x)  0 的解集为()
A． ( ， 1) (1 ， )B． (1 ， 0) (1 ， )
C． (1 ， 0) (0 ，1)D． ( ， 1) (0 ，1)
【例 13】（2023 秋•锡山区期末）已知函数 f (x) 为 R 上的奇函数，当 x  0 时， f (x)  2x  1 ，则
8
f (x)  0 的解集为()
(3 ， 0) (0 ， 3)B． (3, 3)
C． ( ， 3) (0 ， 3)D． ( ， 3) (3 ， )
x
【例 14】（2024 秋•姑苏区期中）已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x  0 时， f (x)  2 ，则不等式 f (x)  x 的解集为()
A． ( ， 4) (0 ， 4)B． (4 ， 0) (4 ， )
C． (4 ， 0) (0 ， 4)D． ( ， 4) (4 ， )
【例 15】（2023 秋•东城区期中）已知 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，且在[0 ， ) 上为增函数，
f (1)  0 ，则不等式 f (x  1)  0 的解集为()
3x
∪
(0, 2)( 4 , )
33
C．
2 4
(, )
3 3
(, 0)( 2 , 4)
∪
3 3
∪
D． (,  1)(1 , )
33
知识点 4
知识点
【知识点 4】函数的周期性
求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
典型例例题1：
 f  x

【例 16】（2025•江西模拟）已知函数 f (x) 满足 f  x  1   2, f  x为偶数,若 f （1）  3 ，则
3 f  x  1, f  x为奇数.
f (2024)  ()
B．4C．5D．2024
【答案】 A
【例 17】（2025•聊城模拟）已知 f (x) 是定义域为 R 的可导函数，设其导函数为 g(x) ．若

20
f (x  1)  2x 为偶函数，且 g(x)  g(4  x) ，则 g(i)  ()
i 1
A．60B．40C．20D．8
【例 18】（2025•吉林四模）已知定义域为 R 的奇函数 f (x) 满足 f (x)  f (2  x)  2 ，则()
A． f （2）  0
f (10)  10
f (x) 的最小正周期为 2
x  1 是曲线 y  f (x) 的一条对称轴
【例 19 】（ 2025 • 新余模拟） 已知函数
f (x) 的定义域为 N * ， 且 f （ 3 ）  5 ，
f (17)  3 ，
f (x  1)  f (x)  f (x  2) ，则 f (2026)  ()
A．5B． 5C．2D． 2
【例 20】（2025•黄冈二模）已知函数 f (x) 满足对x ， y  R ， f (x  y2 )  f (x)  2 f 2 ( y) 且 f （1）
 0 ，则 f (2025) 的值为()
A．1012B．1012.5C．1013D．1013.5
第 7 讲 函数的单调性与最值
知识点目录
\l "_bkmark4" 【知识点 1】函数奇偶性的判断2
\l "_bkmark5" 【知识点 2】利用奇偶性求值(解析式)5
\l "_bkmark6" 【知识点 3】利用奇偶性解不等式9
\l "_bkmark7" 【知识点 4】函数的周期性14
基础知识
函数的奇偶性
函数的周期性
周期函数：一般地，设函数 f(x)的定义域为 D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个 x
∈D 都有 x＋T∈D，且 f(x＋T)＝f(x)，那么函数 y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期．
