人教A版 (2019)双曲线测试题

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知识点1 双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
注：1、集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合:.常数要小于两个定点的距离．
2、对双曲线定义中限制条件的理解
(1)当||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|时，M的轨迹不存在．
(2)当||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|时，M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线．
(3)当||MF1|－|MF2||＝0，即|MF1|＝|MF2|时，M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．
(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．具体是哪一支,取决于与的大小.
①若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;
②若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.
【即学即练1】已知A(0，－5)，B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为( )
A．双曲线或一条直线
B．双曲线或两条直线
C．双曲线一支或一条直线
D．双曲线一支或一条射线
【解析】当a＝3时，2a＝6，此时|AB|＝10，
∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B)．
当a＝5时，2a＝10，此时|AB|＝10，
∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线．
【即学即练2】已知M(－2,0)，N(2,0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线左支
C．一条射线D．双曲线右支
【解析】因为|PM|－|PN|＝4＝|MN|，所以动点P的轨迹是一条射线．故选C.
【即学即练3】方程eq \f(x2,2＋m)－eq \f(y2,2－m)＝1表示双曲线，则m的取值范围是( )
A．－2＜m＜2 B．m＞0
C．m≥0 D．|m|≥2
【解析】∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m)(2－m)＞0.∴－2＜m＜2.故选A
知识点2 双曲线的标准方程
注：1、双曲线的标准方程推导过程
①观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，
此时双曲线的焦点分别为F1(－c,0)，F2 (c,0)，焦距为2c，c>0.
设P(x，y)是双曲线上一点，则
||PF1|－|PF2||＝2a(a为大于0的常数)，
因为|PF1|＝eq \r(x＋c2＋y2)，|PF2|＝eq \r(x－c2＋y2)，
所以eq \r(x＋c2＋y2)－eq \r(x－c2＋y2)＝±2a，①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，两边同除以a2(c2－a2)，得eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,c2－a2)＝1.
由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2，其中b>0，代入上式，得eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．
②设双曲线的焦点为 F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c>a>0 ，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？
【答案】eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．
2、巧记双曲线焦点位置与方程的关系
两种双曲线 ， （）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.
焦点跟着正项走，即若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．
3、共焦点双曲线的设法
与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为eq \f(x2,a2＋λ)－eq \f(y2,b2－λ)＝1(－a20)有公共焦点的双曲线方程为eq \f(y2,a2＋λ)－eq \f(x2,b2－λ)＝1(－a20)，
则有a2＋b2＝c2＝8，eq \f(9,a2)－eq \f(10,b2)＝1，
解得a2＝3，b2＝5.
故所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,5)＝1.
【即学即练5】求过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(15,4)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(16,3)，5))且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程．
【解析】设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB0，,00，且m＋9＝52，解得m＝16.
6、动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是( )
A．双曲线的一支 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
【解析】设动圆的圆心为M，半径为r，圆x2＋y2＝1与x2＋y2－8x＋12＝0的圆心分别为O1和O2，半径分别为1和2，由两圆外切的充要条件，得|MO1|＝r＋1，|MO2|＝r＋2.∴|MO2|－|MO1|＝1，
又|O1O2|＝4，∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1)．故选A
7、【多选】已知方程eq \f(x2,4－t)＋eq \f(y2,t－1)＝1表示的曲线为C.给出以下四个判断正确的是( )
A．当15 B．k>5或－22)．
15、如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km，则曲线PQ的轨迹方程是________；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是______km.
【解析】如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．
则|DA|－|DB|＝2，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支．
故2c＝4，c＝2,2a＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3，
故轨迹方程为x2－eq \f(y2,3)＝1(x>0)．
根据题意知C(3，eq \r(3))，|MB|＋|MC|＝|MA|＋|MC|－2≥|AC|－2＝2eq \r(7)－2.
当A，M，C共线时等号成立．
16、已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦点分别为F1(－5，0)，F2(5,0)，P为C上一点，PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝eq \f(3,4)，则C的方程为( )
A．x2－eq \f(y2,24)＝1 B.eq \f(x2,24)－y2＝1
C.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1 D.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1
【解析】∵F1(－5,0)，F2(5,0)，∴c＝5，|F1F2|＝10，∵PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝eq \f(3,4)，
∴cs∠PF1F2＝eq \f(4,5)＝eq \f(|PF1|,|F1F2|)，∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，由双曲线的定义可知，|PF1|－|PF2|＝2＝2a，
∴a＝1，∴b2＝c2－a2＝25－1＝24.
