高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册抛物线同步训练题

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知识点1 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
注：①在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？
不一定是，若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．
②定义的实质可归纳为“一动三定”
一个动点M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)．
【即学即练1】设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．4 B．6
C．8D．12
【即学即练2】已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝eq \f(5,4)x0，则x0等于( )
A．1 B．2 C．4 D．8
知识点2 抛物线标准方程的几种形式
注：1、抛物线方程的推导：
我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系Oxy.设|KF|＝p(p>0)，那么焦点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，准线l的方程为x＝－eq \f(p,2).
设M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线是点的集合P＝{M||MF|＝d}．
则M到F的距离为|MF|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))2＋y2)，M到直线l的距离为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋\f(p,2)))，
所以eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))2＋y2)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋\f(p,2)))，
将上式两边平方并化简，得y2＝2px(p>0)．
2、p的几何意义是焦点到准线的距离．标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上．
抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围．
3、四个标准方程的区分
焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向．
4、（1）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于，通径是过焦点最短的弦.
（2）抛物线（）上一点到焦点的距离，也称为抛物线的焦半径.
【即学即练3】求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【即学即练4】抛物线2y2－5x＝0的焦点坐标为________，准线方程为________．
【即学即练5】如果抛物线y2＝2px的准线是直线x＝－2，那么它的焦点坐标为________．
【即学即练6】经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝8x B．x2＝y
C．y2＝8x或x2＝yD．无法确定
【即学即练7】焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为____________．
考点一 抛物线的标准方程
解题方略：
1、求抛物线的标准方程的方法
注：当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．
2、用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
【例1-1】求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点M(－6,6)；
(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．
变式1：抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5，求抛物线的标准方程．
变式2：若抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点与椭圆eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,5)＝1的上焦点重合，则该抛物线的准线方程为( )
A．y＝－1B．y＝1
C．y＝－2D．y＝2
考点二 抛物线定义的应用
解题方略：
抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题．
(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
（一）利用抛物线的定义解决轨迹问题
【例2-1】若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是( )
A．x＋4＝0B．x－4＝0
C．y2＝8xD．y2＝16x
变式1：若位于y轴右侧的动点M到Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))的距离比它到y轴的距离大eq \f(1,2).求点M的轨迹方程．
变式2：动圆P与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且与直线l：x＝1相切，求动圆圆心P的轨迹方程．
变式3：已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为_____________．
（二）利用抛物线的定义求距离或点的坐标
【例2-2】设抛物线C：y2＝4x上一点P到y轴的距离为4，则点P到抛物线C的焦点的距离是( )
A．4 B．5
C．6D．7
变式1：若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，且点M到焦点的距离为10，求点M的坐标．
（三）与抛物线定义有关的最大(小)值问题
【例2-3】已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．
变式1：已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到A(3,2)的距离与P到焦点的距离之和的最小值．
变式2：已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到直线3x－4y＋eq \f(7,2)＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值．
变式3：已知P为抛物线x2＝12y上一个动点，Q为圆(x－4)2＋y2＝1上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到x轴距离之和的最小值是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
变式4：已知抛物线的焦点为，为抛物线上的动点，直线与抛物线的另一交点为，关于点的对称点为，则的最小值为（ ）
A．3B．5C．6D．10
考点三 抛物线的实际应用
解题方略：
1、涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．
2、求抛物线实际应用的五个步骤
【例3-1】河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
变式1：某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米．若不考虑水下深度， 问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？
变式2：如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽__m.
题组A 基础过关练
1、根据下列条件写出抛物线的标准方程．
(1)焦点到准线的距离是5；
(2)焦点F在y轴上，点A(m，－2)在抛物线上，且|AF|＝3.
2、已知抛物线的焦点为F(a,0)(a＜0)，则抛物线的标准方程是( )
A．y2＝2axB．y2＝4ax
C．y2＝－2axD．y2＝－4ax
3、若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________．
4、抛物线y＝12x2上的点到焦点的距离的最小值为________．
5、过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为( )
A．圆 B．椭圆 C．直线 D．抛物线
6、已知抛物线C：4x＋ay2＝0恰好经过圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为_______，准线方程为________．
7、设点A的坐标为(1，eq \r(15))，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋|PA|的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
题组B 能力提升练
8、对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)
9、设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－eq \r(3)，那么|PF|＝________.
10、已知F是抛物线y2＝4x的焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|＋|NF|＝8，则MN的中点到准线的距离为( )
A．5B．4
C．3D.eq \f(5,2)
11、已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－eq \f(y2,a)＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________.
12、已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A．2 B．3 C.eq \f(11,5) D.eq \f(37,16)
13、已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
14、设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1,1)，求|PA|＋d的最小值；
(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
15、如图，吊车梁的鱼腹部分AOB是一段抛物线，宽7m，高0.7m，求这条抛物线的方程．
题组C 培优拔尖练
16、设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若eq \(FA,\s\up6(→))＋eq \(FB,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝0，则|eq \(FA,\s\up6(→))|＋|eq \(FB,\s\up6(→))|＋|eq \(FC,\s\up6(→))|＝________.
17、已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线：的距离为，则的最小值为__________．
18、(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直于l且交l于点Q，若∠PFx＝60°，则( )
A．△PQF为等边三角形B．|PQ|＝4
C．S△PQF＝4eq \r(3)D．xP＝4
19、为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示．集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点( )
A．0.5 m B．1 m C．1.5 m D．2 m
20、如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F处.已知灯口直径是，灯深，求灯泡与反射镜的顶点O的距离.
21、如图所示，A地在B地东偏北45°方向，相距2eq \r(2) km处，B地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l相距4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计)，分别向A地、B地送电．
(1)试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程；
(2)问变电房M应建在相对A地的什么位置(方位和距离)，才能使架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度．
课程标准
核心素养
1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程.
数学抽象
直观想象
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
x＝－eq \f(p,2)
y2＝－2px(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
x＝eq \f(p,2)
x2＝2py(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
y＝－eq \f(p,2)
x2＝－2py(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
y＝eq \f(p,2)
定义法
根据定义求p，最后写标准方程
待定系数法
设标准方程，列有关的方程组求系数
直接法
建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程