最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期．
常用结论
函数奇偶性常用结论
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，设函数 f(x)的定义域为 D，如果∀x
∈D，都有－x∈D，且 f(－x)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数
关于 y 轴对称
奇函数
一般地，设函数 f(x)的定义域为 D，如果∀x
∈D，都有－x∈D，且 f(－x)＝－f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
函数周期性常用结论
对 f(x)定义域内任一自变量 x 的值：
若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a(a>0)．
1
若 f(x＋a)＝
，则 T＝2a(a>0)．
fx
知识点 1
知识点
【知识点 1】函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或 f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
典型例例题1：
【例 1】（2025•普陀区三模）下列函数中是奇函数的为()
A． y  sin x  exB． y  x3  x2
C． y  cs(2x)
【答案】 D
D． y  lg
1  x
2 1  x
【分析】结合基本初等函数的奇偶性检验各选项即可判断．
【解答】解： y  sin x  ex ， y  x3  x2 为非奇非偶函数， AB 错误；
y  cs 2x 为偶函数， C 错误；
y  f (x)  lg
1  x ， 1  x  1 ，
2 1  x
则 f (x)  lg
故选： D ．
1  x  lg
2 1  x
1  x   f (x) ，即 f (x) 为奇函数， D 正确．
2 1  x
【例 2】（2025 春•长宁区期中）下列函数中是奇函数的是()
y  x  sin x
【答案】C
y  sin x
x
y  x  sin x
y  x  cs x
【分析】先求出各个函数的定义域，再根据 f (x) 与 f (x) 的关系即可做出判断．
【解答】解：对于 A ，函数 f (x) 的定义域为 R ，
且 f (x)  (x)  sin(x)  x sin x  f (x) ， f (x) 是偶函数，故 A 错误；对于 B ，函数 g(x) 的定义域为( ， 0) (0 ， )
且 g(x)  sin(x)  sin x  g(x) ，所以 g(x) 是偶函数，故 B 错误；
xx
对于C ，函数h(x) 的定义域为 R ，
且h(x)  (x)  sin(x)  (x  sin x)  h(x) ，所以h(x) 是奇函数，故C 正确；对于 D ，函数 p(x) 的定义域为 R ，
且 p(x)  (x)  cs(x)  x  cs x ，
p(x)  p(x) ， p(x)   p(x) ，所以 p(x) 是非奇非偶函数，故 D 错误．故选： C ．
【例 3】（2025•济宁模拟）已知函数 f (x) 
2
3  3x
，则下列是奇函数的是()
f (x  2)  1
3
f (x  1)  1
3
f (x  2)  3
f (x  1)  3
【答案】 B
【分析】结合基本初等函数的奇偶性检验各选项即可判断．
【解答】解：因为 f (x) 
2，
3  3x
1211  3x
所以 f (x  2)   
不是奇函数；
33  3x231  3x1
令 g(x)  1 2 1  1  3x，
f (x 1)
33  3x133(1  3x )
 xx
则 g( 1  3 3  1  ，
x)3(1  3x )3(3x  1)g(x)
即 f (x  1) 为奇函数；
211  3x1
f (x  2)  3  3 