∴双曲线的方程为x2－eq \f(y2,24)＝1.故选A
17、已知双曲线的两个焦点为F1(－eq \r(10)，0)，F2(eq \r(10)，0)，M是此双曲线上的一点，且满足eq \(MF,\s\up6(→))1·
eq \(MF,\s\up6(→))2＝0，|eq \(MF,\s\up6(→))1|·|eq \(MF,\s\up6(→))2|＝2，则该双曲线的方程是( )
A.eq \f(x2,9)－y2＝1 B．x2－eq \f(y2,9)＝1
C.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,7)＝1 D.eq \f(x2,7)－eq \f(y2,3)＝1
【解析】∵eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(MF1,\s\up6(→))⊥eq \(MF2,\s\up6(→))，即MF1⊥MF2，
∴|MF1|2＋|MF2|2＝40.
则(|MF1|－|MF2|)2＝|MF1|2－2|MF1|·|MF2|＋|MF2|2＝40－2×2＝36.
∴||MF1|－|MF2||＝6＝2a，即a＝3.
∵c＝eq \r(10)，∴b2＝c2－a2＝1.
则该双曲线的方程是eq \f(x2,9)－y2＝1.故选A
18、在△ABC中，已知|AB|＝4eq \r(2)，内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的平面直角坐标系，求顶点C的轨迹方程．
【解析】以AB边所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－2eq \r(2)，0)，B(2eq \r(2)，0)．
设△ABC的外接圆半径为R.
由正弦定理得sin∠CAB＝eq \f(|CB|,2R)，sin∠CBA＝eq \f(|CA|,2R)，sin C＝eq \f(|AB|,2R).
∵2sin∠CAB＋sin C＝2sin∠CBA，∴2|CB|＋|AB|＝2|CA|，
∴|CA|－|CB|＝eq \f(1,2)|AB|＝2eq \r(2)＜|AB|.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支．
∵a＝eq \r(2)，c＝2eq \r(2)，∴b2＝c2－a2＝6.
∴顶点C的轨迹方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,6)＝1(x＞eq \r(2))．
题组C 培优拔尖练
19、如图，在以点O为圆心，|AB|＝4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB＝30°，曲线C是满足||MA|－|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程．
【解析】法一：以O为原点，AB，OD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－2,0)，B(2,0)，D(0,2)，P(eq \r(3)，1)，依题意得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|＝eq \r(2＋\r(3)2＋12)－
eq \r(2－\r(3)2＋12)＝2eq \r(2)＜|AB|＝4.
∴曲线C是以A，B为焦点的双曲线．
则c＝2,2a＝2eq \r(2)，∴a2＝2，b2＝c2－a2＝2.
故曲线C的方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1.
法二：同法一建立平面直角坐标系，则依题意可得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|＜|AB|＝4.
∴曲线C是以A，B为焦点的双曲线．
设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)2,a2)－\f(1,b2)＝1，,a2＋b2＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝2，,b2＝2.))
故曲线C的方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1.
20、已知双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1的左、右焦点分别为F1，F2.
(1)若点M在双曲线上，且eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝0，求M点到x轴的距离；
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3eq \r(2)，2)，求双曲线C的方程．
【解析】(1)如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝0，
则MF1⊥MF2，
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由双曲线定义，知m－n＝2a＝8，①
又m2＋n2＝(2c)2＝80，②
由①②得m·n＝8，
∴eq \f(1,2)mn＝4＝eq \f(1,2)|F1F2|·h，
∴h＝eq \f(2\r(5),5).
(2)设所求双曲线C的方程为eq \f(x2,16－λ)－eq \f(y2,4＋λ)＝1(－40)，
∵a＝25,2c＝|AB|＝eq \r(1002＋1502－2×100×150×cs 60°)＝50eq \r(7)，
∴c＝25eq \r(7)，b2＝c2－a2＝3 750，
故双曲线的标准方程为eq \f(x2,625)－eq \f(y2,3 750)＝1，
注意到点C的坐标为(25eq \r(7)，60)，故y的最大值为60，此时x＝35，
故界线的曲线方程为eq \f(x2,625)－eq \f(y2,3 750)＝1(25≤x≤35，y>0)．课程标准
核心素养
1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.
数学抽象
直观想象
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1
(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1
(a>0，b>0)
图形
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2 a与b没有大小关系