不是奇函数；
3  3x 23  2x 2
23x2  4
f (x  1)  3  3 
不为奇函数．
故选： B ．
3  3x1
3  3x1
【例 4】（2025 春•苏州月考）下列函数是偶函数的是()
A． y 
C． y 
ex  x2 x2  1 ex  x x  1
B． y 
D． y 
cs x  x2 x2  1
sin x  4x e|x|
【答案】 B
【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可．
ex  x2
e1  1
e  1
【解答】解：对 A ，设 f (x) ，函数定义域为 R ，但 f (1) ， f (1) ，则 f (1)  f
x2  122
（1）， f (x) 不是奇函数，故 A 错误；
cs x  x2
对 B ，设 g(x)  1，函数定义域为 R ，
x2
g(
且cs(x)  (x)2cs x  x2
，则 g(x) 为偶函数，故 B 正确；
x)(x)2  1
ex  x
x2  1
g(x)
对C ，设h(x) 
错误；
x  1
，函数定义域为{x | x  1} ，不关于原点对称，则h(x) 为非奇非偶函数，故C
对 D ，设φ(x)  sin x  4x ，函数定义域为 R ，因为φ(1)  sin1  4 ，φ(1)  sin1  4 ，
e|x|ee
则φ（1）  φ(1) ，则φ(x) 不是偶函数，故 D 错误． 故选： B ．
【例 5】（2025•虹口区二模）下列函数中为奇函数的是()
x
A． y B． y  x2
C． y  sin(x  π
D． y  tan(x π)
)
2
【答案】 D
【分析】分别判断选项中的函数是否为定义域上的奇函数即可．
x
【解答】解：对于 A ， y 的定义域为[0 ， ) ，是非奇非偶函数，不满足题意；
)
对于 B ， y  x2 是定义域为( ， 0) (0 ， ) 上的偶函数，不满足题意；对于C ， y  sin(x  π  cs x ，是定义域 R 上的偶函数，不满足题意；
2
对于 D ， y  tan(x π)  tan x ，是定义域(π kπ， π kπ) ， k  Z 上的奇函数．
22
故选： D ．
知识点 2
知识点
【知识点 2】利用奇偶性求值(解析式)
一、利用奇偶性求值
直接运用定义
奇函数性质：若函数 f (x) 为奇函数，则 f (x)   f (x) ，且 f (0)  0 （若 f (x) 在 x  0 处有定
义）．当已知 f (a) 的值时，可根据此性质求出 f (a) 的值，即 f (a)   f (a) ．
偶函数性质：若函数 f (x) 为偶函数，则 f (x) 
f (x) ，所以 f (a) 
f (a) ，利用这一性质，已
知 f (a) 可直接得出 f (a) 的值．
构造奇偶函数
当所给函数不直接具备奇偶性时，可通过对函数进行变形，构造出具有奇偶性的新函数．例如，
对于函数 g(x) 
f (x)  f (x) ， 无论
f (x) 原本的性质如何， g(x) 一定是偶函数； 而函数
h(x)  f (x)  f (x) 则为奇函数．
利用构造出的奇偶函数的性质，结合已知条件建立方程，进而求解目标值．比如，已知 g(x) 在某点的值，根据偶函数的性质可得到其在对称点的值，从而辅助求解．
利用奇偶性与其他性质结合
函数的奇偶性常与周期性、对称性等性质综合考查．若函数 f (x) 是周期为T 的奇函数，那么
f (x  T )  f (x) 且 f (x)   f (x) ，通过这两个性质的结合，可将不在已知范围内的自变量转化
到已知范围内进行求值 ．
例如，已知 f (x) 在[0, 1]上的函数值，且 f (x) 是周期为2 的奇函数，要求 f (3.5) 的值，可利用周期性和奇偶性将 f (3.5) 转化为 f (0.5) ，再根据奇函数性质求解．
二、利用奇偶性求解析式
已知对称区间一端的解析式
若已知函数 f (x) 在区间[a, b]（ a  0 ）上的解析式，要求其在对称区间[b, a] 上的解析式，可先设 x [b, a] ，则x [a, b] ．
因为x 在已知解析式的区间内，可先求出 f (x) 的表达式，再根据函数的奇偶性进行转化．若
f (x) 是奇函数，则 f (x)   f (x) ；若 f (x) 是偶函数，则 f (x)  f (x) ，从而得到 x [b, a]
时 f (x) 的解析式．
利用奇偶性的变形与恒等关系
对于一些复杂的函数，可能需要对奇偶性的定义式进行变形．例如，对于奇函数 f (x) ，
f (x)  f (x)  0 ；对于偶函数 f (x) ， f (x)  f (x)  0 ．
可根据已知条件，结合这些恒等关系建立关于 f (x) 的方程，通过解方程求出 f (x) 的解析式．有时还需引入辅助函数，利用其奇偶性简化计算过程．
分段函数的奇偶性应用
对于分段函数，判断奇偶性时需要分别对每一段进行分析．若分段函数 f (x) 是奇函数或偶函
数，那么在每一段上都要满足相应的奇偶性条件．
已知分段函数在某几段上的解析式，求其他段的解析式时，同样利用奇偶性，通过在已知段和未知段之间建立自变量的对称关系，进行解析式的推导．同时要注意函数在定义域边界处的取值情况，确保解析式的完整性和准确性．
典型例例题1：
【例 6 】（ 2024 秋• 福贡县期末） 已知函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数， 且当 x… 0 时，
f (x)  x2  3x ，则当 x  0 时， f (x) 的解析式为()
x2  3x
【答案】 D
x2  3x
x2  3x
x2  3x
【分析】根据题意，当 x  0 时， x  0 ，可得 f (x) 的表达式，由函数的奇偶性分析可得答案．
【解答】解：根据题意，当 x  0 时， x  0 ， f (x)  (x)2  3(x)  x2  3x ，又由函数 f (x) 为偶函数，
则 f (x)  f (x)  x2  3x ；
故当 x  0 时， f (x)  x2  3x ．故选： D ．
【例 7】（2024 秋•重庆期中）已知 f (x) 为 R 上的奇函数，当 x  0 时， f (x)  x3  2x  1 ，则 x  0
时， f (x) 的解析式为()
A． f (x)  x3  2x  1(x  0)B． f (x)  x3  2x  1(x  0)
C． f (x)  x3  2x  1(x  0)D． f (x)  x3  2x  1(x  0)
【答案】C
【分析】根据题意，令x  0 ，则x  0 ，求出 f (x) 的表达式，结合奇偶性分析可得答案．
【解答】解：根据题意，令x  0 ，则x  0 ，则 f (x)  (x)3  2(x)  1  x3  2x  1 ，
又由 f (x) 为 R 上的奇函数，
则 f (x)   f (x)  x3  2x  1 ．故选： C ．
【例 8】（2024 秋•桃城区期中）已知函数 f (x) 为 R 上的奇函数，当 x„ 0 时， f (x)  3x2  x ，则当 x  0 时， f (x) 的解析式为()
A． f (x)  3x2  x
B． f (x)  3x2  x
C． f (x)  3x2  x
D．以上都不对
【答案】 A
【分析】根据题意，当 x  0 时，x  0 ，求出 f (x) 的表达式，利用奇函数的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，当 x  0 时， x  0 ，则 f (x)  3x2  x ，
又由 f (x) 为奇函数，则 f (x)   f (x)  (3x2  x)  3x2  x ．故选： A ．
【例 9】（2024 秋•锡山区期中）函数 f (x) 为奇函数，且当 x (, 0) 时， f (x)  1  x2  x3 ，则当
x (0, ) 时， f (x) 解析式是()
A． f (x)  1  x2  x3B． f (x)  1  x2  x3
C． f (x)  1  x2  x3D． f (x)  1  x2  x3
【答案】 A
【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出解析式即可．
【解答】解：Q当 x (, 0) 时， f (x)  1  x2  x3 ，又函数 f (x) 为奇函数，
当 x  0 时， x  0 ， f (x)   f (x)  [1  (x)2  (x)3 ]  1  x2  x3 ．故选： A ．
【例 10】（2024 秋•北碚区期中）函数 f (x) 是 R 上的奇函数，且当 x  0 时，函数的解析式为
f (x)  2  1 ，则 f (1)  ()
x
A． 1
【答案】 A
B．1C． 3
D．3
【分析】由奇函数的性质直接求出结果即可．
【解答】解：根据题意，因为 f (x) 是 R 上的奇函数，
且当 x  0 时，函数的解析式为 f (x)  2  1 ，
x
所以 f (1)   f (1)  ( 2  1)  1 ．
1
故选： A ．
知识点 3
知识点
【知识点 3】利用奇偶性解不等式步骤 1：判断奇偶性并分析单调性
奇偶性验证：
确认定义域关于原点对称（必要条件），再验证
f (x)   f (x)
是否成立．
单调性分析：
奇函数：只需分析
x  0
或 x  0
一侧的单调性，另一侧单调性与已知侧相同．
偶函数：重点分析
x  0
时的单调性， x  0
时单调性与
x  0
相反．
步骤 2：利用奇偶性化简不等式
奇函数：
若不等式含
f (x) ，用
f (x)   f (x)
转化为仅含
f (x)
的形式（如
f (a)   f (a) ）．
偶函数：
利用 f (x) 
f (| x |) ，将不等式统一为
f (| x |)
的形式（如
f (a)  f (| a |) ）．
步骤 3：结合单调性脱去f
奇函数：
若已知
f (x)
在某区间递增/递减，直接根据单调性比较自变量大小（注意x的符号）．
偶函数：
若 f (x) 在 x  0 上递增，则 f (| a |)  f (| b |)n| a || b |；
若递减，则
f (| a |) 
f (| b |)n| a || b |．
步骤 4：解代数不等式并验定义域
脱去f后，解绝对值、分式等代数不等式．结合函数定义域，排除不满足条件的解．
典型例例题1：
【例 11 】（ 2024 秋• 吐鲁番市期末） 已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数， 当 x  0 时，
f (x)  x  1 ，则不等式 xf (x)  0 的解集为()
A． ( ， 1) (1 ， )B． (1 ， 0) (1 ， )
(1 ， 0) (0 ，1)D． ( ， 1) (0 ，1)
【答案】C
 f (x)  0
【分析】由不等式 xf (x)  0 等价于x  0

或x  0
 f (x)  0

求解．
【解答】解：函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x  0 时， f (x)  x  1 ，所以 x  1 时， f (x)  0 ， 0  x  1时， f (x)  0 ，
所以 x  1 时， f (x)  0 ， 1  x  0 时， f (x)  0 ，
 f (x)  0
又不等式 xf (x)  0 ，等价于x  0

或x  0，
 f (x)  0

0  x  1
所以x  0

或x  0
1  x  0

，解得0  x  1或1  x  0 ．
故选： C ．
【 例 12 】（ 2023 秋• 永城市期末） 已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数， 当 x  0 时，
f (x)  lnx  x  1 ，则不等式 f (x)  0 的解集为()
A． ( ， 1) (1 ， )B． (1 ， 0) (1 ， )
C． (1 ， 0) (0 ，1)D． ( ， 1) (0 ，1)
【答案】 D
【分析】首先判断(0, ) 时函数的单调性，并根据零点，求 f (x)  0 的解集，然后根据奇函数的性质，求函数在(, 0) 时， f (x)  0 的解集，即可求解．
【解答】解：当 x  0 时， f (x)  lnx  x  1 是增函数，且 f （1）  0 ，所以当 x (0,1) 时， f (x)  0 ， x (1, ) 时， f (x)  0 ，
根据奇函数的性质可知， x (1, 0) ， f (x)  0 ， x (, 1) ， f (x)  0 ，所以不等式 f (x)  0 的解集是( ， 1) (0 ，1) ．
故选： D ．
【例 13】（2023 秋•锡山区期末）已知函数 f (x) 为 R 上的奇函数，当 x  0 时， f (x)  2x  1 ，则
8
f (x)  0 的解集为()
(3 ， 0) (0 ， 3)B． (3, 3)
C． ( ， 3) (0 ， 3)D． ( ， 3) (3 ， )
【答案】C
【分析】先由奇偶性求解 f (x) ，再由指数函数单调性即可求解不等式．
【解答】解：因为函数 f (x) 为 R 上的奇函数，当 x  0 时， f (x)  2x  1 ，
8
当 x  0 时， x  0 ，
所以 f (x)  2x  1   f (x) ，
8
所以 f (x)  1  1 ，

82x
又 f (0)  0 ，
x  0
x  0
则 f (x)  0 可转化1或11，
2x   0  0
882x
解得， x  3 或0  x  3 ．故选： C ．
x
【例 14】（2024 秋•姑苏区期中）已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x  0 时， f (x)  2 ，则不等式 f (x)  x 的解集为()
A． ( ， 4) (0 ， 4)B． (4 ， 0) (4 ， )
C． (4 ， 0) (0 ， 4)D． ( ， 4) (4 ， )
【答案】 A
【分析】由已知结合奇函数定义及性质先求出 f (x) 的解析式，即可求解不等式．
x
【解答】解：因为 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x  0 时， f (x)  2 ，则 f (0)  0 ，
当 x  0 时， x  0 ，
x
x
则 f (x)  2   f (x) ，即 f (x)  2 ，
2  x , x  0

故 f (x)  0, x  0，

2  x , x  0
x
当 x  0 时，不等式 f (x)  2  x ，解得0  x  4 ，当 x  0 时，不等式 f (x)  0  0 不成立，
x
当 x  0 时，不等式 f (x)  2  x ，解得 x  4 ，
故0  x  4 或 x  4 ．故选： A ．
【例 15】（2023 秋•东城区期中）已知 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，且在[0 ， ) 上为增函数，
f (1)  0 ，则不等式 f (x  1)  0 的解集为()
3x
∪
(0, 2)( 4 , )
33
(, 0)( 2 , 4)
∪
3 3
C．
2 4
( , )
3 3
【答案】 B
(,  1)(1 , )
∪
33
【分析】利用函数性质，数形结合即可解不等式．
【解答】解： f (x) 是定义在 R 上的偶函数，且在[0 ， ) 上为增函数， f (1)  0 ，
3
由此画出 f (x) 的大致图象，如下：
将 f (x) 的图象向右平移 1 个单位，得到 f (x  1) 的图象，
则不等式 f (x  1)  0 ，化为x  0
或x  0，


x f (x  1)  0 f (x  1)  0
∪
结合图象，可得解集为： ( ， 0)( 2 , 4) ．
3 3
故选： B ．
知识点 4
知识点
【知识点 4】函数的周期性
求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
典型例例题1：
 f  x

【例 16】（2025•江西模拟）已知函数 f (x) 满足 f  x  1   2, f  x为偶数,若 f （1）  3 ，则
3 f  x  1, f  x为奇数.
f (2024)  ()
B．4C．5D．2024
【答案】 A
【分析】通过计算求得函数的周期即可得到答案．
 f  x

【解答】解：根据题意，函数 f (x) 满足 f  x  1   2, f  x为偶数,，
3 f  x  1, f  x为奇数.
则 f （1）  3 ，则 f （2）  10 ， f （3）  5 ， f （4）  16 ， f （5）  8 ， f （6）  4 ，
f （7）  2 ， f （8）  1， f （9）  4 ，
f (10)  2 ， f (11)  1 ， f (12)  4 ，
f (13)  2 ， ，发现从第 6 项开始就是以 3 为周期的周期函数，则 f (2024)  f (8  672  3)  f （8）  1．
故选： A ．
【例 17】（2025•聊城模拟）已知 f (x) 是定义域为 R 的可导函数，设其导函数为 g(x) ．若

20
f (x  1)  2x 为偶函数，且 g(x)  g(4  x) ，则 g(i)  ()
i 1
A．60B．40C．20D．8
【答案】 B
【分析】根据题意，分析 g(x) 的对称性和周期性，可得 g(x)  g(x  2)  4 且 g(x  4)  g(x) ，由此
分析可得答案．
【解答】解：根据题意， f (x  1)  2x 为偶函数，则 f (x  1)  2x  f (x  1)  2x ，两边同时求导可得： f (x  1)  2   f (x  1)  2 ，
变形可得： f (x  1)  f (x  1)  4 ，则有 g(2  x)  g(x)  4 ，又由 g(x)  g(4  x) ，即 g(2  x)  g(2  x) ，
则有 g(x)  g(x  2)  4 ①，
变形可得： g(x  2)  g(x  4)  4 ②，
①②联立可得： g(x  4)  g(x) ，
由于 g(x)  g(x  2)  4 ，即 g （1）  g （3）  4 ， g （2）  g （4）  4 ，则有 g （1）  g （2）  g （3）  g （4）  8 ，

20
g(i)  g （1）  g （2）  g （3）  g （4）  g(20)  5[g （1）  g （2）  g （3）  g （4）
i 1
]  40 ．
故选： B ．
【例 18】（2025•吉林四模）已知定义域为 R 的奇函数 f (x) 满足 f (x)  f (2  x)  2 ，则()
A． f （2）  0
f (10)  10
f (x) 的最小正周期为 2
x  1 是曲线 y  f (x) 的一条对称轴
【答案】 B
【分析】根据
f (x) 是定义域为 R 的奇函数， 得到
f (0)  0 ， 再利用奇函数的性质， 得到
f (x  2)  2  f (x) ，最后利用赋值法，对各选项逐一进行分析判断即可．
【解答】解： A 选项，已知 f (x) 是定义域为 R 的奇函数，则 f (0)  0 ．
令 x  0 ，代入 f (x)  f (2  x)  2 ，可得 f (0)  f （2）  2 ，因为 f (0)  0 ，可得0  f （2）  2 ，即
f （2）  2 ，所以 A 选项错误．
B 选项， 因为
f (x) 是定义域为 R 的奇函数， 则
f (x)   f (x) ． 由
f (x)  f (2  x)  2 可得
f (x)  2  f (2  x) ．
用 x 代 替 x 可 得
f (x)  2  f (2  x) ， 又 因 为
f (x)   f (x) ， 所 以
 f (x)  2  f (2  x) ， 即
f (x  2)  2  f (x) ①．
用 x  2 代替 x 代入①可得 f (x  4)  2  f (x  2)  2  2  f (x)  4  f (x) ．
同理可知： f (x  6)  2  f (x  4)  2  4  f (x)  6  f (x) ， f (x  8)  2  f (x  6)  2  6  f (x)  8  f (x) ，
f (x  10)  2  f (x  8)  2  8  f (x)  10  f (x) ．
令 x  0 ，则 f (10)  10  f (0)  10  0  10 ，所以 B 选项正确．
对于C 选项，（方法一）由 f (x  2)  2  f (x) 可知 f (x  2)  f (x) ，所以 f (x) 的最小正周期不是 2，
C 选项错误．
（方法二）根据周期函数的定义，若 f (x) 有周期T ，则 f (x  T )  f (x) ，但递推关系①表明
f (x  2)  2  f (x) ，矛盾， C 选项错误．
对于 D 选项，由 f (0)  0  2  f （2），得 x  1 不是曲线 y  f (x) 的对称轴， D 选项错误．故选： B ．
【例 19 】（ 2025 • 新余模拟） 已知函数
f (x) 的定义域为 N * ， 且 f （ 3 ）  5 ，
f (17)  3 ，
f (x  1)  f (x)  f (x  2) ，则 f (2026)  ()
A．5B． 5
【答案】 D
C．2D． 2
【分析】利用赋值法，整理已知等式，可得函数周期性，利用周期性，可得答案．
【解答】解：由题意得 f (x  2)  f (x  1)  f (x) ①，用 x  1代替 x ，得 f (x  1  2)  f (x  1  1)  f (x  1) ，
即 f (x  3)  f (x  2)  f (x  1) ②．
将①代入②，得 f (x  3)  f (x  1)  f (x)  f (x  1) ，即 f (x  3)   f (x) ③，
用 x  3 代替 x ，代入③得 f (x  3  3)   f (x  3)  [ f (x)]  f (x) ，即 f (x  6)  f (x) ，所以函数 f (x)
是以 6 为周期的函数．
因为 f (17)  3 ，所以 f (17)  f (2  6  5)  f （5），所以 f （5）  3 ，因为 f (x  1)  f (x)  f (x  2) ，
令 x  3 ，得 f （4）  f （3）  f （5），
因为 f （3）  5 ， f （5）  3 ，所以 f （4）  2 ，所以 f (2026)  f (337  6  4)  f （4）  2 ．
故选： D ．
【例 20】（2025•黄冈二模）已知函数 f (x) 满足对x ， y  R ， f (x  y2 )  f (x)  2 f 2 ( y) 且 f （1）
 0 ，则 f (2025) 的值为()
A．1012B．1012.5C．1013D．1013.5
【答案】 B
【分析】令 x  y  0 ，得 f (0)  0 ，令 x  0 ， y  1 ，得 f (1)  1 ，令 y  1 ，得 f (x  1)  f (x)  1 ，从
22
而得到等差数列，然后可解．
【解答】解：因为函数 f (x) 满足对x ， y  R ， f (x  y2 )  f (x)  2 f 2 ( y) 且 f （1）  0 ，
所以令 x  y  0 ，得 f (0)  0 ，
再令 x  0 ， y  1 ，得 f (1)  1 ，
2
再令 y  1 ，得 f (x  1)  f (x)  1 ，
2
所以{ f (n)} 是首项为 f (1)  1 ，公差为 1 的等差数列．
22
所以 f (2025)  f (1)  1 (2025  1)  1012.5 ．
2
故选： B ．